Страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.10.1) Второй член арифметической прогрессии в 3 раза больше девятого ее члена. Найдите значение суммы первых 24 членов этой прогрессии.

2) Третий член арифметической прогрессии в 4 раза больше двенадцатого ее члена. Найдите значение суммы первых 29 членов этой прогрессии.

1)Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Согласно условию задачи, второй член прогрессии в 3 раза больше девятого:
$a_2 = 3 \cdot a_9$
Выразим второй и девятый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
Подставим эти выражения в исходное равенство:
$a_1 + d = 3(a_1 + 8d)$
Раскроем скобки и найдем соотношение между $a_1$ и $d$:
$a_1 + d = 3a_1 + 24d$
$a_1 - 3a_1 = 24d - d$
$-2a_1 = 23d$
$2a_1 = -23d$
Теперь необходимо найти сумму первых 24 членов этой прогрессии ($S_{24}$). Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n = 24$:
$S_{24} = \frac{2a_1 + (24-1)d}{2} \cdot 24 = \frac{2a_1 + 23d}{2} \cdot 24 = (2a_1 + 23d) \cdot 12$
Теперь подставим в эту формулу найденное ранее соотношение $2a_1 = -23d$:
$S_{24} = (-23d + 23d) \cdot 12 = 0 \cdot 12 = 0$
Ответ: 0

2)Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, третий член прогрессии в 4 раза больше двенадцатого:
$a_3 = 4 \cdot a_{12}$
Выразим $a_3$ и $a_{12}$ через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
Подставим полученные выражения в условие задачи:
$a_1 + 2d = 4(a_1 + 11d)$
Решим это уравнение относительно $a_1$ и $d$:
$a_1 + 2d = 4a_1 + 44d$
$2d - 44d = 4a_1 - a_1$
$-42d = 3a_1$
$a_1 = -14d$
Найдем сумму первых 29 членов прогрессии ($S_{29}$). Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n = 29$:
$S_{29} = \frac{2a_1 + (29-1)d}{2} \cdot 29 = \frac{2a_1 + 28d}{2} \cdot 29$
Из соотношения $a_1 = -14d$ следует, что $2a_1 = 2 \cdot (-14d) = -28d$. Подставим это значение в формулу суммы:
$S_{29} = \frac{-28d + 28d}{2} \cdot 29 = \frac{0}{2} \cdot 29 = 0$
Ответ: 0

14.11.1) В арифметической прогрессии $a_n = 5n - 100$. Найдите значение суммы всех отрицательных членов этой прогрессии.

2) В арифметической прогрессии $a_n = 7n - 130$. Найдите значение суммы всех отрицательных членов этой прогрессии.

3) В арифметической прогрессии $a_n = 51 - 3n$. Найдите значение суммы всех положительных членов этой прогрессии.

4) В арифметической прогрессии $a_n = 58 - 4n$. Найдите значение суммы всех положительных членов этой прогрессии.

1) Дана арифметическая прогрессия, заданная формулой $a_n = 5n - 100$. Чтобы найти сумму всех ее отрицательных членов, сначала определим, для каких номеров $n$ члены прогрессии отрицательны, то есть $a_n < 0$. Учитываем, что $n$ — натуральное число.
Решим неравенство:
$5n - 100 < 0$
$5n < 100$
$n < 20$
Таким образом, отрицательными являются члены с 1-го по 19-й включительно. Общее количество таких членов — 19.
Найдем первый и последний из этих членов:
$a_1 = 5 \cdot 1 - 100 = -95$
$a_{19} = 5 \cdot 19 - 100 = 95 - 100 = -5$
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии $S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$ для нахождения суммы этих 19 членов:
$S_{19} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19 = \frac{-95 + (-5)}{2} \cdot 19 = \frac{-100}{2} \cdot 19 = -50 \cdot 19 = -950$.
Ответ: -950.

2) В арифметической прогрессии $a_n = 7n - 130$ найдем сумму всех отрицательных членов. Для этого определим, при каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство $a_n < 0$.
Решим неравенство:
$7n - 130 < 0$
$7n < 130$
$n < \frac{130}{7}$
$n < 18\frac{4}{7}$
Следовательно, отрицательными являются члены прогрессии с номерами от 1 до 18. Всего 18 отрицательных членов.
Найдем первый член $a_1$ и восемнадцатый член $a_{18}$:
$a_1 = 7 \cdot 1 - 130 = -123$
$a_{18} = 7 \cdot 18 - 130 = 126 - 130 = -4$
Вычислим сумму этих членов по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{-123 + (-4)}{2} \cdot 18 = \frac{-127}{2} \cdot 18 = -127 \cdot 9 = -1143$.
Ответ: -1143.

