Страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.3. Найдите $n$ и $S_n$, если:

1) $a_1 = 3, d = 3$ и $a_n = 27$;

2) $a_1 = 14, d = 6$ и $a_n = 84$;

3) $a_1 = -5.4, d = 1.8$ и $a_n = 30.6$;

4) $a_1 = -7.3, d = -2.6$ и $a_n = -30.7$.

1) Дано: $a_1 = 3$, $d = 3$ и $a_n = 27$.
Для нахождения номера члена прогрессии $n$ используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$27 = 3 + (n-1) \cdot 3$
$27 - 3 = (n-1) \cdot 3$
$24 = 3(n-1)$
$n-1 = \frac{24}{3}$
$n-1 = 8$
$n = 9$
Теперь, зная $n$, найдем сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$S_9 = \frac{3 + 27}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{30}{2} \cdot 9$
$S_9 = 15 \cdot 9 = 135$
Ответ: $n = 9$, $S_9 = 135$.

2) Дано: $a_1 = 14$, $d = 6$ и $a_n = 84$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$84 = 14 + (n-1) \cdot 6$
$84 - 14 = 6(n-1)$
$70 = 6(n-1)$
$n-1 = \frac{70}{6}$
$n-1 = \frac{35}{3}$
$n = \frac{35}{3} + 1 = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, то арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: для заданных условий решения нет, так как $n$ не является натуральным числом.

3) Дано: $a_1 = -5,4$, $d = 1,8$ и $a_n = 30,6$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$30,6 = -5,4 + (n-1) \cdot 1,8$
$30,6 + 5,4 = 1,8(n-1)$
$36 = 1,8(n-1)$
$n-1 = \frac{36}{1,8}$
$n-1 = \frac{360}{18}$
$n-1 = 20$
$n = 21$
Теперь найдем сумму $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{21} = \frac{-5,4 + 30,6}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{25,2}{2} \cdot 21$
$S_{21} = 12,6 \cdot 21 = 264,6$
Ответ: $n = 21$, $S_{21} = 264,6$.

4) Дано: $a_1 = -7,3$, $d = -2,6$ и $a_n = -30,7$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$-30,7 = -7,3 + (n-1) \cdot (-2,6)$
$-30,7 + 7,3 = -2,6(n-1)$
$-23,4 = -2,6(n-1)$
$n-1 = \frac{-23,4}{-2,6}$
$n-1 = \frac{234}{26}$
$n-1 = 9$
$n = 10$
Теперь найдем сумму $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{10} = \frac{-7,3 + (-30,7)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{-38}{2} \cdot 10$
$S_{10} = -19 \cdot 10 = -190$
Ответ: $n = 10$, $S_{10} = -190$.

14.4. Найдите n, если:

1) $a_1 = 25, d = -2, S_n = 168;$

2) $a_1 = 5, d = 2, S_n = 192;$

3) $a_1 = -12,5, d = 3, S_n = 195,5;$

4) $a_1 = -2,4, d = -0,8, S_n = -70,4.$

1) Для нахождения $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 25$, $d = -2$, $S_n = 168$ в формулу:

$168 = \frac{2 \cdot 25 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение:

$168 = \frac{50 - 2n + 2}{2} \cdot n$

$168 = \frac{52 - 2n}{2} \cdot n$

$168 = (26 - n)n$

$168 = 26n - n^2$

Получаем квадратное уравнение:

$n^2 - 26n + 168 = 0$

Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 676 - 672 = 4$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 2}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 2}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Оба корня являются натуральными числами, поэтому оба являются решением задачи. Это возможно, так как прогрессия убывающая и сумма членов с 13-го по 14-й равна нулю ($a_{13} = 1$, $a_{14} = -1$).

Ответ: $n = 12$ или $n = 14$.

2) Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = 5$, $d = 2$, $S_n = 192$.

Подставляем значения:

$192 = \frac{2 \cdot 5 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим:

$192 = \frac{10 + 2n - 2}{2} \cdot n$

$192 = \frac{8 + 2n}{2} \cdot n$

$192 = (4 + n)n$

$192 = 4n + n^2$

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$n^2 + 4n - 192 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку число членов прогрессии $n$ не может быть отрицательным, корень $n_2 = -16$ не является решением задачи.

Ответ: $n = 12$.

3) Используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = -12,5$, $d = 3$, $S_n = 195,5$.

Подставляем значения:

$195,5 = \frac{2 \cdot (-12,5) + 3(n-1)}{2} \cdot n$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$391 = (-25 + 3(n-1)) \cdot n$

$391 = (-25 + 3n - 3) \cdot n$

$391 = (3n - 28)n$

$391 = 3n^2 - 28n$

Приводим к стандартному виду:

$3n^2 - 28n - 391 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-391) = 784 + 4692 = 5476$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 74}{6} = \frac{102}{6} = 17$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 74}{6} = \frac{-46}{6} = -\frac{23}{3}$

Число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, поэтому корень $n_2 = -23/3$ не подходит.

Ответ: $n = 17$.

4) Используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = -2,4$, $d = -0,8$, $S_n = -70,4$.

