Страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6. Найдите:

1) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $sin \alpha$, если $cos \alpha = \frac{7}{9}$ и $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$;

2) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $cos \alpha$, $tg \alpha$, если $sin \alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{7}{9} $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. Найдем $ \sin\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha $.
Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, то, разделив неравенство на 2, получим $ 0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ $. Это первая четверть, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.
Используем формулы половинного угла:
$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9-7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9} $.
Так как $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.
$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9+7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9} $.
Так как $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Теперь найдем $ \sin\alpha $. Угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $), поэтому $ \sin\alpha > 0 $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81} $.
Следовательно, $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ \sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9} $ и $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Найдем $ \sin\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\alpha $ и $ \tg\alpha $.
Сначала найдем $ \cos\alpha $. Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $), его косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 2}{81} = 1 - \frac{32}{81} = \frac{49}{81} $.
Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9} $.
Теперь определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Из $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $ следует $ 45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ $. Это первая четверть, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.
Используем формулы половинного угла:
$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{7}{9})}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9} $.
Отсюда $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{7}{9})}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9} $.
Отсюда $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.
Наконец, найдем $ \tg\alpha $ по определению: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{4\sqrt{2}}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} $, $ \cos\alpha = -\frac{7}{9} $, $ \tg\alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{7} $.

7. Найдите:

$ \cos(\alpha + \beta) $, $ \sin(\alpha - \beta) $, $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{1}{6} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{35}}{6} $, $ \sin\beta = \frac{1}{9} $, $ \cos\beta = \frac{4\sqrt{5}}{9} $ и $ \alpha, \beta \in $ I четверти.

Даны значения синусов и косинусов для углов $ \alpha $ и $ \beta $, которые находятся в I четверти. Это означает, что все их тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Исходные данные:
$ \sin\alpha = \frac{1}{6} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{35}}{6} $
$ \sin\beta = \frac{1}{9} $, $ \cos\beta = \frac{4\sqrt{5}}{9} $

Проверим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ для данных углов.
Для угла $ \alpha $: $ (\frac{1}{6})^2 + (\frac{\sqrt{35}}{6})^2 = \frac{1}{36} + \frac{35}{36} = \frac{36}{36} = 1 $.
Для угла $ \beta $: $ (\frac{1}{9})^2 + (\frac{4\sqrt{5}}{9})^2 = \frac{1}{81} + \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{1}{81} + \frac{80}{81} = \frac{81}{81} = 1 $.
Все данные корректны.

cos(α + β)
Используем формулу косинуса суммы:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
Подставляем известные значения:
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9} $
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{35 \cdot 5}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{4\sqrt{175}}{54} - \frac{1}{54} $
Упростим корень $ \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} $.
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4 \cdot 5\sqrt{7}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{20\sqrt{7}}{54} - \frac{1}{54} = \frac{20\sqrt{7} - 1}{54} $
Ответ: $ \frac{20\sqrt{7} - 1}{54} $

sin(α - β)
Используем формулу синуса разности:
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
Подставляем известные значения:
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{1}{9} $
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{4\sqrt{5}}{54} - \frac{\sqrt{35}}{54} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{35}}{54} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{35}}{54} $

tg(α + β)
Используем формулу тангенса через синус и косинус:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $
Значение $ \cos(\alpha + \beta) $ мы уже нашли. Теперь найдем $ \sin(\alpha + \beta) $ по формуле синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{9} + \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{1}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{54} + \frac{\sqrt{35}}{54} = \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{54} $
Теперь разделим $ \sin(\alpha + \beta) $ на $ \cos(\alpha + \beta) $:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{54}}{\frac{20\sqrt{7} - 1}{54}} $
Знаменатели 54 сокращаются:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{20\sqrt{7} - 1} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} + \sqrt{35}}{20\sqrt{7} - 1} $

8. Найдите:

$\cos(\alpha - \beta)$, $\sin(\alpha + \beta)$, $\text{tg}(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha = \frac{6}{7}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$, $\sin\beta = \frac{7}{8}$, $\cos\beta = \frac{\sqrt{15}}{8}$ и $\alpha, \beta \in$ I четверти.

cos(α - β)

Для вычисления косинуса разности воспользуемся формулой сложения аргументов: $cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$.

