Страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*13.24. Есть ли в арифметической прогрессии 2,35; 3,1; ... члены, являющиеся целыми числами, не превосходящими число 20? Если есть, то найдите их.

Для ответа на вопрос сначала определим параметры данной арифметической прогрессии $(a_n)$.
Первый член прогрессии: $a_1 = 2,35$.
Второй член прогрессии: $a_2 = 3,1$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 3,1 - 2,35 = 0,75$.
Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной прогрессии:
$a_n = 2,35 + (n-1) \cdot 0,75$
Упростим это выражение:
$a_n = 2,35 + 0,75n - 0,75$
$a_n = 1,6 + 0,75n$
Теперь нам нужно выяснить, существуют ли такие натуральные номера членов $n$, при которых значение $a_n$ будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $a_n = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.
Получаем уравнение:
$k = 1,6 + 0,75n$
Чтобы проанализировать это уравнение в целых числах, удобнее работать с обыкновенными дробями:
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
Подставим эти дроби в уравнение:
$k = \frac{8}{5} + \frac{3}{4}n$
Приведем правую часть к общему знаменателю 20:
$k = \frac{8 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{4 \cdot 5} = \frac{32}{20} + \frac{15n}{20} = \frac{32 + 15n}{20}$
Для того чтобы $k$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(32 + 15n)$ делился нацело на знаменатель 20.
Рассмотрим, может ли выражение $32 + 15n$ быть кратным 20. Число, кратное 20, должно быть кратно и 10, а значит, его последняя цифра должна быть 0.
Проанализируем последнюю цифру выражения $32 + 15n$:
1. Число 32 оканчивается на 2.
2. Произведение $15n$ для любого натурального $n$ оканчивается либо на 5 (если $n$ нечетное, например, $15 \cdot 1 = 15$), либо на 0 (если $n$ четное, например, $15 \cdot 2 = 30$).
Сложим последние цифры:
- Если последняя цифра $15n$ равна 5, то последняя цифра суммы $32 + 15n$ будет $2 + 5 = 7$.
- Если последняя цифра $15n$ равна 0, то последняя цифра суммы $32 + 15n$ будет $2 + 0 = 2$.
Ни в одном из случаев последняя цифра выражения $32 + 15n$ не равна 0. Следовательно, это выражение не может делиться на 20 ни при каком натуральном $n$.
Таким образом, в данной арифметической прогрессии нет членов, являющихся целыми числами.
Ответ: Нет, в данной арифметической прогрессии нет членов, являющихся целыми числами.

*13.25. Конечные арифметические прогрессии 7; 11; ... и 8; 11; ... имеют по 100 членов. Найдите число одинаковых членов этих прогрессий.

Пусть первая арифметическая прогрессия обозначается $(a_n)$, а вторая — $(b_m)$. Каждая из них содержит 100 членов.

Для первой прогрессии $7; 11; \ldots$ имеем: первый член $a_1 = 7$ и разность $d_1 = 11 - 7 = 4$. Общий член прогрессии выражается формулой $a_n = a_1 + (n-1)d_1 = 7 + (n-1)4 = 4n + 3$, где $1 \le n \le 100$. Последний член прогрессии: $a_{100} = 4 \cdot 100 + 3 = 403$.

Для второй прогрессии $8; 11; \ldots$ имеем: первый член $b_1 = 8$ и разность $d_2 = 11 - 8 = 3$. Общий член прогрессии выражается формулой $b_m = b_1 + (m-1)d_2 = 8 + (m-1)3 = 3m + 5$, где $1 \le m \le 100$. Последний член прогрессии: $b_{100} = 3 \cdot 100 + 5 = 305$.

Общие члены двух арифметических прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию $(c_k)$. Найдем ее параметры.

Первый общий член можно найти, выписав несколько первых членов каждой прогрессии:
$(a_n): 7, 11, 15, \ldots$
$(b_m): 8, 11, 14, \ldots$
Видно, что первый общий член $c_1 = 11$.

Разность прогрессии общих членов $d_c$ равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий: $d_c = \text{НОК}(d_1, d_2) = \text{НОК}(4, 3) = 12$.