Подставляем значения:

$-70,4 = \frac{2 \cdot (-2,4) + (-0,8)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе:

$-70,4 = \frac{-4,8 - 0,8n + 0,8}{2} \cdot n$

$-70,4 = \frac{-4 - 0,8n}{2} \cdot n$

$-70,4 = (-2 - 0,4n)n$

$-70,4 = -2n - 0,4n^2$

Умножим обе части на -10, чтобы избавиться от десятичных знаков и отрицательных коэффициентов при $n^2$:

$704 = 20n + 4n^2$

Перепишем в стандартном виде и разделим на 4:

$4n^2 + 20n - 704 = 0$

$n^2 + 5n - 176 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-176) = 25 + 704 = 729$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 27}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 27}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Число членов $n$ должно быть натуральным числом, поэтому корень $n_2 = -16$ не является решением.

Ответ: $n = 11$.

14.5. Найдите разность арифметической прогрессии $ (a_n) $, если:

1) $a_1 = 18, n = 27, S_n = 2241;$

2) $a_1 = -8, n = 17, S_n = -408;$

3) $a_1 = -5, n = 23, S_n = 1909;$

4) $a_1 = 81, n = 34, S_n = 510.$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Из этой формулы можно выразить разность $d$:

$d = \frac{\frac{2S_n}{n} - 2a_1}{n-1}$

Теперь решим каждый подпункт, подставляя данные значения в эту формулу.

1) Дано: $a_1 = 18$, $n = 27$, $S_n = 2241$.

$d = \frac{\frac{2 \cdot 2241}{27} - 2 \cdot 18}{27-1} = \frac{\frac{4482}{27} - 36}{26} = \frac{166 - 36}{26} = \frac{130}{26} = 5$.

Ответ: $5$.

2) Дано: $a_1 = -8$, $n = 17$, $S_n = -408$.

$d = \frac{\frac{2 \cdot (-408)}{17} - 2 \cdot (-8)}{17-1} = \frac{\frac{-816}{17} + 16}{16} = \frac{-48 + 16}{16} = \frac{-32}{16} = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Дано: $a_1 = -5$, $n = 23$, $S_n = 1909$.

$d = \frac{\frac{2 \cdot 1909}{23} - 2 \cdot (-5)}{23-1} = \frac{\frac{3818}{23} + 10}{22} = \frac{166 + 10}{22} = \frac{176}{22} = 8$.

Ответ: $8$.

4) Дано: $a_1 = 81$, $n = 34$, $S_n = 510$.

$d = \frac{\frac{2 \cdot 510}{34} - 2 \cdot 81}{34-1} = \frac{30 - 162}{33} = \frac{-132}{33} = -4$.

Ответ: $-4$.

14.6. Найдите 20-й член и значение суммы 20 первых членов арифметической прогрессии:

1) 1,3; 2,1; ...;

2) $3\frac{1}{3}$; $3\frac{7}{12}$; ...;

3) -2,87; -2,77; ...;

4) -3,43; -3,49; ...

1) 1,3; 2,1; ...;

Для решения задачи воспользуемся формулами для n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной прогрессии первый член $a_1 = 1,3$, а второй член $a_2 = 2,1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 2,1 - 1,3 = 0,8$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$), подставив $n=20$ в формулу:

$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 1,3 + 19 \cdot 0,8 = 1,3 + 15,2 = 16,5$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1,3 + 16,5}{2} \cdot 20 = \frac{17,8}{2} \cdot 20 = 17,8 \cdot 10 = 178$.

Ответ: $a_{20} = 16,5$; $S_{20} = 178$.

2) $3\frac{1}{3}; 3\frac{7}{12}; ...;$

В данной прогрессии первый член $a_1 = 3\frac{1}{3}$ и второй член $a_2 = 3\frac{7}{12}$.

Переведем смешанные дроби в неправильные для удобства вычислений:

$a_1 = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$a_2 = 3\frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{36+7}{12} = \frac{43}{12}$

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = \frac{43}{12} - \frac{10}{3} = \frac{43}{12} - \frac{10 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{43}{12} - \frac{40}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = \frac{10}{3} + 19 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{3} + \frac{19}{4} = \frac{40+57}{12} = \frac{97}{12} = 8\frac{1}{12}$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (\frac{10}{3} + \frac{97}{12}) \cdot 10 = (\frac{40}{12} + \frac{97}{12}) \cdot 10 = \frac{137}{12} \cdot 10 = \frac{1370}{12} = \frac{685}{6} = 114\frac{1}{6}$.

Ответ: $a_{20} = 8\frac{1}{12}$; $S_{20} = 114\frac{1}{6}$.

3) -2,87; -2,77; ...;

В данной прогрессии первый член $a_1 = -2,87$, а второй член $a_2 = -2,77$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -2,77 - (-2,87) = -2,77 + 2,87 = 0,1$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = -2,87 + 19 \cdot 0,1 = -2,87 + 1,9 = -0,97$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (-2,87 + (-0,97)) \cdot 10 = -3,84 \cdot 10 = -38,4$.

Ответ: $a_{20} = -0,97$; $S_{20} = -38,4$.

4) -3,43; -3,49; ...

В данной прогрессии первый член $a_1 = -3,43$, а второй член $a_2 = -3,49$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -3,49 - (-3,43) = -3,49 + 3,43 = -0,06$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = -3,43 + 19 \cdot (-0,06) = -3,43 - 1,14 = -4,57$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (-3,43 + (-4,57)) \cdot 10 = -8 \cdot 10 = -80$.

Ответ: $a_{20} = -4,57$; $S_{20} = -80$.

