Страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.16. Известны два члена арифметической прогрессии $ (a_n) $ $a_6 = 3,6$ и $a_{12} = -7,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число положительных членов;

3) первый отрицательный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Нам известны два члена прогрессии:

$a_6 = 3,6$

$a_{12} = -7,8$

Используя формулу n-го члена, составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + (6-1)d = 3,6 \\ a_1 + (12-1)d = -7,8 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 3,6 \\ a_1 + 11d = -7,8 \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 11d) - (a_1 + 5d) = -7,8 - 3,6$

$6d = -11,4$

$d = \frac{-11,4}{6} = -1,9$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$. Подставим значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 5(-1,9) = 3,6$

$a_1 - 9,5 = 3,6$

$a_1 = 3,6 + 9,5$

$a_1 = 13,1$

Ответ: первый член $a_1 = 13,1$, разность $d = -1,9$.

2) число положительных членов;

Член арифметической прогрессии является положительным, если выполняется неравенство $a_n > 0$. Подставим в это неравенство формулу n-го члена с найденными значениями $a_1$ и $d$:

$13,1 + (n-1)(-1,9) > 0$

Решим это неравенство относительно $n$:

$13,1 - 1,9n + 1,9 > 0$

$15 - 1,9n > 0$

$15 > 1,9n$

$n < \frac{15}{1,9}$

$n < \frac{150}{19}$

$n < 7\frac{17}{19}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то все члены с номерами от 1 до 7 будут положительными. Максимальное целое значение $n$, удовлетворяющее неравенству, это 7.

Таким образом, в прогрессии 7 положительных членов.

Ответ: 7.

3) первый отрицательный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что $a_7$ — это последний положительный член прогрессии. Следовательно, член с номером $n=8$ будет первым отрицательным членом.

Найдем значение этого члена, используя формулу n-го члена:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = 13,1 + 7(-1,9)$

$a_8 = 13,1 - 13,3$

$a_8 = -0,2$

Первый отрицательный член прогрессии — это $a_8 = -0,2$.

Ответ: -0,2.

13.17. Известны два члена арифметической прогрессии ($a_n$) $a_9 = -2.2$.

и $a_{14} = -10.8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число положительных членов;

3) первый отрицательный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам даны два члена прогрессии: $a_9 = -2,2$ и $a_{14} = -10,8$. Подставим эти значения в формулу, чтобы составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a_9 = a_1 + (9-1)d \\ a_{14} = a_1 + (14-1)d \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 8d = -2,2 \\ a_1 + 13d = -10,8 \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 13d) - (a_1 + 8d) = -10,8 - (-2,2)$

$5d = -10,8 + 2,2$

$5d = -8,6$

$d = -8,6 / 5 = -1,72$

Теперь, зная разность $d$, подставим ее значение в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 8(-1,72) = -2,2$

$a_1 - 13,76 = -2,2$

$a_1 = -2,2 + 13,76$

$a_1 = 11,56$

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = 11,56$, разность $d = -1,72$.

2) число положительных членов;

Чтобы найти число положительных членов прогрессии, нужно решить неравенство $a_n > 0$. Используем формулу n-го члена с найденными значениями $a_1$ и $d$:

$a_n = 11,56 + (n-1)(-1,72) > 0$

$11,56 - 1,72(n-1) > 0$

$11,56 > 1,72(n-1)$

$n-1 < \frac{11,56}{1,72}$

$n-1 < 6,7209...$

$n < 7,7209...$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=7$. Следовательно, в прогрессии 7 положительных членов (с первого по седьмой включительно).

Ответ: 7.

3) первый отрицательный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что первые 7 членов прогрессии положительны ($n \le 7$). Значит, первый отрицательный член прогрессии будет иметь номер $n=8$. Найдем значение этого члена $a_8$:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = 11,56 + 7(-1,72)$

$a_8 = 11,56 - 12,04$

$a_8 = -0,48$

Это первый член прогрессии, который меньше нуля.

Ответ: -0,48.

13.18. Расположите между числами $a$ и $c$ три числа так, чтобы они образовали арифметическую прогрессию вместе с числами:

1) $a = 4; c = 16;$

2) $a = -2; c = 21;$

3) $a = 1,2; c = 4,8.$

Чтобы расположить три числа между $a$ и $c$ так, чтобы все пять чисел образовали арифметическую прогрессию, мы можем рассматривать $a$ как первый член прогрессии ($a_1$), а $c$ — как пятый ($a_5$). Пусть искомые числа это $a_2, a_3, a_4$, а разность прогрессии — $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=5$ получаем: $a_5 = a_1 + (5-1)d$, что соответствует $c = a + 4d$.
Отсюда можно выразить разность прогрессии: $d = \frac{c-a}{4}$.

