Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Запишите формулу для нахождения значения суммы $k(k+1)$ членов арифметической прогрессии.

2. Как можно вычислить значение суммы последовательных $n$ членов арифметической прогрессии, начиная с члена $k$, не используя формулу из примера 2?

1. Сумма первых $N$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$ вычисляется по стандартной формуле:

$S_N = \frac{2a_1 + d(N-1)}{2} \cdot N$

В данном вопросе требуется записать формулу для суммы $k(k+1)$ членов. Это означает, что количество членов $N$ в формуле нужно заменить на $k(k+1)$.

Подставив $N = k(k+1)$ в общую формулу суммы, получим искомую формулу:

$S_{k(k+1)} = \frac{2a_1 + d(k(k+1) - 1)}{2} \cdot k(k+1)$

Это и есть формула для нахождения значения суммы $k(k+1)$ членов арифметической прогрессии.

Ответ: $S_{k(k+1)} = \frac{2a_1 + d(k(k+1) - 1)}{2} \cdot k(k+1)$

2. Искомая сумма $S$ представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии, начиная с $k$-го члена: $S = a_k + a_{k+1} + \dots + a_{k+n-1}$.

Вычислить эту сумму, не используя специальную формулу для такого случая (предположительно, это "формула из примера 2"), можно методом вычитания. Этот метод состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Вычисляется сумма всех членов прогрессии от первого до последнего члена в нашей последовательности, то есть до члена с номером $k+n-1$. Обозначим эту сумму $S_{k+n-1}$. Она включает в себя все члены от $a_1$ до $a_{k+n-1}$.

$S_{k+n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k + \dots + a_{k+n-1}$

Шаг 2. Вычисляется сумма всех членов, которые не входят в искомую сумму, но входят в сумму $S_{k+n-1}$. Это члены с первого по $(k-1)$-й. Обозначим эту сумму $S_{k-1}$.

$S_{k-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}$

Шаг 3. Искомая сумма $S$ получается путем вычитания второй суммы из первой:

$S = S_{k+n-1} - S_{k-1} = (a_1 + \dots + a_{k+n-1}) - (a_1 + \dots + a_{k-1}) = a_k + \dots + a_{k+n-1}$

Обе суммы, $S_{k+n-1}$ и $S_{k-1}$, вычисляются по стандартной формуле суммы первых членов арифметической прогрессии. Таким образом, мы находим требуемое значение, не прибегая к какой-либо другой специальной формуле.

Ответ: Искомую сумму можно вычислить как разность суммы первых $k+n-1$ членов и суммы первых $k-1$ членов арифметической прогрессии: $S = S_{k+n-1} - S_{k-1}$.

14.1. Найдите значение суммы 99 членов арифметической прогрессии:

1) 32, 35; ... ;

2) 106; 103; ... ;

3) -33; -29; ... ;

4) -23,5; -23; ... .

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов. Во всех пунктах задачи требуется найти сумму 99 членов, следовательно, $n = 99$.

1) 32, 35; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 32$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 35 - 32 = 3$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot 32 + 3(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{64 + 3 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{64 + 294}{2} \cdot 99 = \frac{358}{2} \cdot 99 = 179 \cdot 99 = 17721$.
Ответ: 17721.

2) 106; 103; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 106$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 103 - 106 = -3$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot 106 + (-3)(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{212 - 3 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{212 - 294}{2} \cdot 99 = \frac{-82}{2} \cdot 99 = -41 \cdot 99 = -4059$.
Ответ: -4059.

3) -33; -29; ...
Первый член прогрессии $a_1 = -33$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -29 - (-33) = -29 + 33 = 4$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot (-33) + 4(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{-66 + 4 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{-66 + 392}{2} \cdot 99 = \frac{326}{2} \cdot 99 = 163 \cdot 99 = 16137$.
Ответ: 16137.

4) -23,5; -23; ...
Первый член прогрессии $a_1 = -23,5$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -23 - (-23,5) = -23 + 23,5 = 0,5$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot (-23,5) + 0,5(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{-47 + 0,5 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{-47 + 49}{2} \cdot 99 = \frac{2}{2} \cdot 99 = 1 \cdot 99 = 99$.
Ответ: 99.

14.2. Найдите $a_n$ и $S_n$, если:

1) $a_1 = 5, d = 3$ и $n = 14;$

2) $a_1 = 12, d = 7$ и $n = 24;$

3) $a_1 = -55, d = 8$ и $n = 32;$

4) $a_1 = -7,3, d = 8$ и $n = 19;$

5) $a_1 = -16,8, d = -1,2$ и $n = 26;$

6) $a_1 = 12,56, d = -6,4$ и $n = 104.$

Для решения задачи используются формулы арифметической прогрессии:
1. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$
2. Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена.