Таким образом, последовательность общих членов задается формулой $c_k = c_1 + (k-1)d_c = 11 + (k-1)12$.

Общий член должен быть не больше последнего члена каждой из исходных прогрессий. Следовательно, он должен быть не больше наименьшего из их последних членов: $c_k \le \min(a_{100}, b_{100}) = \min(403, 305) = 305$.

Чтобы найти количество общих членов, решим неравенство относительно $k$:
$11 + (k-1)12 \le 305$
$12(k-1) \le 305 - 11$
$12(k-1) \le 294$
$k-1 \le \frac{294}{12}$
$k-1 \le 24.5$
$k \le 25.5$

Так как номер члена $k$ является натуральным числом, его максимальное значение равно 25. Это означает, что всего существует 25 общих членов.

Ответ: 25

*13.26. Конечные арифметические прогрессии $4; 12; \dots$ и $5; 12; \dots$ имеют по 200 членов. Найдите число одинаковых членов этих прогрессий.

Обозначим первую арифметическую прогрессию как $(a_n)$ и вторую как $(b_m)$.

Для первой прогрессии $(a_n)$ с членами $4; 12; \dots$:Первый член $a_1 = 4$.Разность прогрессии $d_a = 12 - 4 = 8$.Формула n-го члена имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d_a = 4 + (n-1)8 = 4 + 8n - 8 = 8n - 4$.Поскольку прогрессия конечна и содержит 200 членов, то номер члена $n$ изменяется в пределах $1 \le n \le 200$.

Для второй прогрессии $(b_m)$ с членами $5; 12; \dots$:Первый член $b_1 = 5$.Разность прогрессии $d_b = 12 - 5 = 7$.Формула m-го члена имеет вид: $b_m = b_1 + (m-1)d_b = 5 + (m-1)7 = 5 + 7m - 7 = 7m - 2$.Поскольку прогрессия конечна и содержит 200 членов, то номер члена $m$ изменяется в пределах $1 \le m \le 200$.

Чтобы найти одинаковые (общие) члены этих прогрессий, необходимо решить уравнение $a_n = b_m$:$8n - 4 = 7m - 2$$8n - 7m = 2$

Это линейное диофантово уравнение относительно целых чисел $n$ и $m$.Из условия задачи видно, что $12$ является общим членом. Проверим, каким номерам он соответствует:Для первой прогрессии: $a_n=12 \implies 8n-4=12 \implies 8n=16 \implies n=2$.Для второй прогрессии: $b_m=12 \implies 7m-2=12 \implies 7m=14 \implies m=2$.Таким образом, пара $(n, m) = (2, 2)$ является частным решением диофантова уравнения.

Найдем общее решение. Перепишем уравнение как $8(n-2) - 7(m-2) = 0$, или $8(n-2) = 7(m-2)$.Так как числа 7 и 8 являются взаимно простыми, то выражение $(n-2)$ должно быть кратно 7, а $(m-2)$ должно быть кратно 8.Введем целый параметр $k$:$n - 2 = 7k \implies n = 2 + 7k$$m - 2 = 8k \implies m = 2 + 8k$

Теперь найдем все возможные значения $k$, при которых номера членов $n$ и $m$ находятся в заданных границах:1) $1 \le n \le 200 \implies 1 \le 2 + 7k \le 200$$-1 \le 7k \le 198$$-\frac{1}{7} \le k \le \frac{198}{7}$$-0.14... \le k \le 28.28...$

2) $1 \le m \le 200 \implies 1 \le 2 + 8k \le 200$$-1 \le 8k \le 198$$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{198}{8}$$-0.125 \le k \le 24.75$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, параметр $k$ должен удовлетворять обоим неравенствам. Найдем пересечение полученных диапазонов для $k$.Более строгим нижним ограничением является $k \ge -0.125$.Более строгим верхним ограничением является $k \le 24.75$.Таким образом, $-0.125 \le k \le 24.75$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, возможные значения для $k$ лежат в диапазоне от 0 до 24 включительно.$k \in \{0, 1, 2, \dots, 24\}$

Количество целых значений $k$ в этом диапазоне равно $24 - 0 + 1 = 25$.Каждому такому значению $k$ соответствует одна пара $(n,m)$ и, следовательно, один общий член прогрессий.Таким образом, всего существует 25 одинаковых членов.

