Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.27. С формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ связан интересный эпизод из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учащихся других классов, задал на уроке следующую задачу: "Найти значение суммы всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 100$".

Каково же было удивление учителя когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: "Я уже решил". Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Карл Фридрих
Гаусс
(1777–1855)

Вот схема его рассуждений. Значение суммы чисел в каждой паре равно 101:

$$\begin{array}{@{}r@{\quad}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c} & 1, & 2, & 3, & \dots, & 100 \\+ & 100, & 99, & 98, & \dots, & 1 \\\hline & 101, & 101, & 101, & \dots, & 101\end{array}$$

Таких пар 100, поэтому значение искомой суммы равно значению произведения $101 \cdot 50 = 5050$.

Задача, описанная в тексте, заключается в нахождении суммы всех натуральных чисел от 1 до 100. Это можно записать в виде выражения: $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100$. Существует элегантный метод решения этой задачи, который, согласно известной истории, был придуман юным Карлом Фридрихом Гауссом.

Метод Гаусса основан на простой, но гениальной идее. Он заметил, что если сгруппировать числа парами, взяв одно с начала последовательности, а другое — с конца, то сумма в каждой паре будет одинаковой:

• $1 + 100 = 101$
• $2 + 99 = 101$
• $3 + 98 = 101$
• ...и так далее.

Поскольку в последовательности всего 100 чисел, мы можем сформировать $100 / 2 = 50$ таких пар. Сумма чисел в каждой паре равна 101. Следовательно, чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:

$S = 101 \cdot 50 = 5050$

Этот же метод можно представить иначе, записав всю сумму дважды: один раз в прямом порядке, а второй раз — в обратном. Затем эти две суммы складываются почленно, как показано на схеме:

В результате мы получаем 100 пар, каждая из которых в сумме дает 101. Общая сумма этих пар равна $100 \cdot 101 = 10100$. Поскольку мы сложили две одинаковые исходные последовательности, полученный результат ($2S$) вдвое больше искомой суммы. Чтобы найти $S$, нужно разделить результат на 2:

$S = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

Этот подход лежит в основе общей формулы для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая также упомянута в условии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Последовательность чисел от 1 до 100 — это арифметическая прогрессия, где:

• первый член $a_1 = 1$;
• последний член $a_n = a_{100} = 100$;
• количество членов $n = 100$.

Применяя формулу, получаем тот же результат:

$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = 5050$

Формула наглядно показывает суть метода: $a_1 + a_n$ — это сумма чисел в паре, а умножение на $\frac{n}{2}$ соответствует умножению на количество таких пар.

Ответ: 5050.

14.28. Постройте на одной координатной плоскости графики функций и запишите приближенные значения координат их точек пересечения:

1) $y = 2x^2 + 3x - 1$ и $y = -x^2 + 4x - 2$;

2) $y = 3x^2 + 4x + 1$ и $y = -2x^2 + x + 3$.

1) $y = 2x^2 + 3x - 1$ и $y = -x^2 + 4x - 2$

Для построения графиков данных функций проанализируем каждую из них.

Первая функция $y = 2x^2 + 3x - 1$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot 2) = -0.75$.
$y_v = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 1 = 2(0.5625) - 2.25 - 1 = 1.125 - 2.25 - 1 = -2.125$.
Вершина находится в точке $(-0.75; -2.125)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = 0$, $y = -1$.
При $x = 1$, $y = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 4$.
При $x = -1$, $y = 2(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -2$.
При $x = -2$, $y = 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 1$.

Вторая функция $y = -x^2 + 4x - 2$ — также квадратичная, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$.
$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.
Вершина находится в точке $(2; 2)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = 0$, $y = -2$.
При $x = 1$, $y = -(1)^2 + 4(1) - 2 = 1$.
При $x = 3$, $y = -(3)^2 + 4(3) - 2 = 1$.
При $x = 4$, $y = -(4)^2 + 4(4) - 2 = -2$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости:

Для нахождения точек пересечения графиков нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 + 3x - 1 \\ y = -x^2 + 4x - 2 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 + 3x - 1 = -x^2 + 4x - 2$
$2x^2 + x^2 + 3x - 4x - 1 + 2 = 0$
$3x^2 - x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.

Ответ: Графики функций не пересекаются.

2) $y = 3x^2 + 4x + 1$ и $y = -2x^2 + x + 3$

Проанализируем и построим графики данных функций.