3) Дана арифметическая прогрессия $a_n = 51 - 3n$. Требуется найти сумму всех ее положительных членов. Определим, при каких натуральных $n$ члены прогрессии положительны, то есть $a_n > 0$.
Решим неравенство:
$51 - 3n > 0$
$51 > 3n$
$17 > n$, или $n < 17$
Положительными являются члены с номерами от 1 до 16. Их количество равно 16.
Найдем первый член $a_1$ и шестнадцатый член $a_{16}$:
$a_1 = 51 - 3 \cdot 1 = 48$
$a_{16} = 51 - 3 \cdot 16 = 51 - 48 = 3$
Теперь найдем сумму этих 16 членов:
$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = \frac{48 + 3}{2} \cdot 16 = \frac{51}{2} \cdot 16 = 51 \cdot 8 = 408$.
Ответ: 408.

4) Дана арифметическая прогрессия $a_n = 58 - 4n$. Найдем сумму всех ее положительных членов. Для этого решим неравенство $a_n > 0$ для натуральных $n$.
Решим неравенство:
$58 - 4n > 0$
$58 > 4n$
$\frac{58}{4} > n$
$14.5 > n$, или $n < 14.5$
Положительными являются члены с номерами от 1 до 14. Всего 14 положительных членов.
Найдем первый и четырнадцатый члены прогрессии:
$a_1 = 58 - 4 \cdot 1 = 54$
$a_{14} = 58 - 4 \cdot 14 = 58 - 56 = 2$
Вычислим сумму этих членов, используя формулу суммы:
$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \frac{54 + 2}{2} \cdot 14 = \frac{56}{2} \cdot 14 = 28 \cdot 14 = 392$.
Ответ: 392.

14.12. Найдите $a_1$ и $n$, если:

1) $d=3, a_n=59, S_n=603;$
2) $d=-5, a_n=-8, S_n=30;$
3) $d=2, a_n=49, S_n=702;$
4) $d=-7, a_n=-18, S_n=-20.$

1) Для решения задачи воспользуемся формулами n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Из первой формулы выразим $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d$
Подставим это выражение во вторую формулу:
$S_n = \frac{(a_n - (n-1)d) + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим известные значения $d=3$, $a_n=59$, $S_n=603$ в полученное уравнение:
$603 = \frac{2 \cdot 59 - (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n$
$1206 = (118 - 3n + 3) \cdot n$
$1206 = (121 - 3n) \cdot n$
$1206 = 121n - 3n^2$
Получаем квадратное уравнение относительно $n$:
$3n^2 - 121n + 1206 = 0$
Решим его. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-121)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1206 = 14641 - 14472 = 169 = 13^2$
Найдем корни:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{121 \pm 13}{2 \cdot 3}$
$n_1 = \frac{121 + 13}{6} = \frac{134}{6} = \frac{67}{3}$
$n_2 = \frac{121 - 13}{6} = \frac{108}{6} = 18$
Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 18$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d = 59 - (18-1) \cdot 3 = 59 - 17 \cdot 3 = 59 - 51 = 8$
Ответ: $a_1 = 8, n = 18$.

2) Используя ту же систему уравнений, подставим известные значения $d=-5$, $a_n=-8$, $S_n=30$:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$30 = \frac{2 \cdot (-8) - (n-1) \cdot (-5)}{2} \cdot n$
$60 = (-16 - (-5n + 5)) \cdot n$
$60 = (-16 + 5n - 5) \cdot n$
$60 = (5n - 21) \cdot n$
$5n^2 - 21n - 60 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-60) = 441 + 1200 = 1641$
Поскольку $\sqrt{1641}$ не является целым числом, корни уравнения $n = \frac{21 \pm \sqrt{1641}}{10}$ не будут натуральными числами. Количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом. Следовательно, арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: решений нет.

3) Подставим известные значения $d=2$, $a_n=49$, $S_n=702$ в уравнение, связывающее эти величины:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$702 = \frac{2 \cdot 49 - (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n$
$702 = \frac{98 - 2n + 2}{2} \cdot n$
$702 = \frac{100 - 2n}{2} \cdot n$
$702 = (50 - n) \cdot n$
$n^2 - 50n + 702 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 702 = 2500 - 2808 = -308$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, не существует и натурального числа $n$, удовлетворяющего условию. Таким образом, арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: решений нет.

4) Подставим известные значения $d=-7$, $a_n=-18$, $S_n=-20$ в выведенную ранее формулу:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$-20 = \frac{2 \cdot (-18) - (n-1) \cdot (-7)}{2} \cdot n$
$-40 = (-36 - (-7n + 7)) \cdot n$
$-40 = (-36 + 7n - 7) \cdot n$
$-40 = (7n - 43) \cdot n$
$7n^2 - 43n + 40 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-43)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 40 = 1849 - 1120 = 729 = 27^2$
Найдем корни:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{43 \pm 27}{2 \cdot 7}$
$n_1 = \frac{43 + 27}{14} = \frac{70}{14} = 5$
$n_2 = \frac{43 - 27}{14} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 5$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d = -18 - (5-1) \cdot (-7) = -18 - 4 \cdot (-7) = -18 - (-28) = -18 + 28 = 10$
Ответ: $a_1 = 10, n = 5$.