Ответ: 25

13.27. В арифметической прогрессии $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Докажите, что

$c_7 = 4c_2$.

Пусть $c_n$ — арифметическая прогрессия с первым членом $c_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Используем данное в условии соотношение $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Выразим члены $c_5$ и $c_3$ через $c_1$ и $d$:
$c_5 = c_1 + (5-1)d = c_1 + 4d$
$c_3 = c_1 + (3-1)d = c_1 + 2d$

Подставим эти выражения в исходное соотношение и решим полученное уравнение относительно $c_1$ и $d$:
$\frac{c_1 + 4d}{c_1 + 2d} = \frac{7}{4}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$4(c_1 + 4d) = 7(c_1 + 2d)$
$4c_1 + 16d = 7c_1 + 14d$
Перегруппируем слагаемые:
$16d - 14d = 7c_1 - 4c_1$
$2d = 3c_1$
Это ключевое соотношение между первым членом и разностью прогрессии, которое следует из условия задачи.

Теперь рассмотрим равенство, которое необходимо доказать: $c_7 = 4c_2$.
Выразим левую и правую части этого равенства через $c_1$ и $d$:
Левая часть: $c_7 = c_1 + (7-1)d = c_1 + 6d$
Правая часть: $4c_2 = 4(c_1 + (2-1)d) = 4(c_1 + d) = 4c_1 + 4d$

Таким образом, доказываемое равенство $c_7 = 4c_2$ можно переписать в виде:
$c_1 + 6d = 4c_1 + 4d$
Упростим это выражение, перенеся члены с $d$ в левую часть, а с $c_1$ — в правую:
$6d - 4d = 4c_1 - c_1$
$2d = 3c_1$

Мы получили тождество $2d = 3c_1$, которое в точности совпадает с соотношением, выведенным ранее из условия $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Поскольку равенство $c_7 = 4c_2$ эквивалентно верному соотношению $2d = 3c_1$, то оно также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $c_7 = 4c_2$ доказано, так как оно приводится к эквивалентному соотношению $2d = 3c_1$, которое напрямую следует из условия $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$.

13.28. Значение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии с положительными членами равно 9, а значение суммы их квадратов равно 99. Найдите пятый член этой прогрессии.

Обозначим первый, второй и третий члены арифметической прогрессии как $a_1, a_2, a_3$, а разность прогрессии как $d$.

Из условий задачи нам известно следующее:

1. Прогрессия возрастающая, что означает $d > 0$.

2. Члены прогрессии положительные, то есть $a_n > 0$ для всех $n \ge 1$. В частности, первый член $a_1 > 0$.

3. Сумма первых трех членов равна 9: $a_1 + a_2 + a_3 = 9$.

4. Сумма их квадратов равна 99: $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 99$.

Для упрощения вычислений удобно представить первые три члена прогрессии в виде $a_2 - d, a_2, a_2 + d$.

Используя условие о сумме первых трех членов, найдем второй член $a_2$:

$(a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 9$

$3a_2 = 9$

$a_2 = 3$

Теперь, зная второй член, используем условие о сумме квадратов:

$(3 - d)^2 + 3^2 + (3 + d)^2 = 99$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d$:

$(9 - 6d + d^2) + 9 + (9 + 6d + d^2) = 99$

$27 + 2d^2 = 99$

$2d^2 = 99 - 27$

$2d^2 = 72$

$d^2 = 36$

$d = \pm 6$

Так как по условию прогрессия возрастающая, мы должны выбрать положительное значение для разности: $d = 6$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя связь $a_1 = a_2 - d$:

$a_1 = 3 - 6 = -3$

Здесь мы обнаруживаем противоречие с условием, что все члены прогрессии должны быть положительными, так как $a_1 = -3$. Строгое следование всем условиям задачи ($a_1 > 0$ и $d > 0$) приводит к тому, что $a_1 = 3-d > 0$, откуда $d < 3$. Полученное значение $d=6$ не удовлетворяет этому требованию, что указывает на некорректность в постановке задачи. Вероятнее всего, условие о положительности членов является ошибкой.