Первая функция $y = 3x^2 + 4x + 1$ — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).
Координаты вершины:
$x_v = -4 / (2 \cdot 3) = -2/3 \approx -0.67$.
$y_v = 3(-2/3)^2 + 4(-2/3) + 1 = 3(4/9) - 8/3 + 1 = 4/3 - 8/3 + 3/3 = -1/3 \approx -0.33$.
Вершина: $(-2/3; -1/3)$.
Точки на графике:
При $x = 0$, $y = 1$.
При $x = -1$, $y = 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 0$.
При $x = 1$, $y = 3(1)^2 + 4(1) + 1 = 8$.

Вторая функция $y = -2x^2 + x + 3$ — парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-2 < 0$).
Координаты вершины:
$x_v = -1 / (2 \cdot (-2)) = 1/4 = 0.25$.
$y_v = -2(0.25)^2 + 0.25 + 3 = -2(0.0625) + 0.25 + 3 = -0.125 + 0.25 + 3 = 3.125$.
Вершина: $(0.25; 3.125)$.
Точки на графике:
При $x = 0$, $y = 3$.
При $x = -1$, $y = -2(-1)^2 + (-1) + 3 = 0$.
При $x = 1$, $y = -2(1)^2 + 1 + 3 = 2$.
При $x = 1.5$, $y = -2(1.5)^2 + 1.5 + 3 = 0$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости:

Из графика видно, что параболы пересекаются в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 3x^2 + 4x + 1 \\ y = -2x^2 + x + 3 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$3x^2 + 4x + 1 = -2x^2 + x + 3$
$3x^2 + 2x^2 + 4x - x + 1 - 3 = 0$
$5x^2 + 3x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = (-3 - 7) / (2 \cdot 5) = -10 / 10 = -1$.
$x_2 = (-3 + 7) / (2 \cdot 5) = 4 / 10 = 0.4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений.
При $x_1 = -1$:
$y_1 = 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.
Первая точка пересечения: $(-1; 0)$.
При $x_2 = 0.4$:
$y_2 = 3(0.4)^2 + 4(0.4) + 1 = 3(0.16) + 1.6 + 1 = 0.48 + 1.6 + 1 = 3.08$.
Вторая точка пересечения: $(0.4; 3.08)$.
Эти значения соответствуют точкам, которые мы видим на графике.

Ответ: Приближенные значения координат точек пересечения: $(-1; 0)$ и $(0.4; 3.08)$.

14.29. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-3} - \frac{18}{x^2-9} = \frac{5}{x+3};$

2) $\frac{3x}{x+4} + \frac{17}{x-4} = \frac{70}{x^2-16}.$

1) $\frac{x}{x-3} - \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{5}{x+3}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Теперь приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{18}{(x-3)(x+3)} = \frac{5(x-3)}{(x+3)(x-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$x(x+3) - 18 = 5(x-3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 3x - 18 = 5x - 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 5x - 18 + 15 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

2) $\frac{3x}{x+4} + \frac{17}{x-4} = \frac{70}{x^2 - 16}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.

ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Общий знаменатель для всех дробей - $(x+4)(x-4)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$3x(x-4) + 17(x+4) = 70$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 12x + 17x + 68 = 70$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$3x^2 + 5x + 68 - 70 = 0$

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Оба корня, $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 4$).

Ответ: -2; $\frac{1}{3}$.

51. Решите уравнение графическим способом и запишите при-ближенные значения корня уравнения:

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x+1}$;

2) $-3x^2 + 2x - 2 = \frac{x+1}{x-2}$.

1) $x^2 - 4x = \frac{1}{x+1}$

Для решения уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x^2 - 4x$ и $y_2 = \frac{1}{x+1}$.
$y_1 = x^2 - 4x$ — это парабола. Преобразуем ее уравнение, выделив полный квадрат: $y_1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(2, -4)$.
$y_2 = \frac{1}{x+1}$ — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox. Ее асимптоты — прямые $x = -1$ и $y = 0$.

Построим графики этих функций. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков.

Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках. Приближенные значения абсцисс этих точек:
$x_1 \approx -0.7$
$x_2 \approx -0.4$
$x_3 \approx 4.1$

Ответ: $x_1 \approx -0.7$, $x_2 \approx -0.4$, $x_3 \approx 4.1$.

2) $-3x^2 + 2x - 2 = \frac{x+1}{x-2}$

Построим в одной системе координат графики функций: $y_1 = -3x^2 + 2x - 2$ и $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.
$y_1 = -3x^2 + 2x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{2}{2(-3)} = \frac{1}{3}$, $y_v = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) - 2 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, -1\frac{2}{3})$.
$y_2 = \frac{x+1}{x-2}$ — это гипербола. Преобразуем ее уравнение: $y_2 = \frac{(x-2)+3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2}$. График получен из $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты — прямые $x=2$ и $y=1$.