14.13. Напишите формулу $n$-го члена и суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$ с положительными членами:

1) $a_2 + a_5 = 41$ и $a_1 + a_3 = 144$;

2) $a_2 + 2a_4 = 27$ и $a_{17} = 50$;

3) $a_2 a_5 = 112$ и $\frac{a_1}{a_5} = 2$;

4) $a_3 a_4 = 28$ и $\frac{a_1}{a_5} = 13$.

1) Дано: $a_2 + a_5 = 41$ и $a_1 \cdot a_3 = 144$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим $a_2$, $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 41 \\ a_1(a_1 + 2d) = 144 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 5d = 41 \\ a_1^2 + 2a_1d = 144 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $d$: $5d = 41 - 2a_1 \implies d = \frac{41 - 2a_1}{5}$.

Подставим выражение для $d$ во второе уравнение:

$a_1^2 + 2a_1\left(\frac{41 - 2a_1}{5}\right) = 144$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5a_1^2 + 2a_1(41 - 2a_1) = 720$

$5a_1^2 + 82a_1 - 4a_1^2 = 720$

$a_1^2 + 82a_1 - 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a_1$. Дискриминант $D = 82^2 - 4(1)(-720) = 6724 + 2880 = 9604 = 98^2$.

$a_1 = \frac{-82 \pm 98}{2}$

Возможные значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-82+98}{2} = 8$ и $a_{1,2} = \frac{-82-98}{2} = -90$.

По условию, все члены прогрессии положительны, поэтому $a_1 > 0$. Следовательно, выбираем $a_1 = 8$.

Теперь найдем $d$: $d = \frac{41 - 2(8)}{5} = \frac{41-16}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

Поскольку $a_1 = 8 > 0$ и $d = 5 > 0$, все члены прогрессии будут положительными.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(8) + (n-1)5}{2}n = \frac{16 + 5n - 5}{2}n = \frac{5n+11}{2}n = \frac{5n^2 + 11n}{2}$.

Ответ: $a_n = 5n + 3$, $S_n = \frac{5n^2 + 11n}{2}$.

2) Дано: $a_2 + 2a_4 = 27$ и $a_{17} = 50$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_{17} = a_1 + 16d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + d) + 2(a_1 + 3d) = 27 \\ a_1 + 16d = 50 \end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$a_1 + d + 2a_1 + 6d = 27 \implies 3a_1 + 7d = 27$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a_1 + 7d = 27 \\ a_1 + 16d = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 50 - 16d$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(50 - 16d) + 7d = 27$

$150 - 48d + 7d = 27$

$150 - 41d = 27$

$41d = 123 \implies d = 3$

Теперь найдем $a_1$: $a_1 = 50 - 16(3) = 50 - 48 = 2$.

Поскольку $a_1 = 2 > 0$ и $d = 3 > 0$, все члены прогрессии будут положительными.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(2) + (n-1)3}{2}n = \frac{4 + 3n - 3}{2}n = \frac{3n+1}{2}n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

Ответ: $a_n = 3n - 1$, $S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

3) Дано: $a_2 \cdot a_5 = 112$ и $\frac{a_1}{a_5} = 2$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + d)(a_1 + 4d) = 112 \\ \frac{a_1}{a_1 + 4d} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения: $a_1 = 2(a_1 + 4d) \implies a_1 = 2a_1 + 8d \implies -a_1 = 8d \implies a_1 = -8d$.

Подставим $a_1 = -8d$ в первое уравнение:

$(-8d + d)(-8d + 4d) = 112$

$(-7d)(-4d) = 112$

$28d^2 = 112$

$d^2 = 4 \implies d = \pm 2$

Рассмотрим два случая. Если $d=2$, то $a_1 = -8(2) = -16$, что противоречит условию о положительных членах. Если $d=-2$, то $a_1 = -8(-2) = 16$. В этом случае $a_1 > 0$. Прогрессия является убывающей. Проверим, все ли ее члены положительны: $a_n = 16 + (n-1)(-2) = 18 - 2n$. Члены будут положительны только при $18-2n > 0$, то есть при $n < 9$. Так как это единственное решение, где $a_1>0$ и которое удовлетворяет исходным уравнениям, принимаем его.

Итак, $a_1 = 16$ и $d = -2$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 16 + (n-1)(-2) = 16 - 2n + 2 = 18 - 2n$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(16) + (n-1)(-2)}{2}n = \frac{32 - 2n + 2}{2}n = \frac{34 - 2n}{2}n = (17 - n)n = 17n - n^2$.

Ответ: $a_n = 18 - 2n$, $S_n = 17n - n^2$.