1) Дано: $a_1 = 5$, $d = 3$ и $n = 14$.
Находим $a_{14}$:
$a_{14} = 5 + (14-1) \cdot 3 = 5 + 13 \cdot 3 = 5 + 39 = 44$.
Находим $S_{14}$:
$S_{14} = \frac{5 + 44}{2} \cdot 14 = \frac{49}{2} \cdot 14 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: $a_{14} = 44$, $S_{14} = 343$.

2) Дано: $a_1 = 12$, $d = 7$ и $n = 24$.
Находим $a_{24}$:
$a_{24} = 12 + (24-1) \cdot 7 = 12 + 23 \cdot 7 = 12 + 161 = 173$.
Находим $S_{24}$:
$S_{24} = \frac{12 + 173}{2} \cdot 24 = \frac{185}{2} \cdot 24 = 185 \cdot 12 = 2220$.
Ответ: $a_{24} = 173$, $S_{24} = 2220$.

3) Дано: $a_1 = -55$, $d = 8$ и $n = 32$.
Находим $a_{32}$:
$a_{32} = -55 + (32-1) \cdot 8 = -55 + 31 \cdot 8 = -55 + 248 = 193$.
Находим $S_{32}$:
$S_{32} = \frac{-55 + 193}{2} \cdot 32 = \frac{138}{2} \cdot 32 = 138 \cdot 16 = 2208$.
Ответ: $a_{32} = 193$, $S_{32} = 2208$.

4) Дано: $a_1 = -7,3$, $d = 8$ и $n = 19$.
Находим $a_{19}$:
$a_{19} = -7,3 + (19-1) \cdot 8 = -7,3 + 18 \cdot 8 = -7,3 + 144 = 136,7$.
Находим $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{-7,3 + 136,7}{2} \cdot 19 = \frac{129,4}{2} \cdot 19 = 64,7 \cdot 19 = 1229,3$.
Ответ: $a_{19} = 136,7$, $S_{19} = 1229,3$.

5) Дано: $a_1 = -16,8$, $d = -1,2$ и $n = 26$.
Находим $a_{26}$:
$a_{26} = -16,8 + (26-1) \cdot (-1,2) = -16,8 + 25 \cdot (-1,2) = -16,8 - 30 = -46,8$.
Находим $S_{26}$:
$S_{26} = \frac{-16,8 + (-46,8)}{2} \cdot 26 = \frac{-63,6}{2} \cdot 26 = -63,6 \cdot 13 = -826,8$.
Ответ: $a_{26} = -46,8$, $S_{26} = -826,8$.

6) Дано: $a_1 = 12,56$, $d = -6,4$ и $n = 104$.
Находим $a_{104}$:
$a_{104} = 12,56 + (104-1) \cdot (-6,4) = 12,56 + 103 \cdot (-6,4) = 12,56 - 659,2 = -646,64$.
Находим $S_{104}$:
$S_{104} = \frac{12,56 + (-646,64)}{2} \cdot 104 = \frac{-634,08}{2} \cdot 104 = -317,04 \cdot 104 = -32972,16$.
Ответ: $a_{104} = -646,64$, $S_{104} = -32972,16$.

22. Упростите выражение:

1) $\left[\left(1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)\right]:\left[\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\frac{\operatorname{ctg}\left(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\operatorname{ctg}\left(180^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}}\right];$

2) $\frac{\sin^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}{\cos^2\alpha - \operatorname{ctg}^2\alpha};$

3) $\frac{1}{8}\cos4\alpha + 0,5 \cos2\alpha + \frac{3}{8};$

4) $\frac{\sin^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}{\cos^2\alpha - \operatorname{ctg}^2\alpha}.$

1) Упростим выражение по частям: сначала делимое, затем делитель.

Делимое: $ \left(1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} + \cos \frac{\alpha}{2}\right) $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2} $.

Выражение во второй скобке приведем к общему знаменателю: $ \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} + \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{\alpha}{2}} $.

Таким образом, делимое равно: $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \cos \frac{\alpha}{2} $.

Теперь упростим делитель: $ \left(1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{\text{ctg}\left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \text{ctg}\left(180^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha}{2}} $.

По основному тождеству $ 1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2} $.