Построим графики этих функций.

Из графика видно, что функции пересекаются только в одной точке. Абсцисса этой точки и есть единственный корень уравнения. Приближенное значение по графику:
$x \approx 1.6$

Ответ: $x \approx 1.6$.

52. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2 + 2}{x - 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 2x}{x + 1} = 0;$

3) $\frac{y^2 - x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0;$

4) $\frac{y^2 - x^2 - 4x}{x^2 - 4} = 0.$

1) Постройте график уравнения $\frac{y - x^2 + 2}{x - 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} y - x^2 + 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x^2 - 2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$.

Второе условие, $x - 1 \neq 0$, означает, что $x \neq 1$.

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2 - 2$, из которой исключена точка, соответствующая абсциссе $x = 1$.

Найдем ординату этой точки: при $x=1$, $y = 1^2 - 2 = -1$.

Следовательно, точка $(1, -1)$ должна быть исключена из графика (на графике она обозначается как "выколотая" точка или маленький кружок).

Ответ: Графиком является парабола $y = x^2 - 2$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

2) Постройте график уравнения $\frac{y - x^2 + 2x}{x + 1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 2x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_в = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

Второе условие дает ограничение на область определения: $x \neq -1$.

Следовательно, мы должны построить параболу $y = x^2 - 2x$ и исключить из нее точку с абсциссой $x = -1$.

Найдем ординату этой точки: при $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Значит, точка $(-1, 3)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой $(-1, 3)$.

3) Постройте график уравнения $\frac{y^2 - x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y^2 - x^2 - 4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $y^2 - x^2 = 4$ можно переписать в каноническом виде: $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{4} = 1$. Это уравнение гиперболы с центром в начале координат $(0, 0)$. Поскольку член с $y^2$ имеет положительный знак, ветви гиперболы направлены вверх и вниз. Вершины гиперболы находятся в точках $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Асимптотами являются прямые $y = x$ и $y = -x$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Найдем точки, которые нужно исключить из графика.При $x=1$: $y^2 - 1^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$. Исключаются точки $(1, \sqrt{5})$ и $(1, -\sqrt{5})$.При $x=-1$: $y^2 - (-1)^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$. Исключаются точки $(-1, \sqrt{5})$ и $(-1, -\sqrt{5})$.Всего на графике четыре выколотые точки.

Ответ: Графиком является гипербола $y^2 - x^2 = 4$ с четырьмя выколотыми точками: $(1, \sqrt{5})$, $(1, -\sqrt{5})$, $(-1, \sqrt{5})$ и $(-1, -\sqrt{5})$.

4) Постройте график уравнения $\frac{y^2 - x^2 - 4x}{x^2 - 4} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y^2 - x^2 - 4x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат по переменной $x$:$y^2 = x^2 + 4x \implies y^2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 \implies y^2 + 4 = (x+2)^2$.Перепишем в каноническом виде: $(x+2)^2 - y^2 = 4 \implies \frac{(x+2)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$.Это уравнение гиперболы, центр которой смещен в точку $(-2, 0)$. Так как член с $(x+2)^2$ имеет положительный знак, ветви гиперболы направлены влево и вправо. Вершины находятся в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$. Асимптоты задаются уравнениями $y = \pm(x+2)$, то есть $y = x+2$ и $y = -x-2$.

Второе условие $x^2 - 4 \neq 0$ означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Найдем точки, которые нужно исключить из графика.При $x=2$: $y^2 - 2^2 - 4(2) = 0 \implies y^2 - 4 - 8 = 0 \implies y^2 = 12 \implies y = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2, 2\sqrt{3})$ и $(2, -2\sqrt{3})$.При $x=-2$: $y^2 - (-2)^2 - 4(-2) = 0 \implies y^2 - 4 + 8 = 0 \implies y^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на гиперболе нет точек с абсциссой $x=-2$. Значит, условие $x \neq -2$ не приводит к появлению выколотых точек.

Ответ: Графиком является гипербола $\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ с двумя выколотыми точками $(2, 2\sqrt{3})$ и $(2, -2\sqrt{3})$.

53. На рисунке 85 построен график квадратичной функции:

1) укажите промежутки монотонности функции;

Рис. 85

Рис. 86

2) запишите промежутки знакопостоянства функции;

3) запишите уравнение оси симметрии графика;

4) запишите наименьшее значение функции.