Если предположить, что это условие можно опустить для нахождения ответа, то мы можем продолжить решение с $a_1 = -3$ и $d = 6$.

Цель задачи — найти пятый член прогрессии, $a_5$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим значения для $a_5$:

$a_5 = -3 + (5-1) \cdot 6 = -3 + 4 \cdot 6 = -3 + 24 = 21$

Ответ: 21

13.29. При каких значениях переменной $a$ значения выражений $a^2 - 3$, $2a^2 + 1$ и $a^4 + 1$, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

Пусть данные выражения $a^2 - 3$, $2a^2 + 1$ и $a^4 + 1$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $x_1$, $x_2$ и $x_3$ соответственно.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов. Для трех последовательных членов это свойство можно записать в виде формулы:
$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$
Или, в более удобной форме:
$2x_2 = x_1 + x_3$

Подставим в эту формулу данные нам выражения:
$2(2a^2 + 1) = (a^2 - 3) + (a^4 + 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала раскроем скобки и упростим выражение:
$4a^2 + 2 = a^4 + a^2 - 2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$0 = a^4 + a^2 - 4a^2 - 2 - 2$
$a^4 - 3a^2 - 4 = 0$

Получилось биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = a^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $y \ge 0$. После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:
$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 0$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $a^2$ не может быть отрицательным числом в поле действительных чисел. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $y = 4$:
$a^2 = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
$a_1 = 2$
$a_2 = -2$

Проверим найденные значения.
При $a = 2$ или $a = -2$ (так как $a$ входит в выражения только в четных степенях), получаем:
$x_1 = a^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$x_2 = 2a^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$
$x_3 = a^4 + 1 = (2)^4 + 1 = 16 + 1 = 17$
Получаем последовательность 1, 9, 17. Разность прогрессии $d = 9 - 1 = 8$ и $17 - 9 = 8$. Это действительно арифметическая прогрессия.

Ответ: $a = 2$ или $a = -2$.

13.30. Методом интервалов решите неравенство:

1) $\frac{(x-2)^2 \cdot (x+3)}{x-3} > 0;$

2) $\frac{(x+2)^2 \cdot (x+5)}{x-2} < 0;$

3) $\frac{(x-1)^3 \cdot (x+2)}{(x-3)^2} \ge 0;$

4) $\frac{(x-4)^3 \cdot (x+6)}{(x-1)^2} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x-2)^2 \cdot (x+3)}{x-3} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 2, четная кратность), и $x+3 = 0 \implies x=-3$ (корень кратности 1, нечетная кратность).
Нуль знаменателя: $x-3 = 0 \implies x=3$ (корень кратности 1, нечетная кратность). Точка $x=3$ будет выколотой.

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

3. Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например $x=4$:
$\frac{(4-2)^2 \cdot (4+3)}{4-3} = \frac{2^2 \cdot 7}{1} = 28 > 0$. Ставим знак «+».
Далее, двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
- При переходе через $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=2$ (четная кратность) знак не меняется и остается «-».
- При переходе через $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (со знаком «+»).
Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x+2)^2 \cdot (x+5)}{x-2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $(x+2)^2 = 0 \implies x=-2$ (корень кратности 2, четная), и $x+5 = 0 \implies x=-5$ (корень кратности 1, нечетная).
Нуль знаменателя: $x-2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 1, нечетная). Точка $x=2$ будет выколотой.

2. Отметим точки -5, -2, 2 на числовой оси. Неравенство строгое, поэтому все точки выколотые.

3. Определим знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2; +\infty)$:
$\frac{(3+2)^2 \cdot (3+5)}{3-2} = \frac{5^2 \cdot 8}{1} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (со знаком «-»).
Это интервалы $(-5; -2)$ и $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (-2; 2)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-1)^3 \cdot (x+2)}{(x-3)^2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули.
Нули числителя: $(x-1)^3=0 \implies x=1$ (кратность 3, нечетная), $x+2=0 \implies x=-2$ (кратность 1, нечетная). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки включаем в решение.
Нуль знаменателя: $(x-3)^2=0 \implies x=3$ (кратность 2, четная). Эту точку всегда исключаем из решения.

