Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14. Найдите $b_1$ и $b_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_2 = -243; q = -\frac{1}{3}; n = 4;$

2) $b_3 = 81; q = -\frac{1}{3}; n = 8;$

3) $b_4 = 128; q = -\frac{1}{2}; n = 10;$

4) $b_5 = 64; q = -\frac{1}{2}; n = 9.$

1) Дано: член геометрической прогрессии $b_2 = -243$, знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, и номер искомого члена $n = 4$.
Задача — найти первый член прогрессии $b_1$ и n-й член $b_n$, то есть $b_4$.
Формула k-го члена геометрической прогрессии: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.
Найдем $b_1$, используя известный член $b_2$:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$
Отсюда $b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-243}{-1/3} = -243 \cdot (-3) = 729$.
Теперь найдем $b_4$, используя найденный $b_1$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 729 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 729 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{729}{27} = -27$.
Ответ: $b_1 = 729$, $b_4 = -27$.

2) Дано: $b_3 = 81$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 8$.
Задача — найти $b_1$ и $b_8$.
Найдем $b_1$, используя $b_3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{81}{(-1/3)^2} = \frac{81}{1/9} = 81 \cdot 9 = 729$.
Теперь найдем $b_8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7 = 729 \cdot (-\frac{1}{3})^7 = 3^6 \cdot (-\frac{1}{3^7}) = -\frac{3^6}{3^7} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $b_1 = 729$, $b_8 = -\frac{1}{3}$.

3) Дано: $b_4 = 128$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 10$.
Задача — найти $b_1$ и $b_{10}$.
Найдем $b_1$, используя $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{128}{(-1/2)^3} = \frac{128}{-1/8} = 128 \cdot (-8) = -1024$.
Теперь найдем $b_{10}$:
$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9 = -1024 \cdot (-\frac{1}{2})^9 = -2^{10} \cdot (-\frac{1}{2^9}) = \frac{2^{10}}{2^9} = 2$.
Ответ: $b_1 = -1024$, $b_{10} = 2$.

4) Дано: $b_5 = 64$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 9$.
Задача — найти $b_1$ и $b_9$.
Найдем $b_1$, используя $b_5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{64}{(-1/2)^4} = \frac{64}{1/16} = 64 \cdot 16 = 1024$.
Теперь найдем $b_9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8 = 1024 \cdot (-\frac{1}{2})^8 = 2^{10} \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{2^{10}}{2^8} = 2^2 = 4$.
Ответ: $b_1 = 1024$, $b_9 = 4$.

15. Найдите $S_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = -1000$; $q = 0.5$; $n = 6$;

2) $b_1 = 400$; $q = 0.2$; $n = 7$;

3) $b_1 = 900$; $q = 0.01$; $n = 6$;

4) $b_1 = -500$; $q = -0.2$; $n = 8$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

1) Дано: $b_1 = -1000$, $q = 0,5$, $n = 6$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{-1000(0,5^6 - 1)}{0,5 - 1}$

Сначала вычислим $0,5^6$:

$0,5^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} = 0,015625$

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_6 = \frac{-1000(0,015625 - 1)}{-0,5} = \frac{-1000(-0,984375)}{-0,5} = \frac{984,375}{-0,5} = -1968,75$

Ответ: $-1968,75$.

2) Дано: $b_1 = 400$, $q = 0,2$, $n = 7$.

Применим формулу суммы. Удобнее использовать ее в виде $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ при $|q| < 1$.

$S_7 = \frac{400(1 - 0,2^7)}{1 - 0,2}$

Вычислим $0,2^7$:

$0,2^7 = (\frac{1}{5})^7 = \frac{1}{78125} = 0,0000128$

Подставим в формулу:

$S_7 = \frac{400(1 - 0,0000128)}{1 - 0,2} = \frac{400(0,9999872)}{0,8} = 500 \times 0,9999872 = 499,9936$

Ответ: $499,9936$.