1) укажите промежутки монотонности функции;

Промежутки монотонности функции определяются по поведению графика при движении по оси $Ox$ слева направо. Вершина параболы, являющаяся точкой экстремума, находится в точке $(3, -4)$.

Функция убывает на промежутке, где ее график идет вниз. Это происходит при значениях $x$ от $-\infty$ до абсциссы вершины. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$.

Функция возрастает на промежутке, где ее график идет вверх. Это происходит при значениях $x$ от абсциссы вершины до $+\infty$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

2) запишите промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Для их нахождения определим точки пересечения графика с осью $Ox$ (нули функции).

Из графика видно, что нули функции находятся в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это соответствует промежуткам $(-\infty, 1)$ и $(5, +\infty)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это соответствует промежутку $(1, 5)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1, 5)$.

3) запишите уравнение оси симметрии графика;

Ось симметрии параболы представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через ее вершину. Из графика видно, что координаты вершины параболы равны $(3, -4)$.

Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой $x_v$, имеет вид $x = x_v$.

Для данной параболы абсцисса вершины $x_v = 3$.

Ответ: $x = 3$.

4) запишите наименьшее значение функции.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Это значение достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы — $(3, -4)$.

Наименьшее значение функции равно ординате ее вершины.

Ответ: $y_{наим} = -4$.

54. 1) На рисунке 86 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$.

Рис. 87 Рис. 88

2) На рисунке 87 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Найдите знаки чисел $a, b, c$ и $D$.

3) На рисунке 88 изображен график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, а $D=b^2-4ac$. Тогда справедливы соотношения:

а) $ab < 0$; б) $Dc > 0$;

в) $Db > 0$;

г) $bc > 0$;

д) $aD > 0$.

2) Для определения знаков коэффициентов и дискриминанта квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по ее графику на рисунке 87, проанализируем его свойства.

1. Знак коэффициента a: Ветви параболы направлены вниз, это означает, что старший коэффициент $a$ отрицателен: $a < 0$.

2. Знак коэффициента c: График пересекает ось ординат (ось OY) в точке с положительной ординатой. Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0, c)$. Следовательно, $c > 0$.

3. Знак дискриминанта D: График пересекает ось абсцисс (ось OX) в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ в этом случае положителен: $D > 0$.

4. Знак коэффициента b: Абсцисса вершины параболы определяется формулой $x_v = -\frac{b}{2a}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть ее абсцисса отрицательна: $x_v < 0$. Имеем неравенство $-\frac{b}{2a} < 0$, что эквивалентно $\frac{b}{2a} > 0$. Так как мы уже установили, что $a < 0$, то для того, чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным: $b < 0$.

Таким образом, мы получили следующие знаки: $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D > 0$.

Ответ: $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D > 0$.

3) Проанализируем график функции $y = ax^2 + bx + c$ на рисунке 88, чтобы определить знаки коэффициентов $a, b, c$ и дискриминанта $D$.

Сначала определим знаки $a, b, c$ и $D$ по виду графика:

1. Знак a: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: График пересекает ось OY в точке с отрицательной ординатой. Так как $y(0) = c$, то $c < 0$.

3. Знак D: Парабола пересекает ось OX в двух различных точках, значит, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня, следовательно, дискриминант $D > 0$.

4. Знак b: Вершина параболы $x_v = -\frac{b}{2a}$ находится в правой полуплоскости, поэтому $x_v > 0$. Так как $a > 0$, то $2a > 0$. Из неравенства $-\frac{b}{2a} > 0$ следует, что $-b > 0$, а значит $b < 0$.

Итак, имеем: $a > 0$, $b < 0$, $c < 0$, $D > 0$. Теперь проверим справедливость предложенных соотношений:

а) $ab < 0$. Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, их произведение будет отрицательным. $a \cdot b < 0$. Соотношение справедливо.

б) $Dc > 0$. Поскольку $D > 0$ и $c < 0$, их произведение будет отрицательным. $D \cdot c < 0$. Соотношение несправедливо.

в) $Db > 0$. Поскольку $D > 0$ и $b < 0$, их произведение будет отрицательным. $D \cdot b < 0$. Соотношение несправедливо.

г) $bc > 0$. Поскольку $b < 0$ и $c < 0$, их произведение будет положительным. $b \cdot c > 0$. Соотношение справедливо.

д) $aD > 0$. Поскольку $a > 0$ и $D > 0$, их произведение будет положительным. $a \cdot D > 0$. Соотношение справедливо.

Ответ: а), г), д).