2. Отметим точки на оси: -2 (закрашенная), 1 (закрашенная), 3 (выколотая).

3. Определим знаки. Возьмем $x=4$ из интервала $(3; +\infty)$:
$\frac{(4-1)^3 \cdot (4+2)}{(4-3)^2} = \frac{3^3 \cdot 6}{1^2} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=3$ (четная кратность) знак не меняется, остается «+».
- При переходе через $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-2$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно нулю.
Решением будут интервалы $(-\infty; -2]$ и $[1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-4)^3 \cdot (x+6)}{(x-1)^2} \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули.
Нули числителя: $(x-4)^3=0 \implies x=4$ (кратность 3, нечетная), $x+6=0 \implies x=-6$ (кратность 1, нечетная). Точки $x=4$ и $x=-6$ включаем в решение.
Нуль знаменателя: $(x-1)^2=0 \implies x=1$ (кратность 2, четная). Точку $x=1$ исключаем.

2. Отметим точки на оси: -6 (закрашенная), 1 (выколотая), 4 (закрашенная).

3. Определим знаки. Возьмем $x=5$ из интервала $(4; +\infty)$:
$\frac{(5-4)^3 \cdot (5+6)}{(5-1)^2} = \frac{1^3 \cdot 11}{4^2} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-6$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы со знаком «-» и точки, где выражение равно нулю.
Это интервалы $[-6; 1)$ и $(1; 4]$.

Ответ: $x \in [-6; 1) \cup (1; 4]$.

13.31. Постройте график функции и найдите промежутки ее возрастания:

1) $y = 2x^2 - 3x + 1;$
2) $y = -2x^2 + 5x + 3;$
3) $y = -0,5x^2 - 3x + 4.$

1) y = 2x² - 3x + 1

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = 2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам $x_v = -b/(2a)$ и $y_v = y(x_v)$:

$x_v = -(-3) / (2 \cdot 2) = 3/4 = 0.75$

$y_v = 2 \cdot (0.75)^2 - 3 \cdot 0.75 + 1 = 2 \cdot 0.5625 - 2.25 + 1 = 1.125 - 2.25 + 1 = -0.125$

Вершина параболы находится в точке $(0.75, -0.125)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$x_1 = (3 - \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = 2/4 = 0.5$.

$x_2 = (3 + \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = 4/4 = 1$.

Точки пересечения с осью OX: $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.

Построим график функции, используя найденные точки и симметрию относительно оси $x = 0.75$.

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (с увеличением $x$ значение $y$ увеличивается). Так как ветви параболы направлены вверх, функция возрастает справа от вершины.

Промежуток возрастания: $[x_v, +\infty)$, то есть $[0.75, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.75, +\infty)$.

2) y = -2x² + 5x + 3

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = -2$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -5 / (2 \cdot (-2)) = -5 / (-4) = 1.25$

$y_v = -2 \cdot (1.25)^2 + 5 \cdot 1.25 + 3 = -2 \cdot 1.5625 + 6.25 + 3 = -3.125 + 6.25 + 3 = 6.125$

Вершина параболы находится в точке $(1.25, 6.125)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $-2x^2 + 5x + 3 = 0$ или $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

$x_1 = (5 - \sqrt{49}) / (2 \cdot 2) = (5-7)/4 = -0.5$.

$x_2 = (5 + \sqrt{49}) / (2 \cdot 2) = (5+7)/4 = 3$.

Точки пересечения с осью OX: $(-0.5, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим график функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает слева от вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty, x_v]$, то есть $(-\infty, 1.25]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.25]$.