14.7. Найдите разность арифметической прогрессии, если:

1) $a_{11} = 6, a_{16} = 8.5;$

2) $a_8 = 4, a_{13} = 7.5;$

3) $a_3 = 3, a_8 = 10.5;$

4) $a_2 = 2, a_9 = 6.9.$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$, зная два ее члена $a_n$ и $a_m$, можно использовать формулу, вытекающую из определения n-го члена прогрессии ($a_k = a_1 + (k-1)d$):

$a_m = a_1 + (m-1)d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$a_m - a_n = (a_1 + (m-1)d) - (a_1 + (n-1)d) = (m-1)d - (n-1)d = (m-n)d$

Отсюда формула для разности $d$:

$d = \frac{a_m - a_n}{m-n}$

Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

1) Дано: $a_{11} = 6$, $a_{16} = 8,5$.

В этом случае $m=16$, $n=11$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{a_{16} - a_{11}}{16 - 11} = \frac{8,5 - 6}{5} = \frac{2,5}{5} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

2) Дано: $a_8 = 4$, $a_{13} = 7,5$.

Здесь $m=13$, $n=8$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{a_{13} - a_8}{13 - 8} = \frac{7,5 - 4}{5} = \frac{3,5}{5} = 0,7$.

Ответ: $0,7$.

3) Дано: $a_3 = 3$, $a_8 = 10,5$.

Здесь $m=8$, $n=3$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{a_8 - a_3}{8 - 3} = \frac{10,5 - 3}{5} = \frac{7,5}{5} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

4) Дано: $a_2 = 2$, $a_9 = 6,9$.

Здесь $m=9$, $n=2$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{a_9 - a_2}{9 - 2} = \frac{6,9 - 2}{7} = \frac{4,9}{7} = 0,7$.

Ответ: $0,7$.

14.8. Арифметическая прогрессия ($x_n$) задана формулой:

1) $x_n = 3n + 2$. Найдите значение суммы 20 первых ее членов;

2) $x_n = 2n - 9$. Найдите значение суммы 30 первых ее членов;

3) $x_n = -4n + 12$. Найдите значение суммы 12 первых ее членов;

4) $x_n = -2,3n - 7,2$. Найдите значение суммы 29 первых ее членов.

Для решения всех подпунктов задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n$

где $x_1$ — первый член прогрессии, $x_n$ — n-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

1) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = 3n + 2$. Найдем значение суммы 20 первых ее членов ($S_{20}$).

Сначала определим первый член прогрессии ($x_1$), подставив $n=1$:

$x_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$

Затем найдем двадцатый член прогрессии ($x_{20}$), подставив $n=20$:

$x_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62$

Теперь вычислим сумму, подставив найденные значения в формулу:

$S_{20} = \frac{x_1 + x_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$

Ответ: 670.

2) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = 2n - 9$. Найдем значение суммы 30 первых ее членов ($S_{30}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = -7$

Найдем тридцатый член прогрессии ($x_{30}$):

$x_{30} = 2 \cdot 30 - 9 = 60 - 9 = 51$

Вычислим сумму:

$S_{30} = \frac{x_1 + x_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-7 + 51}{2} \cdot 30 = \frac{44}{2} \cdot 30 = 22 \cdot 30 = 660$

Ответ: 660.

3) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = -4n + 12$. Найдем значение суммы 12 первых ее членов ($S_{12}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = -4 \cdot 1 + 12 = 8$

Найдем двенадцатый член прогрессии ($x_{12}$):

$x_{12} = -4 \cdot 12 + 12 = -48 + 12 = -36$

Вычислим сумму:

$S_{12} = \frac{x_1 + x_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{8 + (-36)}{2} \cdot 12 = \frac{-28}{2} \cdot 12 = -14 \cdot 12 = -168$

Ответ: -168.

4) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = -2,3n - 7,2$. Найдем значение суммы 29 первых ее членов ($S_{29}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = -2,3 \cdot 1 - 7,2 = -9,5$

Найдем двадцать девятый член прогрессии ($x_{29}$):

$x_{29} = -2,3 \cdot 29 - 7,2 = -66,7 - 7,2 = -73,9$

Вычислим сумму:

$S_{29} = \frac{x_1 + x_{29}}{2} \cdot 29 = \frac{-9,5 + (-73,9)}{2} \cdot 29 = \frac{-83,4}{2} \cdot 29 = -41,7 \cdot 29 = -1209,3$

Ответ: -1209,3.

14.9. Найдите значение суммы:

1) $2 + 4 + 6 + ... + 2n$, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до $2n$, включая $2n$;

2) $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$, слагаемыми которой являются все нечетные натуральные числа от 1 до $2n - 1$, включая $2n - 1$;

3) $3 + 6 + 9 + ... + 3n$, слагаемыми которой являются все натуральные числа, кратные 3, от 3 до $3n$, включая $3n$;

4) $5 + 10 + 15 + ... + 5n$, слагаемыми которой являются все натуральные числа, кратные 5, от 5 до $5n$, включая $5n$.

1) Данная сумма $S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$ является суммой членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 2$, разность $d = 2$. Последний член, который мы обозначим как $a_k$, равен $2n$. Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии, используя формулу для $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$. Подставив наши значения, получим: $2n = 2 + (k-1)2$. Упрощая это уравнение, имеем $2n - 2 = 2(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда следует, что $k=n$. Таким образом, в сумме содержится $n$ слагаемых. Для нахождения значения суммы воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае, последний член $a_n = 2n$, поэтому $S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1+n)}{2} \cdot n = n(n+1)$.
Ответ: $n(n+1)$.