4) Дано: $a_3 \cdot a_4 = 28$ и $\frac{a_1}{a_5} = 13$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = 28 \\ \frac{a_1}{a_1 + 4d} = 13 \end{cases}$

Из второго уравнения: $a_1 = 13(a_1 + 4d) \implies a_1 = 13a_1 + 52d \implies -12a_1 = 52d \implies a_1 = -\frac{52}{12}d = -\frac{13}{3}d$.

Подставим $a_1 = -\frac{13}{3}d$ в первое уравнение:

$\left(-\frac{13}{3}d + 2d\right)\left(-\frac{13}{3}d + 3d\right) = 28$

$\left(-\frac{13d+6d}{3}\right)\left(-\frac{13d+9d}{3}\right) = 28$

$\left(-\frac{7d}{3}\right)\left(-\frac{4d}{3}\right) = 28$

$\frac{28d^2}{9} = 28 \implies d^2 = 9 \implies d = \pm 3$

Рассмотрим два случая. Если $d=3$, то $a_1 = -\frac{13}{3}(3) = -13$, что противоречит условию о положительных членах. Если $d=-3$, то $a_1 = -\frac{13}{3}(-3) = 13$. В этом случае $a_1 > 0$. Прогрессия является убывающей. Проверим, все ли ее члены положительны: $a_n = 13 + (n-1)(-3) = 16 - 3n$. Члены будут положительны только при $16-3n > 0$, то есть при $n < 16/3 \approx 5.33$. Так как это единственное решение, где $a_1>0$ и которое удовлетворяет исходным уравнениям, принимаем его.

Итак, $a_1 = 13$ и $d = -3$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 13 + (n-1)(-3) = 13 - 3n + 3 = 16 - 3n$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(13) + (n-1)(-3)}{2}n = \frac{26 - 3n + 3}{2}n = \frac{29 - 3n}{2}n = \frac{29n - 3n^2}{2}$.

Ответ: $a_n = 16 - 3n$, $S_n = \frac{29n - 3n^2}{2}$.

14.14.1) Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если

$a_3 + a_{11} = 20.$

$a_7 + a_{13} = 24.$

1)

Для решения задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии, которое гласит, что если суммы индексов членов прогрессии равны, то равны и суммы самих членов. То есть, если $p+q = k+l$, то $a_p + a_q = a_k + a_l$.

В данном случае нам дано равенство $a_3 + a_{11} = 20$. Сумма индексов равна $3 + 11 = 14$.

Нам нужно найти седьмой член прогрессии, $a_7$. Заметим, что мы можем представить его как сумму с самим собой: $a_7 + a_7$. Сумма индексов в этом случае будет $7 + 7 = 14$.

Поскольку $3 + 11 = 7 + 7$, мы можем записать:

$a_3 + a_{11} = a_7 + a_7 = 2a_7$

Подставим известное значение суммы:

$2a_7 = 20$

Отсюда находим $a_7$:

$a_7 = \frac{20}{2} = 10$

Альтернативное решение с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим $a_3$ и $a_{11}$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в данное уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 10d) = 20$

$2a_1 + 12d = 20$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 10$

Теперь выразим искомый седьмой член прогрессии $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Мы уже выяснили, что $a_1 + 6d = 10$, следовательно, $a_7 = 10$.

Ответ: 10

2)

Воспользуемся тем же свойством арифметической прогрессии, что и в первой задаче: если $p+q = k+l$, то $a_p + a_q = a_k + a_l$.

По условию $a_7 + a_{13} = 24$. Сумма индексов $7 + 13 = 20$.

Нам нужно найти $a_{10}$. Представим его как сумму с самим собой $a_{10} + a_{10}$, где сумма индексов $10 + 10 = 20$.

Так как суммы индексов равны ($7+13 = 10+10$), то равны и суммы членов:

$a_7 + a_{13} = a_{10} + a_{10} = 2a_{10}$

Подставим известное значение:

$2a_{10} = 24$

Отсюда находим $a_{10}$:

$a_{10} = \frac{24}{2} = 12$

Альтернативное решение с использованием формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим $a_7$ и $a_{13}$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим в исходное равенство:

$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 24$

$2a_1 + 18d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 9d = 12$

Теперь выразим искомый десятый член прогрессии $a_{10}$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Так как $a_1 + 9d = 12$, то $a_{10} = 12$.

Ответ: 12

14.15.1) Найдите значение суммы всех четных двузначных чисел.

2) Найдите значение суммы всех нечетных двузначных чисел.

1)

Последовательность всех четных двузначных чисел (10, 12, 14, ..., 98) является арифметической прогрессией.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 10$.
• Последний член прогрессии $a_n = 98$.
• Разность прогрессии $d = 2$.

Сначала найдем количество членов в этой прогрессии ($n$), используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$98 = 10 + (n-1) \cdot 2$

$88 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{88}{2}$

$n-1 = 44$

$n = 45$

Теперь, зная количество членов, мы можем найти их сумму ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{45} = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45 = \frac{108}{2} \cdot 45 = 54 \cdot 45 = 2430$.