После нахождения $d$ мы можем вычислить три искомых члена прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = a + d$
$a_3 = a_1 + 2d = a + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d = a + 3d$

1) Для $a = 4$ и $c = 16$:
Находим разность прогрессии $d$: $d = \frac{16 - 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Вычисляем искомые числа:
$a_2 = 4 + 3 = 7$
$a_3 = 4 + 2 \cdot 3 = 10$
$a_4 = 4 + 3 \cdot 3 = 13$
Искомые числа: 7, 10, 13. Полученная прогрессия: 4; 7; 10; 13; 16.
Ответ: 7; 10; 13.

2) Для $a = -2$ и $c = 21$:
Находим разность прогрессии $d$: $d = \frac{21 - (-2)}{4} = \frac{23}{4} = 5,75$.
Вычисляем искомые числа:
$a_2 = -2 + 5,75 = 3,75$
$a_3 = -2 + 2 \cdot 5,75 = -2 + 11,5 = 9,5$
$a_4 = -2 + 3 \cdot 5,75 = -2 + 17,25 = 15,25$
Искомые числа: 3,75; 9,5; 15,25. Полученная прогрессия: -2; 3,75; 9,5; 15,25; 21.
Ответ: 3,75; 9,5; 15,25.

3) Для $a = 1,2$ и $c = 4,8$:
Находим разность прогрессии $d$: $d = \frac{4,8 - 1,2}{4} = \frac{3,6}{4} = 0,9$.
Вычисляем искомые числа:
$a_2 = 1,2 + 0,9 = 2,1$
$a_3 = 1,2 + 2 \cdot 0,9 = 3,0$
$a_4 = 1,2 + 3 \cdot 0,9 = 3,9$
Искомые числа: 2,1; 3,0; 3,9. Полученная прогрессия: 1,2; 2,1; 3,0; 3,9; 4,8.
Ответ: 2,1; 3,0; 3,9.

13.19. При каких значениях переменной $x$ образуют арифметическую прогрессию три числа, записанные в указанном порядке:

1) $1$, $x$, $8-x$;

2) $3$, $x-1$, $13-4x$?

Для того чтобы три числа $a_1$, $a_2$ и $a_3$, записанные в указанном порядке, образовывали арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член последовательности, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

1) Для чисел $1$, $x$ и $8 - x$ имеем: $a_1 = 1$, $a_2 = x$ и $a_3 = 8 - x$.
Применим свойство арифметической прогрессии:
$2a_2 = a_1 + a_3$
$2 \cdot x = 1 + (8 - x)$
$2x = 9 - x$
$2x + x = 9$
$3x = 9$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
При $x=3$ получаем последовательность чисел: $1, 3, 5$. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 2$.
Ответ: $x=3$.

2) Для чисел $3$, $x - 1$ и $13 - 4x$ имеем: $a_1 = 3$, $a_2 = x - 1$ и $a_3 = 13 - 4x$.
Применим свойство арифметической прогрессии:
$2a_2 = a_1 + a_3$
$2(x - 1) = 3 + (13 - 4x)$
$2x - 2 = 16 - 4x$
$2x + 4x = 16 + 2$
$6x = 18$
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$
При $x=3$ получаем последовательность чисел: $3$, $(3 - 1)$, $(13 - 4 \cdot 3)$, то есть $3, 2, 1$. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -1$.
Ответ: $x=3$.

13.20. Задана арифметическая прогрессия ($a_n$). Известно, что

$a_8 = \frac{5}{12}$. Найдите значение суммы:

1) $a_7 + a_9$;

2) $a_6 + a_{10}$;

3) $a_5 + a_{11}$;

4) $a_3 + a_{13}$.

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство арифметической прогрессии ($a_n$). Оно заключается в том, что любой член прогрессии является средним арифметическим членов, равноудаленных от него. То есть, для любого целого $k > 0$ (при условии, что соответствующие члены существуют) справедливо равенство:

$a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$

Из этого следует, что сумма равноудаленных членов равна удвоенному среднему члену:

$a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$

В данной задаче нам известно значение $a_8 = \frac{5}{12}$. Во всех четырех пунктах требуется найти сумму двух членов, для которых $a_8$ является средним членом, так как среднее арифметическое их индексов равно 8.

1) $a_7 + a_9$

Члены $a_7$ и $a_9$ равноудалены от $a_8$, поскольку их индексы 7 и 9 симметричны относительно 8 ($8-1=7$ и $8+1=9$). Используя свойство для $n=8$ и $k=1$, получаем:

$a_7 + a_9 = a_{8-1} + a_{8+1} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8 = \frac{5}{12}$:

$a_7 + a_9 = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) $a_6 + a_{10}$

Члены $a_6$ и $a_{10}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-2=6$ и $8+2=10$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=2$:

$a_6 + a_{10} = a_{8-2} + a_{8+2} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_6 + a_{10} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) $a_5 + a_{11}$

Члены $a_5$ и $a_{11}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-3=5$ и $8+3=11$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=3$:

$a_5 + a_{11} = a_{8-3} + a_{8+3} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_5 + a_{11} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

4) $a_3 + a_{13}$

Члены $a_3$ и $a_{13}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-5=3$ и $8+5=13$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=5$:

$a_3 + a_{13} = a_{8-5} + a_{8+5} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_3 + a_{13} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

13.21. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что:

1) $a_1 + a_5 = 24$ и $a_1 \cdot a_3 = 60$;

2) $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$.