Из условия задачи нам даны значения тригонометрических функций для углов α и β, которые находятся в I четверти: $sinα = \frac{6}{7}$, $cosα = \frac{\sqrt{13}}{7}$, $sinβ = \frac{7}{8}$ и $cosβ = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Подставим эти значения в формулу:

$cos(α - β) = \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{13 \cdot 15}}{56} + \frac{42}{56} = \frac{\sqrt{195} + 42}{56}$.

Ответ: $\frac{42 + \sqrt{195}}{56}$

sin(α + β)

Для вычисления синуса суммы воспользуемся формулой сложения аргументов: $sin(α + β) = sinα \cdot cosβ + cosα \cdot sinβ$.

Подставим известные значения:

$sin(α + β) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} + \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{15} + 7\sqrt{13}}{56}$

tg(α - β)

Тангенс разности углов можно найти по формуле $tg(α - β) = \frac{sin(α - β)}{cos(α - β)}$.

Значение $cos(α - β)$ мы уже вычислили в первом пункте. Теперь найдем $sin(α - β)$, используя формулу синуса разности: $sin(α - β) = sinα \cdot cosβ - cosα \cdot sinβ$.

Подставим значения:

$sin(α - β) = \frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{6\sqrt{15}}{56} - \frac{7\sqrt{13}}{56} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}$.

Теперь, имея значения синуса и косинуса разности, найдем тангенс:

$tg(α - β) = \frac{\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{56}}{\frac{42 + \sqrt{195}}{56}} = \frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{15} - 7\sqrt{13}}{42 + \sqrt{195}}$

9. Вычислите $d$ и $a_n$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = 8,5; a_2 = 10,5; n = 4;$

2) $a_1 = -19; a_2 = -16; n = 6;$

3) $a_1 = 23; a_2 = 19; n = 5;$

4) $a_1 = -1,7; a_2 = -3,7; n = 7.$

1) Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$, используя ее определение: $d = a_{k+1} - a_k$. В данном случае нам известны первые два члена прогрессии, поэтому формула будет $d = a_2 - a_1$.
Подставим заданные значения $a_1 = 8,5$ и $a_2 = 10,5$:
$d = 10,5 - 8,5 = 2$.
Теперь вычислим $n$-й член прогрессии. Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию $n=4$, поэтому нам нужно найти $a_4$:
$a_4 = 8,5 + (4-1) \cdot 2 = 8,5 + 3 \cdot 2 = 8,5 + 6 = 14,5$.
Ответ: $d = 2$; $a_4 = 14,5$.

2) Найдем разность арифметической прогрессии $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$.
Подставим значения $a_1 = -19$ и $a_2 = -16$:
$d = -16 - (-19) = -16 + 19 = 3$.
Теперь вычислим $a_n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию $n=6$, поэтому найдем $a_6$:
$a_6 = -19 + (6-1) \cdot 3 = -19 + 5 \cdot 3 = -19 + 15 = -4$.
Ответ: $d = 3$; $a_6 = -4$.

3) Найдем разность арифметической прогрессии $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$.
Подставим значения $a_1 = 23$ и $a_2 = 19$:
$d = 19 - 23 = -4$.
Теперь вычислим $a_n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию $n=5$, поэтому найдем $a_5$:
$a_5 = 23 + (5-1) \cdot (-4) = 23 + 4 \cdot (-4) = 23 - 16 = 7$.
Ответ: $d = -4$; $a_5 = 7$.