3) Дано: $b_1 = 900$, $q = 0,01$, $n = 6$.

Так как количество членов невелико, а знаменатель $q=0,01$ очень мал, можно найти сумму, вычислив и сложив все 6 членов прогрессии.

$b_1 = 900$

$b_2 = b_1 \times q = 900 \times 0,01 = 9$

$b_3 = b_2 \times q = 9 \times 0,01 = 0,09$

$b_4 = b_3 \times q = 0,09 \times 0,01 = 0,0009$

$b_5 = b_4 \times q = 0,0009 \times 0,01 = 0,000009$

$b_6 = b_5 \times q = 0,000009 \times 0,01 = 0,00000009$

Теперь сложим эти члены:

$S_6 = 900 + 9 + 0,09 + 0,0009 + 0,000009 + 0,00000009 = 909,09090909$

Ответ: $909,09090909$.

4) Дано: $b_1 = -500$, $q = -0,2$, $n = 8$.

Подставим значения в формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_8 = \frac{-500((-0,2)^8 - 1)}{-0,2 - 1}$

Так как степень $n=8$ четная, $(-0,2)^8 = 0,2^8$.

$0,2^8 = (\frac{1}{5})^8 = \frac{1}{390625} = 0,00000256$

Подставим это значение в формулу:

$S_8 = \frac{-500(0,00000256 - 1)}{-1,2} = \frac{-500(-0,99999744)}{-1,2} = \frac{499,99872}{-1,2} = -416,6656$

Ответ: $-416,6656$.

16. Найдите $b_1$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_4 = -\frac{27}{32}; q = -\frac{3}{4};$

2) $b_5 = -16; q = \frac{2}{3};$

3) $b_3 = 90; q = \frac{3}{5};$

4) $b_4 = 12,5; q = -\frac{5}{6}.$

Для решения всех подпунктов воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы можно выразить первый член прогрессии $b_1$: $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$.

1) Дано: $b_4 = -\frac{27}{32}$, $q = -\frac{3}{4}$.
Здесь $n=4$. Подставим значения в формулу для $b_1$:
$b_1 = \frac{b_4}{q^{4-1}} = \frac{b_4}{q^3}$
$b_1 = \frac{-\frac{27}{32}}{(-\frac{3}{4})^3} = \frac{-\frac{27}{32}}{-\frac{3^3}{4^3}} = \frac{-\frac{27}{32}}{-\frac{27}{64}} = \frac{27}{32} \cdot \frac{64}{27} = \frac{64}{32} = 2$.
Ответ: $2$.

2) Дано: $b_5 = -16$, $q = \frac{2}{3}$.
Здесь $n=5$. Подставим значения в формулу:
$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{b_5}{q^4}$
$b_1 = \frac{-16}{(\frac{2}{3})^4} = \frac{-16}{\frac{2^4}{3^4}} = \frac{-16}{\frac{16}{81}} = -16 \cdot \frac{81}{16} = -81$.
Ответ: $-81$.

3) Дано: $b_3 = 90$, $q = \frac{3}{5}$.
Здесь $n=3$. Подставим значения в формулу:
$b_1 = \frac{b_3}{q^{3-1}} = \frac{b_3}{q^2}$
$b_1 = \frac{90}{(\frac{3}{5})^2} = \frac{90}{\frac{3^2}{5^2}} = \frac{90}{\frac{9}{25}} = 90 \cdot \frac{25}{9} = 10 \cdot 25 = 250$.
Ответ: $250$.

4) Дано: $b_4 = 12.5$, $q = -\frac{5}{6}$.
Здесь $n=4$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $12.5 = \frac{25}{2}$.
Подставим значения в формулу:
$b_1 = \frac{b_4}{q^{4-1}} = \frac{b_4}{q^3}$
$b_1 = \frac{\frac{25}{2}}{(-\frac{5}{6})^3} = \frac{\frac{25}{2}}{-\frac{5^3}{6^3}} = \frac{\frac{25}{2}}{-\frac{125}{216}} = -\frac{25}{2} \cdot \frac{216}{125} = -\frac{25 \cdot 216}{2 \cdot 125} = -\frac{1 \cdot 108}{1 \cdot 5} = -\frac{108}{5} = -21.6$.
Ответ: $-21.6$.