Применим формулы приведения:

$ \text{ctg}\left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) = -\text{tg} \frac{\alpha}{2} $

$ \text{ctg}\left(180^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = -\text{ctg} \frac{\alpha}{2} $

Их произведение равно $ \left(-\text{tg} \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(-\text{ctg} \frac{\alpha}{2}\right) = \text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = 1 $.

Таким образом, делитель равен: $ \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \sin \frac{\alpha}{2} $.

В итоге, разделив упрощенное делимое на упрощенный делитель, получаем:

$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \text{ctg} \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} $.

2) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha} $.

Преобразуем числитель, вынеся за скобки $ \text{tg}^2 \alpha $:$ \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) = \text{tg}^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) = -\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $ \text{ctg}^2 \alpha $:$ \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1) = \text{ctg}^2 \alpha (-\cos^2 \alpha) = -\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{-\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha}{-\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \text{tg}^6 \alpha $.

Ответ: $ \text{tg}^6 \alpha $.

3) Упростим выражение $ \frac{1}{8}\cos(4\alpha) + 0,5 \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $, применив её к $ \cos(4\alpha) $:$ \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{1}{8}(2\cos^2(2\alpha) - 1) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} = \frac{2}{8}\cos^2(2\alpha) - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{3}{8} $

$ = \frac{1}{4}\cos^2(2\alpha) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\cos^2(2\alpha) + \frac{1}{2} \cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.

Вынесем $ \frac{1}{4} $ за скобки. Получим формулу квадрата суммы:

$ \frac{1}{4}(\cos^2(2\alpha) + 2\cos(2\alpha) + 1) = \frac{1}{4}(\cos(2\alpha) + 1)^2 $.

Теперь воспользуемся формулой понижения степени $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha $:

$ \frac{1}{4}(2\cos^2 \alpha)^2 = \frac{1}{4}(4\cos^4 \alpha) = \cos^4 \alpha $.

Ответ: $ \cos^4 \alpha $.

4) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha} $.

Данное выражение идентично выражению в пункте 2. Приведем альтернативный способ решения.

Преобразуем числитель: $ \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Преобразуем знаменатель: $ \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Найдем частное числителя и знаменателя:

$ \frac{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \text{tg}^6 \alpha $.

Ответ: $ \text{tg}^6 \alpha $.

23. Верно ли равенство:

$\frac{\cos^2(\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{\sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) + \tan^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta))} = \cos^2(\alpha + \beta)?$

Для проверки верности равенства преобразуем его левую часть. Для этого последовательно упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.

Упрощение числителя

Исходное выражение в числителе: $ \cos^2(\pi + 4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) $.

Применим формулы приведения:

1. $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $, следовательно $ \cos^2(\pi + 4\alpha) = (-\cos(4\alpha))^2 = \cos^2(4\alpha) $.

2. $ \cos(y - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - y)) = \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin(y) $, следовательно $ \cos^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin^2(4\alpha) $.

Подставим полученные выражения обратно в числитель:

$ \cos^2(4\alpha) - \cos^2(\alpha + \beta) + \sin^2(4\alpha) $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:

$ (\sin^2(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)) - \cos^2(\alpha + \beta) = 1 - \cos^2(\alpha + \beta) $

Еще раз применив тождество, получим окончательный вид числителя:

$ 1 - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin^2(\alpha + \beta) $

Упрощение знаменателя

Исходное выражение в знаменателе: $ \sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) + \text{tg}^2(\alpha + \beta) - \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta)) $.

Применим формулы приведения:

1. $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $, следовательно $ \sin^2(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin^2(\alpha + \beta) $.

2. $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $, следовательно $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = (-\sin(\alpha + \beta))^2 = \sin^2(\alpha + \beta) $.

Подставим упрощенные выражения в знаменатель:

$ \sin^2(\alpha + \beta) + \text{tg}^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) $

Первое и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и знаменатель упрощается до:

$ \text{tg}^2(\alpha + \beta) $

Преобразование левой части равенства

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\text{tg}^2(\alpha + \beta)} $

Используя определение тангенса $ \text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $, заменим $ \text{tg}^2(\alpha + \beta) $:

$ \frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\frac{\sin^2(\alpha + \beta)}{\cos^2(\alpha + \beta)}} $

Выполним деление дробей, "перевернув" знаменатель:

$ \sin^2(\alpha + \beta) \cdot \frac{\cos^2(\alpha + \beta)}{\sin^2(\alpha + \beta)} $