Ответ: 2430

2)

Последовательность всех нечетных двузначных чисел (11, 13, 15, ..., 99) также является арифметической прогрессией.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
• Последний член прогрессии $a_n = 99$.
• Разность прогрессии $d = 2$.

Найдем количество членов в этой прогрессии ($n$), используя ту же формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$99 = 11 + (n-1) \cdot 2$

$88 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{88}{2}$

$n-1 = 44$

$n = 45$

Теперь найдем сумму этих членов ($S_n$) по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{45} = \frac{11 + 99}{2} \cdot 45 = \frac{110}{2} \cdot 45 = 55 \cdot 45 = 2475$.

Ответ: 2475

34. Решите графическим способом систему уравнений:

1)

$\begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ x^2 + (y + 3)^2 = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - x^2 - x = 0, \\ (x - 2)^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4, \\ x + y = 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ x - y = -8. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2 + 2x, \\ x^2 + (y + 3)^2 = 1; \end{cases} $
Для решения системы графическим способом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение $y = x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-2$. Точки: $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Второе уравнение $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ — это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Центр окружности находится в точке $(0, -3)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{1} = 1$.

Построим графики параболы и окружности.

Из графика видно, что парабола и окружность не имеют общих точек. Наинизшая точка параболы $(-1, -1)$ находится выше наивысшей точки окружности $(0, -2)$. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y - x^2 - x = 0, \\ (x - 2)^2 + y^2 = 1; \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение: $y = x^2 + x$.

Первое уравнение $y = x^2 + x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.
Ордината вершины: $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Вершина параболы находится в точке $(-0.5, -0.25)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-1$. Точки: $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

Второе уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(2, 0)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{1} = 1$.

Построим графики параболы и окружности.

Из графика видно, что парабола и окружность не пересекаются. Окружность расположена в области $1 \le x \le 3$, где значения $y$ для параболы значительно больше 1, в то время как для окружности $|y| \le 1$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4, \\ x + y = 3; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение в вид, удобный для построения: $y = -x + 3$.

Первое уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(2, 1)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y = -x + 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки.
При $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
При $x=3$, $y=0$. Точка $(3, 0)$.

Построим графики окружности и прямой.

Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решениями системы. Заметим, что прямая проходит через центр окружности $(2,1)$, так как $2+1=3$. Следовательно, линия является диаметром окружности. Точные координаты точек пересечения можно найти, решив систему аналитически:
Подставим $y = 3 - x$ в уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + ((3 - x) - 1)^2 = 4$
$(x - 2)^2 + (2 - x)^2 = 4$
$2(x - 2)^2 = 4$
$(x - 2)^2 = 2 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{2} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$.
Если $x_1 = 2 + \sqrt{2}$, то $y_1 = 3 - (2 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$.
Если $x_2 = 2 - \sqrt{2}$, то $y_2 = 3 - (2 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $(2 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$, $(2 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$.

4)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ x - y = -8; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение: $y = x + 8$.

Первое уравнение $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 9$ — это уравнение окружности.
Центр окружности находится в точке $(-5, 3)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение $y = x + 8$ — это прямая.
При $x=0$, $y=8$. Точка $(0, 8)$.
При $x=-8$, $y=0$. Точка $(-8, 0)$.

Построим графики окружности и прямой.

Графики пересекаются в двух точках. Прямая $y = x + 8$ проходит через центр окружности $(-5, 3)$, так как $3 = -5 + 8$. Следовательно, прямая является диаметром окружности. Для нахождения точных координат решим систему:
$(x + 5)^2 + ((x + 8) - 3)^2 = 9$
$(x + 5)^2 + (x + 5)^2 = 9$
$2(x + 5)^2 = 9$
$(x + 5)^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow x + 5 = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -5 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_1 = -5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = (-5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) + 8 = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Если $x_2 = -5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = (-5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}) + 8 = 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $(-5 + \frac{3\sqrt{2}}{2}, 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2})$, $(-5 - \frac{3\sqrt{2}}{2}, 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

35. Решите неравенство:

1) $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \ge 0;$

2) $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \le 0;$

3) $\frac{x + 5}{x - 6} \ge 0;$

4) $\frac{x - 7}{x + 2} \le 0;$

5) $\frac{x}{x - 7} \ge 2;$

6) $\frac{x}{6 + x} \le -1;$

7) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) < 0;$

8) $(x + 3)^2 (x + 2) (x + 1) < 0.$

1) Решим неравенство $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 5)(x - 6) = 0$. Корнями являются $x = 10$, $x = -5$ и $x = 6$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут включены в решение (закрашенные кружки).

Точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 6]$, $[6; 10]$ и $[10; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 10$) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень (все корни имеют нечетную кратность 1), знак выражения меняется.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+"). Это $[-5, 6]$ и $[10, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5, 6] \cup [10, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \le 0$ методом интервалов.