2) Сумма $S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = 2$, а последний член $a_k = 2n-1$. Найдем количество членов $k$ по формуле общего члена $a_k = a_1 + (k-1)d$. Подставляем известные значения: $2n-1 = 1 + (k-1)2$. Упрощаем: $2n-2 = 2(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда $k=n$. Значит, в сумме $n$ слагаемых. Сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив наши значения ($a_n = 2n-1$), получаем: $S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Ответ: $n^2$.

3) Сумма $S = 3 + 6 + 9 + ... + 3n$ является суммой членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 3$. Последний член $a_k = 3n$. Найдем количество членов $k$. Используем формулу $a_k = a_1 + (k-1)d$: $3n = 3 + (k-1)3$. Отсюда $3n-3 = 3(k-1)$, или $n-1 = k-1$, что дает $k=n$. В сумме $n$ слагаемых. Формула суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем ($a_n = 3n$): $S_n = \frac{3 + 3n}{2} \cdot n = \frac{3(1+n)}{2} \cdot n = \frac{3n(n+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{3n(n+1)}{2}$.

4) Сумма $S = 5 + 10 + 15 + ... + 5n$ является суммой членов арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = 5$, разность $d = 5$, последний член $a_k = 5n$. Найдем количество членов $k$ по формуле $a_k = a_1 + (k-1)d$: $5n = 5 + (k-1)5$. Упрощаем: $5n-5 = 5(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда $k=n$. Таким образом, в сумме $n$ слагаемых. Сумму находим по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения ($a_n = 5n$): $S_n = \frac{5 + 5n}{2} \cdot n = \frac{5(1+n)}{2} \cdot n = \frac{5n(n+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{5n(n+1)}{2}$.

26. Укажите три пары чисел, являющихся решением уравнения:

1) $3x - 4y = 10$;

2) $5x + 0,2y = 1$.

1) Для уравнения $3x - 4y = 10$ необходимо найти три пары чисел $(x, y)$, которые являются его решением. Для этого удобно выразить одну переменную через другую. Выразим $y$ через $x$:

$3x - 4y = 10$
$-4y = 10 - 3x$
$4y = 3x - 10$
$y = \frac{3x - 10}{4}$

Теперь будем подбирать значения $x$ и вычислять соответствующие значения $y$. Чтобы получить целые значения $y$, удобно выбирать такие $x$, чтобы выражение $3x - 10$ было кратно 4.

• Пара 1: Пусть $x = 2$. Тогда $y = \frac{3 \cdot 2 - 10}{4} = \frac{6 - 10}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Решением является пара чисел $(2; -1)$.

• Пара 2: Пусть $x = 6$. Тогда $y = \frac{3 \cdot 6 - 10}{4} = \frac{18 - 10}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Решением является пара чисел $(6; 2)$.

• Пара 3: Пусть $x = -2$. Тогда $y = \frac{3 \cdot (-2) - 10}{4} = \frac{-6 - 10}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.
Решением является пара чисел $(-2; -4)$.

Ответ: $(2; -1)$, $(6; 2)$, $(-2; -4)$.

2) Для уравнения $5x + 0,2y = 1$ найдем три пары решений. Сначала упростим уравнение, умножив обе его части на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5 \cdot (5x + 0,2y) = 5 \cdot 1$
$25x + y = 5$

Отсюда выразим $y$ через $x$:
$y = 5 - 25x$

Теперь подберем три произвольных значения $x$ и вычислим для них $y$.

• Пара 1: Пусть $x = 0$. Тогда $y = 5 - 25 \cdot 0 = 5$.
Решением является пара чисел $(0; 5)$.

• Пара 2: Пусть $x = 1$. Тогда $y = 5 - 25 \cdot 1 = 5 - 25 = -20$.
Решением является пара чисел $(1; -20)$.

• Пара 3: Пусть $x = -1$. Тогда $y = 5 - 25 \cdot (-1) = 5 + 25 = 30$.
Решением является пара чисел $(-1; 30)$.

Ответ: $(0; 5)$, $(1; -20)$, $(-1; 30)$.

27. Среди пар чисел $(0; 0,4)$, $(0,4; 0)$, $(0; -0,4)$, $(-0,4; 0)$, $(4; 6)$, $(-4; -6)$, $(0; 0)$ найдите решение уравнения $8x - 5y - 2 = 0$.

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $8x - 5y - 2 = 0$, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в это уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то пара является решением.

Проверим каждую пару чисел:

(0; 0,4)

Подставляем $x = 0$ и $y = 0,4$ в уравнение:

$8 \cdot 0 - 5 \cdot 0,4 - 2 = 0 - 2 - 2 = -4$

Поскольку $-4 \neq 0$, эта пара чисел не является решением уравнения.

(0,4; 0)

Подставляем $x = 0,4$ и $y = 0$ в уравнение:

$8 \cdot 0,4 - 5 \cdot 0 - 2 = 3,2 - 0 - 2 = 1,2$

Поскольку $1,2 \neq 0$, эта пара чисел не является решением уравнения.