При условии, что выражение имеет смысл (то есть знаменатель исходной дроби не равен нулю, а значит $ \text{tg}(\alpha+\beta) \neq 0 $ и $ \sin(\alpha+\beta) \neq 0 $), мы можем сократить $ \sin^2(\alpha + \beta) $:

$ \cos^2(\alpha + \beta) $

Вывод

В результате преобразования левая часть равенства стала равна $ \cos^2(\alpha + \beta) $. Правая часть исходного равенства также равна $ \cos^2(\alpha + \beta) $. Таким образом, мы получили тождество:

$ \cos^2(\alpha + \beta) = \cos^2(\alpha + \beta) $

Данное равенство является верным для всех допустимых значений переменных $ \alpha $ и $ \beta $, при которых левая часть определена. Условие определенности — знаменатель не равен нулю ($ \text{tg}^2(\alpha+\beta) \neq 0 $) и тангенс существует ($ \cos(\alpha+\beta) \neq 0 $). Объединенное условие: $ \alpha+\beta \neq \frac{k\pi}{2} $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: Да, равенство верно при всех допустимых значениях $ \alpha $ и $ \beta $.

24. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}7a \cdot \text{ctg}7a + \sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}; $

2) $ (0,5 + 0,5\cos10a) : (0,5 - 0,5 \cos10a) \cdot \text{tg}^25a; $

3) $ \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}}; $

4) $ \frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\text{tg}2\alpha - 1}. $

1) Для упрощения выражения $tg7\alpha \cdot ctg7\alpha + sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot ctg^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $tg7\alpha \cdot ctg7\alpha = 1$.
Рассмотрим оставшуюся часть выражения: $sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot ctg^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg\frac{\alpha}{3} = \frac{cos(\alpha/3)}{sin(\alpha/3)}$. Тогда $ctg^2\frac{\alpha}{3} = \frac{cos^2(\alpha/3)}{sin^2(\alpha/3)}$.
Подставим это в выражение: $sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{cos^2(\alpha/3)}{sin^2(\alpha/3)} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
Сократим $sin^2\frac{\alpha}{3}$: $cos^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
По основному тригонометрическому тождеству $sin^2x + cos^2x = 1$, получим $cos^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3} = 1$.
Сложим результаты: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

2) Рассмотрим выражение $(0,5 + 0,5cos10\alpha) : (0,5 - 0,5cos10\alpha) \cdot tg^25\alpha$.
Вынесем общий множитель 0,5 в числителе и знаменателе дроби: $\frac{0,5(1 + cos10\alpha)}{0,5(1 - cos10\alpha)} \cdot tg^25\alpha = \frac{1 + cos10\alpha}{1 - cos10\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Применим формулы половинного угла: $1 + cos(2x) = 2cos^2x$ и $1 - cos(2x) = 2sin^2x$. В нашем случае $2x = 10\alpha$, значит $x = 5\alpha$.
Подставляем: $\frac{2cos^25\alpha}{2sin^25\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Сокращаем 2 и получаем: $\frac{cos^25\alpha}{sin^25\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Так как $\frac{cos^25\alpha}{sin^25\alpha} = ctg^25\alpha$, выражение принимает вид: $ctg^25\alpha \cdot tg^25\alpha$.
Используя тождество $tgx \cdot ctgx = 1$, получаем $(tg5\alpha \cdot ctg5\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Ответ: 1

3) Упростим дробь $\frac{cos^2\alpha - 4sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot cos^2\frac{\alpha}{2}}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinx \cdot cosx$. Для угла $\alpha$ имеем $sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$.
Возведем в квадрат обе части: $sin^2\alpha = (2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2})^2 = 4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}$.
Подставим это выражение в числитель и знаменатель исходной дроби.
Числитель: $cos^2\alpha - (4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Это формула косинуса двойного угла, то есть $cos(2\alpha)$.
Знаменатель: $1 - 8sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 - 2 \cdot (4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}) = 1 - 2sin^2\alpha$. Это также одна из форм формулы косинуса двойного угла, то есть $cos(2\alpha)$.
Таким образом, дробь равна $\frac{cos(2\alpha)}{cos(2\alpha)} = 1$.
Ответ: 1