3) y = -0,5x² - 3x + 4

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = -0.5$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -(-3) / (2 \cdot (-0.5)) = 3 / (-1) = -3$

$y_v = -0.5 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 4 = -0.5 \cdot 9 + 9 + 4 = -4.5 + 13 = 8.5$

Вершина параболы находится в точке $(-3, 8.5)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = -0.5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $-0.5x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 + 6x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x_{1,2} = (-6 \pm \sqrt{68}) / 2 = (-6 \pm 2\sqrt{17}) / 2 = -3 \pm \sqrt{17}$.

$x_1 = -3 - \sqrt{17} \approx -7.12$.

$x_2 = -3 + \sqrt{17} \approx 1.12$.

Точки пересечения с осью OX: $(-3 - \sqrt{17}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{17}, 0)$.

Построим график функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает слева от вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty, x_v]$, то есть $(-\infty, -3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$.

13.32. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} + \sqrt{4 - x}$;

2) $y = \sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{9 - x^2}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} + \sqrt{4 - x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. То есть, $x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $4 - x \ge 0$.

$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 4]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, так как они должны выполняться одновременно:

$((-\infty, -1] \cup [4, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.

Пересечение множества $(-\infty, -1]$ с $(-\infty, 4]$ дает $(-\infty, -1]$.

Пересечение множества $[4, +\infty)$ с $(-\infty, 4]$ дает точку $\{4\}$.

Объединяя эти результаты, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup \{4\}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{9 - x^2}$ также определяется системой неравенств, где подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $x^2 \le 9$, что равносильно $|x| \le 3$, или $-3 \le x \le 3$. Решением является отрезок $x \in [-3, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений:

$((-\infty, -4] \cup [1, +\infty)) \cap [-3, 3]$.

Пересечение $(-\infty, -4]$ с $[-3, 3]$ является пустым множеством.

Пересечение $[1, +\infty)$ с $[-3, 3]$ является отрезком $[1, 3]$.

Следовательно, область определения исходной функции есть отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $x \in [1, 3]$.

13.33. Решите уравнение:

1) $(x+3)^4 - x^2 - 6x - 11 = 0;$

2) $(x-6)^4 - 2x^2 + 24x - 80 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x + 3)^4 - x^2 - 6x - 11 = 0$.
Преобразуем группу членов $-x^2 - 6x - 11$. Вынесем минус за скобки: $-(x^2 + 6x + 11)$.
Заметим, что выражение в скобках можно связать с полным квадратом, а именно с $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Представим $x^2 + 6x + 11$ как $(x^2 + 6x + 9) + 2$, что равно $(x+3)^2 + 2$.
Таким образом, $-x^2 - 6x - 11 = -((x+3)^2 + 2) = -(x+3)^2 - 2$.
Подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:
$(x + 3)^4 - ((x+3)^2 + 2) = 0$
$(x + 3)^4 - (x+3)^2 - 2 = 0$.
Получилось биквадратное уравнение относительно $(x+3)^2$. Введем замену переменной: пусть $t = (x+3)^2$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $t^2 - t - 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается единственное решение для $t$: $t = 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$(x+3)^2 = 2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x+3 = \sqrt{2}$ или $x+3 = -\sqrt{2}$.
Отсюда находим два корня уравнения: $x_1 = -3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-3 - \sqrt{2}; -3 + \sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $(x - 6)^4 - 2x^2 + 24x - 80 = 0$.
Рассмотрим члены $-2x^2 + 24x - 80$. Вынесем общий множитель $-2$ за скобки: $-2(x^2 - 12x + 40)$.
Заметим, что выражение в скобках можно связать с полным квадратом $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$.
Представим $x^2 - 12x + 40$ как $(x^2 - 12x + 36) + 4$, что равно $(x-6)^2 + 4$.
Подставим это преобразование в исходное уравнение:
$(x - 6)^4 - 2((x-6)^2 + 4) = 0$
$(x - 6)^4 - 2(x-6)^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $(x-6)^2$. Введем замену переменной: пусть $y = (x-6)^2$. Так как $y$ является квадратом, то $y \ge 0$.
Уравнение примет вид: $y^2 - 2y - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-8$, а их сумма равна $2$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Остается единственное подходящее решение $y = 4$.
Вернемся к замене:
$(x-6)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x-6 = 2$ или $x-6 = -2$.
Из первого уравнения находим $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Из второго уравнения находим $x_2 = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4; 8.