4) Найдем разность арифметической прогрессии $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$.
Подставим значения $a_1 = -1,7$ и $a_2 = -3,7$:
$d = -3,7 - (-1,7) = -3,7 + 1,7 = -2$.
Теперь вычислим $a_n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию $n=7$, поэтому найдем $a_7$:
$a_7 = -1,7 + (7-1) \cdot (-2) = -1,7 + 6 \cdot (-2) = -1,7 - 12 = -13,7$.
Ответ: $d = -2$; $a_7 = -13,7$.

10. Найдите $a_1$ и $a_n$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = 1.6; d = 0.2; n = 10;$

2) $a_3 = 27; d = -0.5; n = 8;$

3) $a_4 = 4.6; d = 2.3; n = 7;$

4) $a_2 = 0; d = -4.1; n = 9.$

Для решения всех подпунктов задачи будем использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

1) Дано: $a_1 = 1.6$; $d = 0.2$; $n = 10$.

В этом случае первый член $a_1$ уже известен: $a_1 = 1.6$.
Нам нужно найти n-й член, то есть $a_{10}$.
Подставим данные в формулу n-го члена:
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 1.6 + 9 \times 0.2 = 1.6 + 1.8 = 3.4$.
Ответ: $a_1 = 1.6$, $a_{10} = 3.4$.

2) Дано: $a_3 = 27$; $d = -0.5$; $n = 8$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = a_1 + (3-1)d$.
Подставим известные значения:
$27 = a_1 + 2 \times (-0.5)$
$27 = a_1 - 1$
$a_1 = 27 + 1 = 28$.
Теперь найдем n-й член, то есть $a_8$, используя найденное значение $a_1$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d = 28 + 7 \times (-0.5) = 28 - 3.5 = 24.5$.
Ответ: $a_1 = 28$, $a_8 = 24.5$.

3) Дано: $a_4 = 4.6$; $d = 2.3$; $n = 7$.

Найдем первый член $a_1$. Мы знаем, что $a_4 = a_1 + (4-1)d$.
Подставим известные значения:
$4.6 = a_1 + 3 \times 2.3$
$4.6 = a_1 + 6.9$
$a_1 = 4.6 - 6.9 = -2.3$.
Теперь найдем n-й член, то есть $a_7$, используя найденное значение $a_1$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d = -2.3 + 6 \times 2.3 = -2.3 + 13.8 = 11.5$.
Ответ: $a_1 = -2.3$, $a_7 = 11.5$.

4) Дано: $a_2 = 0$; $d = -4.1$; $n = 9$.

Найдем первый член $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.
Подставим известные значения:
$0 = a_1 + (-4.1)$
$a_1 = 4.1$.
Теперь найдем n-й член, то есть $a_9$, используя найденное значение $a_1$:
$a_9 = a_1 + (9-1)d = 4.1 + 8 \times (-4.1) = 4.1 - 32.8 = -28.7$.
Ответ: $a_1 = 4.1$, $a_9 = -28.7$.

11. Найдите $n$ и $S_m$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = -35; a_n = -20; d = 5 \text{ и } m = 6;$

2) $a_2 = 30; a_n = 20; d = -5 \text{ и } m = 5;$

3) $a_4 = 6,2; a_n = 7,4; d = -0,4 \text{ и } m = 10;$

4) $a_3 = -6,6; a_n = -7,3; d = 0,7 \text{ и } m = 20.$

1) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_1 = -35$, $a_n = -20$, $d = 5$ и $m = 6$.
Сначала найдем номер члена прогрессии $n$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$-20 = -35 + (n-1) \cdot 5$
$35 - 20 = 5(n-1)$
$15 = 5(n-1)$
$n-1 = \frac{15}{5}$
$n-1 = 3$
$n = 4$
Теперь найдем сумму первых $m=6$ членов прогрессии $S_6$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = -35$, $d = 5$ и $m = 6$:
$S_6 = \frac{2 \cdot (-35) + (6-1) \cdot 5}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-70 + 5 \cdot 5}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-70 + 25}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-45}{2} \cdot 6$
$S_6 = -45 \cdot 3 = -135$
Ответ: $n=4$, $S_6 = -135$.

2) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_2 = 30$, $a_n = 20$, $d = -5$ и $m = 5$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$, следовательно, $a_1 = a_2 - d$.
$a_1 = 30 - (-5) = 30 + 5 = 35$
Теперь, зная $a_1$, найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = 35$, $a_n = 20$, $d = -5$.
$20 = 35 + (n-1) \cdot (-5)$
$20 - 35 = -5(n-1)$
$-15 = -5(n-1)$
$n-1 = \frac{-15}{-5}$
$n-1 = 3$
$n = 4$
Теперь найдем сумму первых $m=5$ членов прогрессии $S_5$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = 35$, $d = -5$ и $m = 5$:
$S_5 = \frac{2 \cdot 35 + (5-1) \cdot (-5)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{70 + 4 \cdot (-5)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{70 - 20}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{50}{2} \cdot 5$
$S_5 = 25 \cdot 5 = 125$
Ответ: $n=4$, $S_5 = 125$.

3) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_4 = 6,2$, $a_n = 7,4$, $d = -0,4$ и $m = 10$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_4 = a_1 + 3d$, следовательно, $a_1 = a_4 - 3d$.
$a_1 = 6,2 - 3 \cdot (-0,4) = 6,2 + 1,2 = 7,4$
Теперь найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = 7,4$, $a_n = 7,4$, $d = -0,4$.
$7,4 = 7,4 + (n-1) \cdot (-0,4)$
$0 = (n-1) \cdot (-0,4)$
$n-1 = 0$
$n = 1$
Теперь найдем сумму первых $m=10$ членов прогрессии $S_{10}$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = 7,4$, $d = -0,4$ и $m = 10$:
$S_{10} = \frac{2 \cdot 7,4 + (10-1) \cdot (-0,4)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = (2 \cdot 7,4 + 9 \cdot (-0,4)) \cdot 5$
$S_{10} = (14,8 - 3,6) \cdot 5$
$S_{10} = 11,2 \cdot 5 = 56$
Ответ: $n=1$, $S_{10} = 56$.

4) Дано: арифметическая прогрессия, где $a_3 = -6,6$, $a_n = -7,3$, $d = 0,7$ и $m = 20$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = a_1 + 2d$, следовательно, $a_1 = a_3 - 2d$.
$a_1 = -6,6 - 2 \cdot 0,7 = -6,6 - 1,4 = -8$
Теперь найдем номер члена прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = -8$, $a_n = -7,3$, $d = 0,7$.
$-7,3 = -8 + (n-1) \cdot 0,7$
$8 - 7,3 = 0,7(n-1)$
$0,7 = 0,7(n-1)$
$n-1 = 1$
$n = 2$
Теперь найдем сумму первых $m=20$ членов прогрессии $S_{20}$ по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.
Подставим значения $a_1 = -8$, $d = 0,7$ и $m = 20$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + (20-1) \cdot 0,7}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-8) + 19 \cdot 0,7) \cdot 10$
$S_{20} = (-16 + 13,3) \cdot 10$
$S_{20} = -2,7 \cdot 10 = -27$
Ответ: $n=2$, $S_{20} = -27$.

12. Найдите $a_1$, если:

1) $d = -20$; $S_4 = 320$;

2) $d = 20$; $S_6 = 60$;

3) $d = 30$; $S_7 = 259$;

4) $d = -40$; $S_9 = 1350$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

1) Дано: $d = -20$, $n=4$, $S_4 = 320$.
Подставим известные значения в формулу: $S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4$
$320 = \frac{2a_1 + (-20) \cdot 3}{2} \cdot 4$
$320 = (2a_1 - 60) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2: $160 = 2a_1 - 60$
Перенесем -60 в левую часть с противоположным знаком: $160 + 60 = 2a_1$
$220 = 2a_1$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $a_1$: $a_1 = 110$
Ответ: $110$.