Корни уравнения $(x + 2)(x - 7)(x + 11) = 0$: $x = -2$, $x = 7$, $x = -11$.

Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки на числовой оси будут закрашенными. Расположим их в порядке возрастания: -11, -2, 7.

Определим знаки на интервалах. При $x > 7$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (со знаком "-"). Это $(-\infty, -11]$ и $[-2, 7]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup [-2, 7]$.

3) Решим неравенство $\frac{x + 5}{x - 6} \ge 0$ методом интервалов.

Находим нуль числителя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Эта точка входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое.

Находим нуль знаменателя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Эта точка исключается из решения (выколотая), так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки -5 и 6 на числовой оси. Определим знаки дроби в полученных интервалах.

Выбираем интервалы со знаком "+". Это $(-\infty, -5]$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (6, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 7}{x + 2} \le 0$ методом интервалов.

Нуль числителя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (точка выколотая).

Отметим точки -2 и 7 на числовой оси и определим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-2, 7]$.

Ответ: $x \in (-2, 7]$.

5) Решим неравенство $\frac{x}{x - 7} \ge 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x}{x - 7} - 2 \ge 0 \implies \frac{x - 2(x - 7)}{x - 7} \ge 0 \implies \frac{x - 2x + 14}{x - 7} \ge 0 \implies \frac{14 - x}{x - 7} \ge 0$.

Нуль числителя: $14 - x = 0 \implies x = 14$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$ (точка выколотая).

Отметим точки 7 и 14 на оси. При $x > 14$ дробь отрицательна ($-/+$). Знаки чередуются.

Выбираем интервал со знаком "+". Это $(7, 14]$.

Ответ: $x \in (7, 14]$.

6) Решим неравенство $\frac{x}{6 + x} \le -1$.

Перенесем -1 в левую часть: $\frac{x}{6 + x} + 1 \le 0 \implies \frac{x + (6 + x)}{6 + x} \le 0 \implies \frac{2x + 6}{x + 6} \le 0$.

Нуль числителя: $2x + 6 = 0 \implies x = -3$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x + 6 = 0 \implies x = -6$ (точка выколотая).

Отметим точки -6 и -3 на оси и расставим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-6, -3]$.

Ответ: $x \in (-6, -3]$.

7) Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0$.

Корни уравнения $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) = 0$: $x=1, x=2, x=3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Корень $x=2$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется.

Расставим знаки на интервалах, помня о поведении в точке $x=2$.

Выбираем интервалы со знаком "-". Это $(1, 2)$ и $(2, 3)$. Точка $x=2$ не включается, так как в ней выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

8) Решим неравенство $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) < 0$.

Корни уравнения $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) = 0$: $x=-3, x=-2, x=-1$. Неравенство строгое, все точки выколотые.

Корень $x=-3$ имеет четную кратность (2), при переходе через него знак не меняется.

Нанесем точки на ось и определим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-2, -1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.

36. С помощью графика квадратичной функции и методом интервалов решите неравенство:

1) $x^2 - 2x - 5 \ge 0$;

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$.

1) $x^2 - 2x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства мы можем использовать графический метод или метод интервалов.

Графический метод
1. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 2x - 5$. Графиком этой функции является парабола.
2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - 2x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $x_1 = 1 - \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{6}$.
4. Схематически изобразим параболу. Она направлена вверх и пересекает ось Ox в найденных точках.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $x^2 - 2x - 5 \ge 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или выше неё. Из графика видно, что это происходит при $x \le 1 - \sqrt{6}$ и при $x \ge 1 + \sqrt{6}$.

Метод интервалов
1. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = 1 - \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{6}$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 1 - \sqrt{6})$, $(1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6})$ и $(1 + \sqrt{6}; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $x^2 - 2x - 5$ на каждом из интервалов, выбрав пробную точку.
- В интервале $(-\infty; 1 - \sqrt{6})$ возьмем $x = -2$: $(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 4 + 4 - 5 = 3 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6})$ возьмем $x = 1$: $1^2 - 2(1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(1 + \sqrt{6}; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $4^2 - 2(4) - 5 = 16 - 8 - 5 = 3 > 0$. Знак "+".
4. Так как мы решаем неравенство $x^2 - 2x - 5 \ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+", а также сами корни (так как неравенство нестрогое).
Решением являются промежутки $(-\infty, 1 - \sqrt{6}]$ и $[1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{6}] \cup [1 + \sqrt{6}; +\infty)$.

2) $-x^2 - 2x + 15 \le 0$

Решим это неравенство также двумя способами.

Графический метод
1. Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 2x + 15$. Её график — парабола.
2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Легко подобрать корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
4. Схематически изобразим параболу. Она направлена вниз и пересекает ось Ox в точках -5 и 3.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или ниже неё. Из графика видно, что это происходит при $x \le -5$ и при $x \ge 3$.