(0; -0,4)

Подставляем $x = 0$ и $y = -0,4$ в уравнение:

$8 \cdot 0 - 5 \cdot (-0,4) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$

Поскольку $0 = 0$, эта пара чисел является решением уравнения.

(-0,4; 0)

Подставляем $x = -0,4$ и $y = 0$ в уравнение:

$8 \cdot (-0,4) - 5 \cdot 0 - 2 = -3,2 - 0 - 2 = -5,2$

Поскольку $-5,2 \neq 0$, эта пара чисел не является решением уравнения.

(4; 6)

Подставляем $x = 4$ и $y = 6$ в уравнение:

$8 \cdot 4 - 5 \cdot 6 - 2 = 32 - 30 - 2 = 2 - 2 = 0$

Поскольку $0 = 0$, эта пара чисел является решением уравнения.

(-4; -6)

Подставляем $x = -4$ и $y = -6$ в уравнение:

$8 \cdot (-4) - 5 \cdot (-6) - 2 = -32 + 30 - 2 = -4$

Поскольку $-4 \neq 0$, эта пара чисел не является решением уравнения.

(0; 0)

Подставляем $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение:

$8 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 2 = 0 - 0 - 2 = -2$

Поскольку $-2 \neq 0$, эта пара чисел не является решением уравнения.

Таким образом, среди предложенных пар чисел решениями уравнения являются две пары.

Ответ: $(0; -0,4)$ и $(4; 6)$.

28. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а ее разность как $d$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи известно, что сумма первого и четвертого членов равна 23. Запишем это в виде уравнения:
$a_1 + a_4 = 23$
Используя общую формулу, выразим четвертый член $a_4$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим это выражение в уравнение:
$a_1 + (a_1 + 3d) = 23$
$2a_1 + 3d = 23$ (1)

Также из условия известно, что сумма третьего и шестого членов равна 31:
$a_3 + a_6 = 31$
Выразим третий и шестой члены через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 31$
$2a_1 + 7d = 31$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 3d = 23 \\ 2a_1 + 7d = 31\end{cases}$
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 7d) - (2a_1 + 3d) = 31 - 23$
$4d = 8$
$d = \frac{8}{4} = 2$

Теперь, зная разность $d=2$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение:
$2a_1 + 3(2) = 23$
$2a_1 + 6 = 23$
$2a_1 = 23 - 6$
$2a_1 = 17$
$a_1 = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: первый член прогрессии равен 8.5, а разность равна 2.

29. Найдите четвертый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, значение суммы которой равно 6, а значение пяти первых членов равно $ \frac{93}{16} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Поскольку прогрессия бесконечная и имеет сумму, ее знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Согласно условиям задачи, у нас есть система из двух уравнений:

1) $S = \frac{b_1}{1-q} = 6$

2) $S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{93}{16}$

Мы можем подставить выражение из первого уравнения во второе. Заметим, что $S_5$ можно записать как $S_5 = (\frac{b_1}{1-q}) \cdot (1-q^5)$. Таким образом, $S_5 = S \cdot (1-q^5)$.

Чтобы найти знаменатель $q$, подставим известные значения $S=6$ и $S_5=\frac{93}{16}$ в выведенное соотношение:

$\frac{93}{16} = 6 \cdot (1-q^5)$

Выразим $(1-q^5)$, разделив обе части на 6:

$1-q^5 = \frac{93}{16 \cdot 6} = \frac{93}{96}$

Сократим полученную дробь на 3:

$1-q^5 = \frac{31}{32}$

Теперь найдем $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$

Извлекая корень пятой степени, находим $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{2}$.

Для нахождения четвертого члена $b_4$ нам сначала нужно определить первый член прогрессии $b_1$. Используем первое уравнение системы $S = \frac{b_1}{1-q}$ и найденное значение $q=\frac{1}{2}$:

$6 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{2}}$

$6 = \frac{b_1}{\frac{1}{2}}$

$b_1 = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Теперь мы можем найти четвертый член $b_4$ по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставляем значения $b_1=3$ и $q=\frac{1}{2}$:

$b_4 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

Ответ: четвертый член равен $\frac{3}{8}$.

30. Вычислите значение суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

1) $\begin{cases} b_1 + b_4 = 68,4, \\ b_2 + b_3 = -8,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} b_1 - b_3 = 384, \\ b_1 + b_4 = 403,2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = 68,4 \\ b_2 + b_3 = -8,4 \end{cases} $

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель. Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 68,4 \\ b_1 q + b_1 q^2 = -8,4 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 (1 + q^3) = 68,4 \\ b_1 q(1 + q) = -8,4 \end{cases} $

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить $b_1$ (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$):

$\frac{b_1 (1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{68,4}{-8,4}$

Сократим дробь в левой части, используя формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{q}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{68,4}{-8,4} = -\frac{684}{84} = -\frac{57 \cdot 12}{7 \cdot 12} = -\frac{57}{7}$

Получаем уравнение для $q$:

$\frac{1-q+q^2}{q} = -\frac{57}{7}$

$7(1-q+q^2) = -57q$

$7-7q+7q^2 = -57q$

$7q^2 + 50q + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 50^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{-98}{14} = -7$

$q_2 = \frac{-50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Рассмотрим первый случай, когда $q = -7$. Найдем $b_1$ из второго уравнения системы $b_1 q(1 + q) = -8,4$:

$b_1 \cdot (-7)(1 - 7) = -8,4$

$b_1 \cdot (-7)(-6) = -8,4$

$42 b_1 = -8,4$

$b_1 = \frac{-8,4}{42} = -0,2$

Теперь вычислим сумму первых пяти членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{-0,2((-7)^5 - 1)}{-7 - 1} = \frac{-0,2(-16807 - 1)}{-8} = \frac{-0,2(-16808)}{-8} = \frac{3361,6}{-8} = -420,2$

(Отметим, что для второго корня $q = -1/7$ получается $b_1=68,6$ и другое значение суммы $S_5$).