9. Выбирается натуральное число от 1 до 10 включительно. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства

$(x^2 - 2x - 24)(x^2 - 2x - 15) \le 0:$

A) 0,25;

B) 0,3;

C) 0,4;

D) 0,1;

E) 0,2.

По условию задачи, случайным образом выбирается натуральное число из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Общее число возможных исходов равно 10.

Необходимо найти вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $(x^2 - 2x - 24)(x^2 - 2x - 15) \le 0$.

Для решения этого неравенства сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$(t - 24)(t - 15) \le 0$

Это квадратичное неравенство относительно $t$. Его решением является промежуток между корнями $t_1 = 15$ и $t_2 = 24$. Таким образом:

$15 \le t \le 24$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 2x$ вместо $t$. Это приводит к системе двух неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 2x \ge 15 \\x^2 - 2x \le 24\end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Решаем неравенство $x^2 - 2x \ge 15$, или $x^2 - 2x - 15 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется вне промежутка между корнями, то есть при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.

2. Решаем неравенство $x^2 - 2x \le 24$, или $x^2 - 2x - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_3 = 6$ и $x_4 = -4$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 2x - 24$ также имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на промежутке между корнями, то есть при $x \in [-4, 6]$.

Теперь нам нужно найти пересечение решений обоих неравенств, то есть найти $x$, удовлетворяющие обоим условиям: $x \in ( (-\infty, -3] \cup [5, \infty) ) \cap [-4, 6]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-4, -3] \cup [5, 6]$.

Итак, множество решений исходного неравенства есть $x \in [-4, -3] \cup [5, 6]$.

Теперь определим, какие натуральные числа от 1 до 10 являются решениями.

Отрезок $[-4, -3]$ не содержит натуральных чисел.

Отрезок $[5, 6]$ содержит два натуральных числа: 5 и 6.

Следовательно, у нас есть 2 благоприятных исхода.

Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{2}{10} = 0,2$

Этот результат соответствует варианту E.

Ответ: 0,2.

10. Выбирается целое число от -9 до 10 включительно. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $ (x^2 - 9)(x^2 - 8x - 9) < 0 $:

A) 0,25;

B) 0,3;

C) 0,4;

D) 0,2;

E) 0,5.

Для нахождения искомой вероятности необходимо найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Это классическое определение вероятности.

1. Найдем общее число возможных исходов (N).

В задаче сказано, что выбирается целое число от -9 до 10 включительно. Чтобы посчитать количество целых чисел в этом диапазоне, можно использовать формулу $N = b - a + 1$, где $a$ — начальное число, а $b$ — конечное.

В нашем случае $a = -9$ и $b = 10$.

$N = 10 - (-9) + 1 = 10 + 9 + 1 = 20$.

Таким образом, общее число возможных исходов равно 20.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятным исходом является выбор такого целого числа, которое является решением неравенства $(x^2 - 9)(x^2 - 8x - 9) < 0$.

Для решения этого неравенства разложим каждый из квадратных трехчленов на множители. Для этого найдем их корни.

Первый множитель: $x^2 - 9$. Уравнение $x^2 - 9 = 0$ имеет корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Следовательно, $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель: $x^2 - 8x - 9$. Решим уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и -1. Таким образом, корни $x_3 = 9$ и $x_4 = -1$. Следовательно, $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1)$.

Теперь неравенство можно записать в виде:

$(x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 9) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем корни $-3, -1, 3, 9$ на числовую прямую. Они разделят ее на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале.

При $x > 9$ (например, $x=10$) все множители положительны, произведение положительно.
При переходе через каждый корень знак произведения будет меняться, так как все корни имеют кратность 1.
Таким образом, знаки на интервалах будут чередоваться:
$(9, +\infty)$: +
$(3, 9)$: -
$(-1, 3)$: +
$(-3, -1)$: -
$(-\infty, -3)$: +

Неравенство $(x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 9) < 0$ выполняется на тех интервалах, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-3, -1)$ и $(3, 9)$.