17. Упростите выражение:

1) $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha);$

2) $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2.$

1) Для упрощения выражения $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения для каждого множителя.

• $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в первой четверти, где тангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).
• $ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$. Аргумент $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $2\pi$, функция не меняется.
• $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (косинус на синус).
• $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. В силу периодичности функции тангенса (период равен $\pi$).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Сгруппируем множители и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$:

$(ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = 1 \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = -ctg(\alpha) \cdot sin(\alpha)$

Заменим $ctg(\alpha)$ на отношение $\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$:

$-\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Ответ: $-cos(\alpha)$.

2) Упростим выражение $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2$ с помощью формул приведения.

• $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$. Аргумент $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Функция не меняется.
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Аргумент $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $(tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$.
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Аргумент $\pi + \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Функция не меняется.
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$. Аргумент $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $(ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$.

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha)$

Объединим степени тангенса:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$

Используем тождество $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{1}{tg^2(\alpha)} \cdot tg^3(\alpha) = cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Теперь заменим $tg(\alpha)$ на отношение $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$.

18. Докажите, что значение выражения $2\sin(-\alpha) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) - 2\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$ равно нулю.

Для доказательства того, что значение данного выражения равно нулю, необходимо последовательно упростить каждое его слагаемое, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение: $2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим и упростим выражение по частям.

Упрощение первого члена: $2\sin(-\alpha) \cdot \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Так как угол $\frac{3\pi}{2}$ находится на вертикальной оси единичной окружности, функция синус меняется на косинус. Аргумент $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ соответствует третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Следовательно, $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Подставляем полученные значения в первый член: $2 \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем, что первый член равен $\sin(2\alpha)$.

Упрощение второго члена: $\cos(360^\circ - 2\alpha) \cdot \ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Применяем формулу приведения для $\cos(360^\circ - 2\alpha)$. Так как $360^\circ$ соответствует $2\pi$ радиан, а косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(360^\circ - 2\alpha) = \cos(-2\alpha)$. В силу четности функции косинус, $\cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Так как угол $\frac{\pi}{2}$ находится на вертикальной оси, функция котангенс меняется на тангенс. Аргумент $(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$ соответствует первой координатной четверти, где все тригонометрические функции положительны. Поэтому, $\ctg(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \tan(2\alpha)$.
Перемножаем упрощенные части: $\cos(2\alpha) \cdot \tan(2\alpha)$.
Зная, что $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$, получаем: $\cos(2\alpha) \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \sin(2\alpha)$.

Упрощение третьего члена: $-2\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(-x)$.
$\cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.
Применяем формулу приведения для $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Функция косинус меняется на синус, а знак остается положительным (первая четверть). Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.
Следовательно, третий член выражения равен $-2\sin(2\alpha)$.

Итоговое сложение

Теперь сложим все упрощенные части выражения:
$\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 0$.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения равно нулю.

Ответ: В результате упрощения выражения с использованием формул приведения и свойств тригонометрических функций было получено: $\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha) = 0$. Это доказывает, что значение исходного выражения равно нулю.

19. Верно ли равенство $0.5\cos(8\alpha) - 1.5 - \cos^2(4\alpha) = 1$?

Чтобы проверить, верно ли данное равенство, мы преобразуем его левую часть и сравним с правой.