Ответ: -420,2

2)

Дана система уравнений для членов геометрической прогрессии:

$ \begin{cases} b_1 - b_3 = 384 \\ b_1 + b_4 = 403,2 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему:

$ \begin{cases} b_1 - b_1 q^2 = 384 \\ b_1 + b_1 q^3 = 403,2 \end{cases} $

Вынесем $b_1$ за скобки:

$ \begin{cases} b_1 (1 - q^2) = 384 \\ b_1 (1 + q^3) = 403,2 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $1-q^2 \neq 0$):

$\frac{b_1 (1 + q^3)}{b_1 (1 - q^2)} = \frac{403,2}{384}$

Упростим левую часть, используя формулы разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$ и суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{(1-q)(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{1-q}$

Упростим правую часть:

$\frac{403,2}{384} = \frac{4032}{3840} = \frac{10,5 \cdot 384}{10 \cdot 384} = \frac{10,5}{10} = 1,05 = \frac{21}{20}$

Получаем уравнение для $q$:

$\frac{1-q+q^2}{1-q} = \frac{21}{20}$

$20(1-q+q^2) = 21(1-q)$

$20-20q+20q^2 = 21-21q$

$20q^2 + q - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 20} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0,2$

$q_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 20} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Рассмотрим второй случай, когда $q = -0,25$. Найдем $b_1$ из первого уравнения системы $b_1(1 - q^2) = 384$:

$b_1(1 - (-0,25)^2) = 384$

$b_1(1 - 0,0625) = 384$

$b_1(0,9375) = 384$

$b_1 = \frac{384}{0,9375} = \frac{384}{15/16} = 384 \cdot \frac{16}{15} = 25,6 \cdot 16 = 409,6$

Теперь вычислим сумму первых пяти членов $S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$.

$b_1 = 409,6$

$b_2 = 409,6 \cdot (-0,25) = -102,4$

$b_3 = -102,4 \cdot (-0,25) = 25,6$

$b_4 = 25,6 \cdot (-0,25) = -6,4$

$b_5 = -6,4 \cdot (-0,25) = 1,6$

$S_5 = 409,6 - 102,4 + 25,6 - 6,4 + 1,6 = 307,2 + 19,2 + 1,6 = 326,4 + 1,6 = 328$

(Отметим, что для первого корня $q=0,2$ получается $b_1=400$ и сумма $S_5 = 499,84$).

Ответ: 328

31. Найдите значение суммы первых восьми членов арифметической прогрессии, если:

1)

$$ \begin{cases} 2a_2 - 5a_6 = 23, \\ a_1 - 9a_5 = 86; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 4a_3 - 5a_2 = -75, \\ 6a_2 + 5a_7 = 135. \end{cases} $$

1) Чтобы найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии ($S_8$), воспользуемся формулой $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$, где $a_1$ – первый член, а $d$ – разность прогрессии. Для $n=8$ формула имеет вид: $S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4(2a_1 + 7d)$.

Нам дана система уравнений:$\begin{cases}2a_2 - 5a_6 = 23 \\a_1 - 9a_5 = 86\end{cases}$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в систему:$\begin{cases}2(a_1 + d) - 5(a_1 + 5d) = 23 \\a_1 - 9(a_1 + 4d) = 86\end{cases}$

Упростим полученные уравнения:$\begin{cases}2a_1 + 2d - 5a_1 - 25d = 23 \\a_1 - 9a_1 - 36d = 86\end{cases}$
что приводит к системе:$\begin{cases}-3a_1 - 23d = 23 \\-8a_1 - 36d = 86\end{cases}$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 8, а второе на -3, чтобы исключить $a_1$:$\begin{cases}-24a_1 - 184d = 184 \\24a_1 + 108d = -258\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-24a_1 - 184d) + (24a_1 + 108d) = 184 - 258$
$-76d = -74$
$d = \frac{-74}{-76} = \frac{37}{38}$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в уравнение $-3a_1 - 23d = 23$:
$-3a_1 - 23 \cdot \frac{37}{38} = 23$
$-3a_1 = 23 + 23 \cdot \frac{37}{38} = 23 \left(1 + \frac{37}{38}\right) = 23 \cdot \frac{75}{38}$
$a_1 = -\frac{23 \cdot 75}{3 \cdot 38} = -\frac{23 \cdot 25}{38} = -\frac{575}{38}$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, вычислим сумму $S_8$:
$S_8 = 4(2a_1 + 7d) = 4\left(2 \cdot \left(-\frac{575}{38}\right) + 7 \cdot \frac{37}{38}\right)$
$S_8 = 4\left(\frac{-1150}{38} + \frac{259}{38}\right) = 4\left(\frac{-891}{38}\right)$
$S_8 = 2 \cdot \frac{-891}{19} = -\frac{1782}{19}$
Ответ: $S_8 = -\frac{1782}{19}$.