Теперь найдем все целые числа, которые попадают в эти интервалы:

Для интервала $(-3, -1)$ это число $-2$.

Для интервала $(3, 9)$ это числа $4, 5, 6, 7, 8$.

Все найденные целые числа ($-2, 4, 5, 6, 7, 8$) принадлежат исходному диапазону от -9 до 10. Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно количеству этих чисел:

$m = 1 + 5 = 6$.

3. Вычислим вероятность (P).

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3.

11. Среди 30 экзаменационных вопросов 5 "легких" и 6 "сложных". Двое учащихся получают один из вопросов. Какова вероятность того, что второй ученик получил "сложный" вопрос, если первый ученик получил "легкий" вопрос:

A) $0,15$;

B) $\frac{2}{29}$;

C) $0,14$;

D) $\frac{6}{29}$;

E) $0,3?$

Дано:
Общее количество экзаменационных вопросов: $N = 30$.
Количество "легких" вопросов: $N_л = 5$.
Количество "сложных" вопросов: $N_с = 6$.
Событие A - первый ученик получил "легкий" вопрос.
Событие B - второй ученик получил "сложный" вопрос.

Найти:
Вероятность того, что второй ученик получил "сложный" вопрос, если первый получил "легкий" вопрос. Это условная вероятность $P(B|A)$.

Решение:
Это задача на условную вероятность. Событие A (первый ученик взял "легкий" вопрос) уже произошло. Нам нужно рассчитать вероятность события B (второй ученик взял "сложный" вопрос) при условии, что событие A уже наступило.
После того как первый ученик взял один "легкий" вопрос, общее количество вопросов уменьшилось.
Новое общее количество вопросов: $N' = N - 1 = 30 - 1 = 29$.
Количество "легких" вопросов также уменьшилось: $N'_л = N_л - 1 = 5 - 1 = 4$.
Количество "сложных" вопросов не изменилось: $N'_с = N_с = 6$.
Теперь второй ученик выбирает вопрос из оставшихся 29. Вероятность того, что он выберет "сложный" вопрос, равна отношению количества оставшихся "сложных" вопросов к новому общему количеству вопросов.
Число благоприятных исходов (вытянуть "сложный" вопрос) равно $m = 6$.
Общее число возможных исходов (количество оставшихся вопросов) равно $n = 29$.
Искомая вероятность:
$P(B|A) = \frac{m}{n} = \frac{6}{29}$

Ответ: $D) \frac{6}{29}$

12. Дано выражение $\sqrt{n - 6}$. Значение переменной $n$ случайно выбирается среди натуральных чисел от 1 до 100. Найдите вероятность того, что значение выражения меньше 4:

A) 0,12;

B) 0,16;

C) 0,18;

D) 0,2;

E) 0,3.

По условию задачи, значение переменной $n$ выбирается случайным образом из множества натуральных чисел от 1 до 100. Общее число всех возможных исходов равно 100. Обозначим его $N=100$.

Нам необходимо найти вероятность того, что значение выражения $\sqrt{n-6}$ будет меньше 4. Запишем это условие в виде неравенства:

$\sqrt{n-6} < 4$

Для того чтобы данное выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это накладывает на $n$ следующее ограничение:

$n-6 \ge 0$

$n \ge 6$

Теперь решим основное неравенство $\sqrt{n-6} < 4$. Так как обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:

$(\sqrt{n-6})^2 < 4^2$

$n - 6 < 16$

Прибавим 6 к обеим частям неравенства:

$n < 16 + 6$

$n < 22$

Таким образом, мы получили систему из двух неравенств для $n$:

$n \ge 6$ и $n < 22$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $6 \le n < 22$.

Теперь нам нужно найти количество натуральных чисел $n$ в диапазоне от 1 до 100, которые удовлетворяют этому условию. Это числа: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Подсчитаем количество этих чисел (число благоприятных исходов). Количество целых чисел в диапазоне от $a$ до $b$ (включительно) равно $b - a + 1$. В нашем случае это $21 - 6 + 1 = 16$. Итак, число благоприятных исходов $M=16$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{16}{100} = 0,16$

Ответ: 0,16.