4) Упростим выражение $\frac{sin^4\alpha + 2sin\alpha cos\alpha - cos^4\alpha}{tg2\alpha - 1}$.
Преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые: $(sin^4\alpha - cos^4\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha$.
Разложим разность квадратов $sin^4\alpha - cos^4\alpha = (sin^2\alpha - cos^2\alpha)(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.
Так как $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и $sin^2\alpha - cos^2\alpha = -(cos^2\alpha - sin^2\alpha) = -cos(2\alpha)$, то $sin^4\alpha - cos^4\alpha = -cos(2\alpha)$.
Выражение $2sin\alpha cos\alpha$ равно $sin(2\alpha)$ по формуле синуса двойного угла.
Таким образом, числитель равен $sin(2\alpha) - cos(2\alpha)$.
Теперь преобразуем знаменатель: $tg2\alpha - 1 = \frac{sin2\alpha}{cos2\alpha} - 1 = \frac{sin2\alpha - cos2\alpha}{cos2\alpha}$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{sin(2\alpha) - cos(2\alpha)}{\frac{sin2\alpha - cos2\alpha}{cos2\alpha}}$.
Разделив числитель на знаменатель, получим: $(sin(2\alpha) - cos(2\alpha)) \cdot \frac{cos2\alpha}{sin2\alpha - cos2\alpha}$.
Сокращая одинаковые выражения $(sin(2\alpha) - cos(2\alpha))$, получаем $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

25. Докажите тождество:

1) $\frac{\tg(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) \cdot \sin(2\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\ctg(2\pi - 4\alpha) \cdot \left(\cos^2 2\alpha - \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\right)} = 0.5\tg4\alpha;$

2) $\tg\alpha \cdot \tg\beta + (\tg\alpha + \tg\beta) \ctg(\alpha + \beta) = 1;$

3) $(\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \ctg(\alpha - \beta) - \tg\alpha \cdot \tg\beta = 1;$

4) $4 \sin^6\alpha + 4 \cos^6\alpha - 1 = 3\cos^2 2\alpha.$

1) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) \cdot \sin(2\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\text{ctg}(2\pi - 4\alpha) \cdot (\cos^2 2\alpha - \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha))} = 0,5 \text{tg}4\alpha $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Сначала преобразуем выражения в числителе:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \text{ctg}(4\alpha) $ (по формуле кофункции)

$ \sin(2\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $ (согласно периодичности и знаку синуса в IV четверти)

$ \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha) $ (так как косинус - четная функция)

Теперь преобразуем выражения в знаменателе:

$ \text{ctg}(2\pi - 4\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) $ (согласно периодичности и знаку котангенса в IV четверти)

$ \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin^2(2\alpha) $ (по формуле кофункции)

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\text{ctg}(4\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot \cos(2\alpha)}{-\text{ctg}(4\alpha) \cdot (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)} $

Сократим $ -\text{ctg}(4\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \text{ctg}(4\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{\sin(2\alpha) \cdot \cos(2\alpha)}{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha} $

Применим формулы двойного угла:

Для числителя используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, откуда $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $. В нашем случае $ x = 2\alpha $, значит $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $. В нашем случае $ x = 2\alpha $, значит $ \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha) $.

Подставим эти выражения обратно в дробь:

$ \frac{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(4\alpha) = 0,5\text{tg}(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \text{ctg}(\alpha + \beta) = 1 $

Преобразуем левую часть. Для этого воспользуемся формулой котангенса суммы, выразив его через тангенсы:

$ \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}} = \frac{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $

Сократим множитель $ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta \neq 0 $):

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + 1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Получили $ 1 = 1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \text{ctg}(\alpha - \beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой котангенса разности:

$ \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \beta)} = \frac{1}{\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}} = \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} $

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

Сократим множитель $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\alpha - \text{tg}\beta \neq 0 $):

$ (1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Получили $ 1 = 1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ 4 \sin^6\alpha + 4 \cos^6\alpha - 1 = 3\cos^2 2\alpha $

Преобразуем левую часть. Вынесем 4 за скобки и представим выражение в скобках как сумму кубов:

$ 4(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 1 = 4((\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3) - 1 $

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, где $ a = \sin^2\alpha $ и $ b = \cos^2\alpha $:

$ 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha) - 1 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростим выражение:

$ 4(1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha)) - 1 $

Преобразуем сумму $ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha $, выделив полный квадрат:

$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Подставим это в наше выражение:

$ 4((1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = 4(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 $

Раскроем скобки:

$ 4 - 12\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 1 = 3 - 12\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Возведя в квадрат, получим $ \sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $. Отсюда $ \sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) $.

$ 3 - 12 \left(\frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\right) = 3 - 3\sin^2(2\alpha) $

Вынесем 3 за скобки и используем основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha) $:

$ 3(1 - \sin^2(2\alpha)) = 3\cos^2(2\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.