2) Аналогично первому пункту, нам нужно найти $S_8 = 4(2a_1 + 7d)$.

Дана система уравнений:$\begin{cases}4a_3 - 5a_2 = -75 \\6a_2 + 5a_7 = 135\end{cases}$
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_7 = a_1 + 6d$

Подставим эти выражения в систему:$\begin{cases}4(a_1 + 2d) - 5(a_1 + d) = -75 \\6(a_1 + d) + 5(a_1 + 6d) = 135\end{cases}$

Упростим уравнения:$\begin{cases}4a_1 + 8d - 5a_1 - 5d = -75 \\6a_1 + 6d + 5a_1 + 30d = 135\end{cases}$
что приводит к системе:$\begin{cases}-a_1 + 3d = -75 \\11a_1 + 36d = 135\end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = 3d + 75$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$11(3d + 75) + 36d = 135$
$33d + 825 + 36d = 135$
$69d = 135 - 825$
$69d = -690$
$d = -10$

Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = 3d + 75 = 3(-10) + 75 = -30 + 75 = 45$

Теперь, зная $a_1 = 45$ и $d = -10$, вычислим сумму $S_8$:
$S_8 = 4(2a_1 + 7d) = 4(2 \cdot 45 + 7 \cdot (-10))$
$S_8 = 4(90 - 70) = 4(20) = 80$
Ответ: $S_8 = 80$.

32. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 5y^2 - x^2 = 1, \\ 7y^2 + 3xy = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 + xy = 5, \\ x^2 + 3xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 - x^2 = 12, \\ y^2 - 3xy + 2x^2 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - 3xy = 2, \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}5y^2 - x^2 = 1 \\7y^2 + 3xy = 1\end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$5y^2 - x^2 = 7y^2 + 3xy$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Проверим, является ли $y=0$ решением. Если $y=0$, то из первого уравнения системы получаем $-x^2=1$, что не имеет действительных решений. Следовательно, $y \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $y^2$.

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $5y^2 - x^2 = 1$:

$5y^2 - (-y)^2 = 1$

$5y^2 - y^2 = 1$

$4y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = -y_1 = -\frac{1}{2}$. Получаем решение $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = -y_2 = \frac{1}{2}$. Получаем решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $5y^2 - x^2 = 1$:

$5y^2 - (-2y)^2 = 1$

$5y^2 - 4y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2y_3 = -2$. Получаем решение $(-2, 1)$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2y_4 = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}4x^2 + xy = 5 \\x^2 + 3xy = 4\end{cases}$

Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 4, а второе на 5:

$\begin{cases}16x^2 + 4xy = 20 \\5x^2 + 15xy = 20\end{cases}$

Приравняем левые части полученных уравнений:

$16x^2 + 4xy = 5x^2 + 15xy$

$11x^2 - 11xy = 0$

$11x(x - y) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая:

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение исходной системы: $4(0)^2 + 0 \cdot y = 5$, что приводит к неверному равенству $0=5$. Следовательно, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение исходной системы $x^2 + 3xy = 4$:

$x^2 + 3x(x) = 4$

$x^2 + 3x^2 = 4$

$4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = x_1 = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = x_2 = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}y^2 - x^2 = 12 \\y^2 - 3xy + 2x^2 = 0\end{cases}$

Второе уравнение системы является однородным. Разложим его на множители, рассмотрев как квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 3xy + 2x^2 = 0$

$(y - x)(y - 2x) = 0$

Это дает два возможных случая:

Случай 1: $y - x = 0$, откуда $y = x$.

Подставим $y=x$ в первое уравнение системы $y^2 - x^2 = 12$:

$x^2 - x^2 = 12$, что приводит к неверному равенству $0=12$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $y - 2x = 0$, откуда $y = 2x$.

Подставим $y=2x$ в первое уравнение системы $y^2 - x^2 = 12$:

$(2x)^2 - x^2 = 12$

$4x^2 - x^2 = 12$

$3x^2 = 12 \implies x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2x_1 = 4$. Получаем решение $(2, 4)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2x_2 = -4$. Получаем решение $(-2, -4)$.

Ответ: $(2, 4), (-2, -4)$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}y^2 - 3xy = 2 \\y^2 - 4xy + x^2 = 3\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы получить равные правые части:

$\begin{cases}3y^2 - 9xy = 6 \\2y^2 - 8xy + 2x^2 = 6\end{cases}$

Приравняем левые части полученных уравнений:

$3y^2 - 9xy = 2y^2 - 8xy + 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$

Проверим случай $x=0$. Из первого уравнения системы $y^2=2$, из второго $y^2=3$. Это противоречие, значит $x \neq 0$. Разделим уравнение на $x^2$:

$(\frac{y}{x})^2 - (\frac{y}{x}) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\frac{y}{x} = 2$, откуда $y = 2x$.

Подставим $y=2x$ в первое уравнение исходной системы $y^2 - 3xy = 2$:

$(2x)^2 - 3x(2x) = 2$

$4x^2 - 6x^2 = 2$

$-2x^2 = 2 \implies x^2 = -1$. Действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $\frac{y}{x} = -1$, откуда $y = -x$.