Метод интервалов
1. Найдем корни уравнения $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $-x^2 - 2x + 15$ на каждом из интервалов.
- В интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x = -6$: $-(-6)^2 - 2(-6) + 15 = -36 + 12 + 15 = -9 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(-5; 3)$ возьмем $x = 0$: $-0^2 - 2(0) + 15 = 15 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $-4^2 - 2(4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9 < 0$. Знак "-".
4. Мы решаем неравенство $-x^2 - 2x + 15 \le 0$, поэтому нас интересуют интервалы со знаком "-", включая концы интервалов.
Решением являются промежутки $(-\infty, -5]$ и $[3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.

37. Решите неравенство:

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$;

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$.

1) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$. Это позволит нам определить точки, в которых выражение меняет знак.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты: $a = 6$, $b = -13$, $c = -5$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Теперь найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$.
Мы нашли нули функции $y = 6x^2 - 13x - 5$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 6$ положителен, ветви параболы направлены вверх.
Это означает, что функция принимает положительные значения ($> 0$) вне интервала между корнями.
Изобразим это на числовой оси. Точки $-\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{2}$ будут выколотыми, так как неравенство строгое ($>$).

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: $x < -1/3$ и $x > 5/2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (5/2; +\infty)$.

2) $4x^2 + 33x - 27 < 0$

Аналогично первому пункту, найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 33x - 27 = 0$.
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 33$, $c = -27$.
Вычислим дискриминант:
$D = 33^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 1089 + 432 = 1521$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-72}{8} = -9$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-33 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Графиком функции $y = 4x^2 + 33x - 27$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=4 > 0$).
Нас интересуют значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения ($< 0$). Это происходит на интервале между корнями.
Нанесем корни на числовую ось. Точки $-9$ и $\frac{3}{4}$ выколотые, так как неравенство строгое ($<$).

Решением неравенства является интервал $(-9; 3/4)$.
Ответ: $x \in (-9; 3/4)$.

38. Найдите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $\frac{x+1}{x-5} \leq 0;$

2) $\frac{10-x}{x-2} \geq 0.$

1)

Для решения неравенства $\frac{x+1}{x-5} \le 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка на оси).
Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из решения (выколотая точка на оси).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов:

Неравенство выполняется, когда выражение меньше или равно нулю. Из диаграммы видно, что это происходит на промежутке $x \in [-1, 5)$.
Нам нужно найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
Натуральные числа, которые входят в промежуток $[-1, 5)$, это: 1, 2, 3, 4.
Наименьшее из этих чисел — 1.

Ответ: 1

2)

Решим неравенство $\frac{10-x}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $10 - x = 0 \implies x = 10$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет включена в решение.
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка исключается из решения.
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов. Обратите внимание, что из-за множителя $(-x)$ в числителе знаки будут чередоваться начиная с минуса справа.

Неравенство выполняется, когда выражение больше или равно нулю. Это соответствует промежутку $x \in (2, 10]$.
Натуральные числа, которые входят в этот промежуток: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Наименьшее из этих чисел — 3.

Ответ: 3

39. Найдите наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $(2-x)(x-8)^2 \ge 0;$

2) $(x-3)^2(x-9) < 0.$

1)

Рассмотрим неравенство $(2-x)(x-8)^2 \ge 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни левой части уравнения $(2-x)(x-8)^2 = 0$.

Корнями являются $x_1 = 2$ (из множителя $2-x$) и $x_2 = 8$ (из множителя $(x-8)^2$).

Заметим, что корень $x=8$ имеет четную кратность (показатель степени равен 2), а корень $x=2$ — нечетную кратность (показатель степени равен 1). При переходе через корень четной кратности знак выражения не меняется, а при переходе через корень нечетной кратности — меняется.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Из схемы видно, что выражение положительно на интервале $(-\infty, 2)$. Оно равно нулю в точках $x=2$ и $x=8$.Таким образом, множество решений неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup \{8\}$.

Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Натуральными числами, удовлетворяющими этому условию, являются $1$, $2$ и $8$. Наибольшее из них — 8.

Ответ: 8.

2)

Рассмотрим неравенство $(x-3)^2(x-9) < 0$.

Множитель $(x-3)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, т.е. $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), то произведение не может быть равно нулю. Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq 9$.

Для того чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Так как $(x-3)^2$ может быть только положительным (поскольку $x \neq 3$), то второй множитель $(x-9)$ должен быть отрицательным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ x-9 < 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$ \begin{cases} x \neq 3 \\ x < 9 \end{cases} $

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 3) \cup (3, 9)$. Изобразим это на числовой оси:

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа из множества решений: $1, 2, 4, 5, 6, 7, 8$.

Наибольшее из этих чисел — 8.

Ответ: 8.

40. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0;$

2) $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 81 = 0 \implies (x-9)(x+9) = 0$. Отсюда $x_1 = 9$, $x_2 = -9$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и на числовой оси будут отмечены закрашенными точками.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не входит в область определения функции, поэтому на числовой оси она будет отмечена выколотой (пустой) точкой, так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки -9, 0, 9 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{(x-9)(x+9)}{x}$ в каждом из полученных интервалов.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (отмечены знаком "+"). Это $x \in [-9, 0) \cup [9, +\infty)$.

Наименьшим целым числом, входящим в это множество, является -9.

Ответ: -9

2) Решим неравенство $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0$.

Для удобства работы с методом интервалов преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при старшей степени $x$ был положительным. Для этого вынесем -1 за скобки в числителе: $\frac{-(x^2 - 7x)}{x + 7} \le 0$.

Теперь умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(x - 7)}{x + 7} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x-7) = 0 \implies x_1 = 0$, $x_2 = 7$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и будут закрашенными.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$. Эта точка не входит в область определения и будет выколотой.

Отметим точки -7, 0, 7 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{x(x - 7)}{x + 7}$ в каждом интервале.

Решением преобразованного неравенства (а значит и исходного) являются промежутки, где выражение неотрицательно (знак "+"): $x \in (-7, 0] \cup [7, +\infty)$.

Целые числа, входящие в это решение: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, а также 7, 8, 9, ... Наименьшее из этих целых чисел — это -6.

Ответ: -6

41. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $ (x+5)(x-6)^2 < 0; $

2) $ (x+6)^2 (5-x) > 0. $

1) Решим неравенство $(x + 5)(x - 6)^2 < 0$.

Выражение $(x - 6)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда неотрицательно, то есть $(x - 6)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что множители не могут быть равны нулю:

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$(x - 6)^2 \neq 0 \Rightarrow x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$

При условии, что $x \neq 6$, множитель $(x - 6)^2$ всегда будет строго больше нуля. Чтобы произведение $(x + 5)(x - 6)^2$ было отрицательным, необходимо, чтобы другой множитель, $(x + 5)$, был отрицательным, так как произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно.

Таким образом, решаем неравенство:

$x + 5 < 0$

$x < -5$

Мы получили решение $x \in (-\infty; -5)$. Условие $x \neq 6$ при этом выполняется.

Теперь найдем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше -5, это -6, -7, -8 и так далее. Наибольшим из них является -6.

Ответ: -6

2) Решим неравенство $(x + 6)^2 (5 - x) > 0$.

Выражение $(x + 6)^2$ является квадратом и всегда неотрицательно: $(x + 6)^2 \ge 0$.

Так как неравенство строгое ($> 0$), левая часть не может равняться нулю. Это значит, что:

$(x + 6)^2 \neq 0 \Rightarrow x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$

$5 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$

При условии $x \neq -6$, множитель $(x + 6)^2$ всегда строго положителен. Чтобы произведение $(x + 6)^2 (5 - x)$ было положительным, необходимо, чтобы другой множитель, $(5 - x)$, также был положительным.

Решаем неравенство:

$5 - x > 0$

$5 > x$

$x < 5$

Итак, мы получили два условия: $x < 5$ и $x \neq -6$. Объединив их, получаем множество решений: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 5)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число из этого множества. Целые числа, которые меньше 5, это 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -7, ... (число -6 исключено). Наибольшим из этих целых чисел является 4.

Ответ: 4

42. Решите систему неравенств:

1)

$$ \begin{cases} x^2 - 4x \geq 0, \\ x - 12 > 0 \end{cases} $$;

2)

$$ \begin{cases} 6x - x^2 < 0, \\ -4 - x \leq 0 \end{cases} $$.

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x \ge 0, \\ x - 12 > 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 4) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 4) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x - 12 > 0$.

Перенеся 12 в правую часть, получим: $x > 12$.

Решение второго неравенства: $x \in (12, \infty)$.

Для решения системы необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty, 0] \cup [4, \infty)) \cap (12, \infty)$.

Общей частью этих множеств является промежуток $(12, \infty)$.

Ответ: $x \in (12, \infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - x^2 < 0, \\ -4 - x \le 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x - x^2 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(6 - x) < 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(6 - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = 6x - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Значения функции отрицательны (меньше нуля) при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $-4 - x \le 0$.

Перенесем $-x$ в правую часть: $-4 \le x$, что эквивалентно $x \ge -4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4, \infty)$.

Для решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty, 0) \cup (6, \infty)) \cap [-4, \infty)$.

Рассмотрим пересечение для каждого из интервалов отдельно:

а) Пересечение $(-\infty, 0)$ и $[-4, \infty)$ дает промежуток $[-4, 0)$.

б) Пересечение $(6, \infty)$ и $[-4, \infty)$ дает промежуток $(6, \infty)$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение системы.

Ответ: $x \in [-4, 0) \cup (6, \infty)$.