Исходное равенство: $0.5\cos(8a) - 1.5 - \cos^2(4a) = 1$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ):

$ЛЧ = 0.5\cos(8a) - 1.5 - \cos^2(4a)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Применим эту формулу для $\cos(8a)$, приняв $x = 4a$. Тогда $2x = 8a$, и формула будет выглядеть так:

$\cos(8a) = 2\cos^2(4a) - 1$

Теперь подставим это выражение в левую часть нашего исходного равенства:

$ЛЧ = 0.5(2\cos^2(4a) - 1) - 1.5 - \cos^2(4a)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = 0.5 \cdot 2\cos^2(4a) - 0.5 \cdot 1 - 1.5 - \cos^2(4a)$

$ЛЧ = \cos^2(4a) - 0.5 - 1.5 - \cos^2(4a)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ЛЧ = (\cos^2(4a) - \cos^2(4a)) - (0.5 + 1.5)$

$ЛЧ = 0 - 2$

$ЛЧ = -2$

В результате упрощения левой части мы получили $-2$. Правая часть исходного равенства равна $1$.

Поскольку $-2 \neq 1$, исходное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

20. Упростите выражение:

1) $\frac{\operatorname{ctg}^{2}(270^{\circ}-3 \alpha) \cdot \cos (2 \alpha+90^{\circ}) \cdot \cos (\alpha-180^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\sin (\alpha-90^{\circ}) \cdot \operatorname{tg}(270^{\circ}+\alpha) \cdot \cos (-\alpha) \cdot \operatorname{tg}^{2}(180^{\circ}+3 \alpha)}$

2) $\frac{\sin (\beta+63^{\circ})+\sin (\beta-57^{\circ})}{2 \cos (\beta-87^{\circ})}$

1) Упростим выражение по частям, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение:

$\frac{\text{ctg}^2(270^\circ - 3\alpha) \cdot \cos(2\alpha + 90^\circ) \cdot \cos(\alpha - 180^\circ) \cdot \text{ctg}(-\alpha)}{\sin(\alpha - 90^\circ) \cdot \text{tg}(270^\circ + \alpha) \cdot \cos(-\alpha) \cdot \text{tg}^2(180^\circ + 3\alpha)}$

Сначала упростим каждый множитель в числителе:

$\text{ctg}(270^\circ - 3\alpha) = \text{tg}(3\alpha)$. Так как угол $270^\circ$ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (ctg на tg). Угол $(270^\circ - 3\alpha)$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Следовательно, $\text{ctg}^2(270^\circ - 3\alpha) = \text{tg}^2(3\alpha)$.

$\cos(2\alpha + 90^\circ) = \cos(90^\circ + 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а угол $(90^\circ + 2\alpha)$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

$\cos(\alpha - 180^\circ) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Используем четность косинуса $\cos(-x)=\cos(x)$. Угол $180^\circ$ на горизонтальной оси, функция не меняется. Угол $(180^\circ - \alpha)$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

$\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, так как котангенс — нечетная функция.

Таким образом, числитель принимает вид: $\text{tg}^2(3\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = -\text{tg}^2(3\alpha) \sin(2\alpha) \cos(\alpha) \text{ctg}(\alpha)$.

Теперь упростим каждый множитель в знаменателе:

$\sin(\alpha - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Используем нечетность синуса $\sin(-x)=-\sin(x)$, а затем формулу приведения.

$\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а угол $(270^\circ + \alpha)$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен.

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус — четная функция.

$\text{tg}(180^\circ + 3\alpha) = \text{tg}(3\alpha)$. Функция не меняется, а угол $(180^\circ + 3\alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Следовательно, $\text{tg}^2(180^\circ + 3\alpha) = \text{tg}^2(3\alpha)$.

Таким образом, знаменатель принимает вид: $(-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot \text{tg}^2(3\alpha) = \cos^2(\alpha) \text{ctg}(\alpha) \text{tg}^2(3\alpha)$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{-\text{tg}^2(3\alpha) \sin(2\alpha) \cos(\alpha) \text{ctg}(\alpha)}{\cos^2(\alpha) \text{ctg}(\alpha) \text{tg}^2(3\alpha)}$

Сокращаем общие множители $\text{tg}^2(3\alpha)$, $\text{ctg}(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (при условии, что они не равны нулю):

$\frac{-\sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$\frac{-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -2\sin(\alpha)$

Ответ: $-2\sin(\alpha)$.