Подставим $y=-x$ в первое уравнение исходной системы $y^2 - 3xy = 2$:

$(-x)^2 - 3x(-x) = 2$

$x^2 + 3x^2 = 2$

$4x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Если $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

33. Способом введения новой переменной решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) = 45, \\ (u-v)^2 - 2(u-v) = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) = -4, \\ (u-v)^2 - (u-v) = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) = 45, \\ (u-v)^2 - 2(u-v) = 3; \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - 4a - 45 = 0, \\ b^2 - 2b - 3 = 0; \end{cases} $$ Решим каждое квадратное уравнение отдельно.
Для $a^2 - 4a - 45 = 0$:
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
$a_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9$, $a_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5$.
Для $b^2 - 2b - 3 = 0$:
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$b_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$, $b_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
Теперь выполним обратную замену для всех возможных пар $(a, b)$:
Случай 1: $a = 9, b = 3$. $$ \begin{cases} u+v = 9, \\ u-v = 3; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = 12$, откуда $u = 6$. Подставляя в первое уравнение, находим $v = 9 - 6 = 3$. Решение: $(6, 3)$.
Случай 2: $a = 9, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 9, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = 8$, откуда $u = 4$. Тогда $v = 9 - 4 = 5$. Решение: $(4, 5)$.
Случай 3: $a = -5, b = 3$. $$ \begin{cases} u+v = -5, \\ u-v = 3; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = -2$, откуда $u = -1$. Тогда $v = -5 - (-1) = -4$. Решение: $(-1, -4)$.
Случай 4: $a = -5, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = -5, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = -6$, откуда $u = -3$. Тогда $v = -5 - (-3) = -2$. Решение: $(-3, -2)$.
Ответ: $(6, 3), (4, 5), (-1, -4), (-3, -2)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) = -4, \\ (u-v)^2 - (u-v) = 2; \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - 5a + 4 = 0, \\ b^2 - b - 2 = 0; \end{cases} $$ Решим каждое уравнение.
Для $a^2 - 5a + 4 = 0$, по теореме Виета, корни $a_1 = 1, a_2 = 4$.
Для $b^2 - b - 2 = 0$, по теореме Виета, корни $b_1 = 2, b_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для всех возможных пар $(a, b)$:
Случай 1: $a = 4, b = 2$. $$ \begin{cases} u+v = 4, \\ u-v = 2; \end{cases} $$ $2u = 6 \Rightarrow u = 3$. Тогда $v = 4 - 3 = 1$. Решение: $(3, 1)$.
Случай 2: $a = 4, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 4, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ $2u = 3 \Rightarrow u = 1.5$. Тогда $v = 4 - 1.5 = 2.5$. Решение: $(1.5, 2.5)$.
Случай 3: $a = 1, b = 2$. $$ \begin{cases} u+v = 1, \\ u-v = 2; \end{cases} $$ $2u = 3 \Rightarrow u = 1.5$. Тогда $v = 1 - 1.5 = -0.5$. Решение: $(1.5, -0.5)$.
Случай 4: $a = 1, b = -1$. $$ \begin{cases} u+v = 1, \\ u-v = -1; \end{cases} $$ $2u = 0 \Rightarrow u = 0$. Тогда $v = 1 - 0 = 1$. Решение: $(0, 1)$.
Ответ: $(3, 1), (1.5, 2.5), (1.5, -0.5), (0, 1)$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11; \end{cases} $$ Перепишем систему в более удобном виде: $$ \begin{cases} (u+v) - uv = 1, \\ (u^2+v^2) + 2(u+v) = 11; \end{cases} $$ Введем новые переменные: $S = u+v$ и $P = uv$.
Используя тождество $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$, преобразуем систему: $$ \begin{cases} S - P = 1, \\ (S^2 - 2P) + 2S = 11; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $P = S - 1$ и подставим во второе:
$S^2 - 2(S-1) + 2S = 11$
$S^2 - 2S + 2 + 2S = 11$
$S^2 = 9$, откуда $S_1 = 3, S_2 = -3$.
Случай 1: $S = 3$.
$P = S - 1 = 3 - 1 = 2$.
Имеем систему $u+v = 3, uv = 2$. По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=2$.
Следовательно, решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
Случай 2: $S = -3$.
$P = S - 1 = -3 - 1 = -4$.
Имеем систему $u+v = -3, uv = -4$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 4 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=-4$.
Следовательно, решения: $(1, -4)$ и $(-4, 1)$.
Ответ: $(1, 2), (2, 1), (1, -4), (-4, 1)$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7; \end{cases} $$ Перепишем систему: $$ \begin{cases} (u+v) + uv = 5, \\ (u^2+v^2) + uv = 7; \end{cases} $$ Введем новые переменные: $S = u+v$ и $P = uv$.
Используя тождество $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$, преобразуем второе уравнение: $S^2 - 2P + P = 7$, то есть $S^2 - P = 7$.
Получаем систему для $S$ и $P$: $$ \begin{cases} S + P = 5, \\ S^2 - P = 7; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $P = 5 - S$ и подставим во второе:
$S^2 - (5 - S) = 7$
$S^2 + S - 5 - 7 = 0$
$S^2 + S - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $S_1 = 3, S_2 = -4$.
Случай 1: $S = 3$.
$P = 5 - S = 5 - 3 = 2$.
Имеем систему $u+v = 3, uv = 2$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни $t_1=1, t_2=2$.
Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
Случай 2: $S = -4$.
$P = 5 - S = 5 - (-4) = 9$.
Имеем систему $u+v = -4, uv = 9$. $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.