2) Дано: $d = 20$, $n=6$, $S_6 = 60$.
Подставим значения в формулу: $S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6$
$60 = \frac{2a_1 + 20 \cdot 5}{2} \cdot 6$
$60 = (2a_1 + 100) \cdot 3$
Разделим обе части уравнения на 3: $20 = 2a_1 + 100$
Перенесем 100 в левую часть: $20 - 100 = 2a_1$
$-80 = 2a_1$
Разделим обе части на 2: $a_1 = -40$
Ответ: $-40$.

3) Дано: $d = 30$, $n=7$, $S_7 = 259$.
Подставим значения в формулу: $S_7 = \frac{2a_1 + d(7-1)}{2} \cdot 7$
$259 = \frac{2a_1 + 30 \cdot 6}{2} \cdot 7$
$259 = \frac{2a_1 + 180}{2} \cdot 7$
Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $259 = \frac{2(a_1 + 90)}{2} \cdot 7$
$259 = (a_1 + 90) \cdot 7$
Разделим обе части на 7: $37 = a_1 + 90$
Перенесем 90 в левую часть: $37 - 90 = a_1$
$a_1 = -53$
Ответ: $-53$.

4) Дано: $d = -40$, $n=9$, $S_9 = 1350$.
Подставим значения в формулу: $S_9 = \frac{2a_1 + d(9-1)}{2} \cdot 9$
$1350 = \frac{2a_1 + (-40) \cdot 8}{2} \cdot 9$
$1350 = \frac{2a_1 - 320}{2} \cdot 9$
Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $1350 = \frac{2(a_1 - 160)}{2} \cdot 9$
$1350 = (a_1 - 160) \cdot 9$
Разделим обе части на 9: $150 = a_1 - 160$
Перенесем -160 в левую часть: $150 + 160 = a_1$
$a_1 = 310$
Ответ: $310$.

13. Вычислите $q$ и $b_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = 0.7$; $b_2 = 1.4$; $n=5$;

2) $b_1 = 0.6$; $b_2 = 1.8$; $n=7$;

3) $b_1 = 0.2$; $b_2 = 1.4$; $n=4$;

4) $b_1 = 0.3$; $b_2 = -1.2$; $n=6$.

Для решения задачи используются основные формулы геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему, а $n$-ый член прогрессии вычисляется по формуле с использованием первого члена и знаменателя.

Формула для нахождения знаменателя $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1}$

Формула для нахождения $n$-го члена прогрессии $b_n$:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

1) Дано: $b_1 = 0,7$; $b_2 = 1,4$; $n=5$.

Сначала находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1,4}{0,7} = 2$

Затем вычисляем $n$-ый член прогрессии, в данном случае $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,7 \cdot 2^{5-1} = 0,7 \cdot 2^4 = 0,7 \cdot 16 = 11,2$

Ответ: $q = 2$; $b_5 = 11,2$.

2) Дано: $b_1 = 0,6$; $b_2 = 1,8$; $n = 7$.

Находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1,8}{0,6} = 3$

Вычисляем $n$-ый член прогрессии, то есть $b_7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,6 \cdot 3^{7-1} = 0,6 \cdot 3^6 = 0,6 \cdot 729 = 437,4$

Ответ: $q = 3$; $b_7 = 437,4$.

3) Дано: $b_1 = 0,2$; $b_2 = 1,4$; $n=4$.

Находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1,4}{0,2} = 7$

Вычисляем $n$-ый член прогрессии, то есть $b_4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,2 \cdot 7^{4-1} = 0,2 \cdot 7^3 = 0,2 \cdot 343 = 68,6$

Ответ: $q = 7$; $b_4 = 68,6$.

4) Дано: $b_1 = 0,3$; $b_2 = -1,2$; $n = 6$.

Находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1,2}{0,3} = -4$

Вычисляем $n$-ый член прогрессии, то есть $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,3 \cdot (-4)^{6-1} = 0,3 \cdot (-4)^5 = 0,3 \cdot (-1024) = -307,2$

Ответ: $q = -4$; $b_6 = -307,2$.