2) Упростим данное выражение, используя формулы тригонометрии.

Исходное выражение:

$\frac{\sin(\beta + 63^\circ) + \sin(\beta - 57^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Для преобразования суммы синусов в числителе воспользуемся формулой: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \beta + 63^\circ$ и $y = \beta - 57^\circ$.

$\sin(\beta + 63^\circ) + \sin(\beta - 57^\circ) = 2\sin\left(\frac{(\beta + 63^\circ) + (\beta - 57^\circ)}{2}\right)\cos\left(\frac{(\beta + 63^\circ) - (\beta - 57^\circ)}{2}\right)$

$= 2\sin\left(\frac{2\beta + 6^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 2\sin(\beta + 3^\circ)\cos(60^\circ)$

Мы знаем, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$2\sin(\beta + 3^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\beta + 3^\circ)$

Теперь наше исходное выражение выглядит так:

$\frac{\sin(\beta + 3^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Чтобы упростить дальше, воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$.

$\sin(\beta + 3^\circ) = \cos(90^\circ - (\beta + 3^\circ)) = \cos(90^\circ - \beta - 3^\circ) = \cos(87^\circ - \beta)$

Так как косинус является четной функцией, $\cos(z) = \cos(-z)$, то $\cos(87^\circ - \beta) = \cos(- (87^\circ - \beta)) = \cos(\beta - 87^\circ)$.

Следовательно, мы показали, что $\sin(\beta + 3^\circ) = \cos(\beta - 87^\circ)$.

Подставим это тождество в нашу дробь:

$\frac{\cos(\beta - 87^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Сокращая $\cos(\beta - 87^\circ)$ (при условии $\cos(\beta - 87^\circ) \ne 0$), получаем:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

21. Докажите, что значение выражения

$2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos 4\alpha + \frac{1}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}) - (1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 2\alpha} - \cos^2 2\alpha$

равно единице.

Для доказательства того, что значение выражения равно единице, упростим его по частям, используя основные тригонометрические тождества.
Исходное выражение:
$2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)}) - (1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\ctg^2(2\alpha)} - \cos^2(2\alpha)$

1. Упростим первую часть выражения: $2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)})$.
Рассмотрим выражение в скобках. Преобразуем его слагаемые.
Первые два слагаемых: $0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) = 0,5(1 - \cos(4\alpha))$.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $, из которой следует $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$. Применим ее для $x = 2\alpha$:
$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$.
Тогда $0,5(1 - \cos(4\alpha)) = 0,5 \cdot 2\sin^2(2\alpha) = \sin^2(2\alpha)$.
Теперь преобразуем третье слагаемое в скобках, используя тождество $1 + \tg^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$:
$\frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)} = \cos^2(2\alpha)$.
Подставим полученные результаты в скобки:
$\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$, значение выражения в скобках равно 1.
Следовательно, вся первая часть исходного выражения равна $2 \cdot 1 = 2$.

2. Упростим вторую часть выражения: $-(1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\ctg^2(2\alpha)} - \cos^2(2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества имеем $1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha)$.
По определению тангенса и котангенса $\frac{1}{\ctg^2(y)} = \tg^2(y) = \frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}$.
Подставим эти преобразования во вторую часть:
$-(\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}) - \cos^2(2\alpha)$.
При условии, что $\cos(2\alpha) \neq 0$ (которое выполняется, так как в исходном выражении присутствует $\tg(2\alpha)$), мы можем сократить $\cos^2(2\alpha)$:
$-\sin^2(2\alpha) - \cos^2(2\alpha)$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha))$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $-(1) = -1$.

3. Вычислим итоговое значение.
Сложим результаты упрощения обеих частей:
$2 + (-1) = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1.