1)

Даны условия для арифметической прогрессии: $a_1 + a_5 = 24$ и $a_1 \cdot a_3 = 60$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим члены $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} a_1 + (a_1 + 4d) = 24 \\ a_1 \cdot (a_1 + 2d) = 60 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:

$2a_1 + 4d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 12 \\ a_1 \cdot (a_1 + 2d) = 60 \end{cases}$

Подставим выражение $(a_1 + 2d)$ из первого уравнения во второе:

$a_1 \cdot 12 = 60$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = \frac{60}{12} = 5$

Теперь, зная $a_1$, найдем разность $d$ из уравнения $a_1 + 2d = 12$:

$5 + 2d = 12$

$2d = 12 - 5$

$2d = 7$

$d = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: первый член $a_1 = 5$, разность $d = 3.5$.

2)

Даны условия для арифметической прогрессии: $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$.

Выразим члены $a_2$, $a_4$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16 \\ a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:

$2a_1 + 4d = 16$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 8$

Выразим $a_1$ из этого уравнения:

$a_1 = 8 - 2d$

Теперь подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение системы $a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$:

$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$

Упростим выражение в скобках:

$(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$8^2 - (2d)^2 = 28$

$64 - 4d^2 = 28$

$4d^2 = 64 - 28$

$4d^2 = 36$

$d^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для разности $d$:

$d_1 = 3$ или $d_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $a_1$ для каждого случая, используя формулу $a_1 = 8 - 2d$.

Случай 1: $d = 3$

$a_1 = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$

Таким образом, первое возможное решение: $a_1 = 2, d = 3$.

Случай 2: $d = -3$

$a_1 = 8 - 2(-3) = 8 + 6 = 14$

Таким образом, второе возможное решение: $a_1 = 14, d = -3$.

Ответ: существует два решения: первый член $a_1 = 2$ и разность $d = 3$, или первый член $a_1 = 14$ и разность $d = -3$.

13.22. Задана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой $a_1 = -3$ и $d = 7$. Является ли членом этой прогрессии число:
1) 247;
2) 346;
3) 2067? Если да, то укажите его номер.

Для того чтобы определить, является ли заданное число членом арифметической прогрессии $(a_n)$, нужно проверить, существует ли такой натуральный номер $n$ ($n \in \mathbb{N}$), для которого выполняется формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = -3$ и разность $d = 7$.

Для проверки мы можем выразить $n$ из формулы:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$\frac{a_n - a_1}{d} = n-1$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Если для заданного числа $a_n$ значение $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то это число является членом прогрессии с номером $n$. В противном случае — не является.

Подставим известные значения $a_1 = -3$ и $d = 7$ в эту формулу:

$n = \frac{a_n - (-3)}{7} + 1 = \frac{a_n + 3}{7} + 1$

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

1) 247

Подставим $a_n = 247$ в нашу формулу для $n$:

$n = \frac{247 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{250}{7} + 1$

Число 250 не делится на 7 без остатка ($250 = 7 \cdot 35 + 5$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 247 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

2) 346

Подставим $a_n = 346$ в формулу:

$n = \frac{346 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{349}{7} + 1$

Число 349 не делится на 7 без остатка ($349 = 7 \cdot 49 + 6$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 346 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

3) 2067

Подставим $a_n = 2067$ в формулу:

$n = \frac{2067 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{2070}{7} + 1$

Число 2070 не делится на 7 без остатка ($2070 = 7 \cdot 295 + 5$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 2067 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

13.23. Укажите номера членов арифметической прогрессии, являющихся двузначными числами:

1) 3; 8; ... ;

2) -12; -4; ... ;

3) 156; 135; ... ;

4) 251; 229; ... .

1) Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 3$, а второй $a_2 = 8$. Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим: $a_n = 3 + (n-1)5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$.
Двузначными являются числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти номера $n$ членов прогрессии, которые являются двузначными числами, решим двойное неравенство:
$10 \le a_n \le 99$
$10 \le 5n - 2 \le 99$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$12 \le 5n \le 101$
Разделим все части на 5:
$12/5 \le n \le 101/5$
$2.4 \le n \le 20.2$
Так как номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то подходящие значения $n$ начинаются с 3 и заканчиваются 20.
Ответ: с 3 по 20.

2) В этой прогрессии первый член $a_1 = -12$, а второй $a_2 = -4$. Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = -4 - (-12) = 8$.
Формула n-го члена: $a_n = -12 + (n-1)8 = -12 + 8n - 8 = 8n - 20$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным числом ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 8n - 20 \le 99$
Прибавим 20 ко всем частям неравенства:
$30 \le 8n \le 119$
Разделим все части на 8:
$30/8 \le n \le 119/8$
$3.75 \le n \le 14.875$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$ начинаются с 4 и заканчиваются 14.
Ответ: с 4 по 14.

3) Первый член данной прогрессии $a_1 = 156$, второй $a_2 = 135$. Разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 135 - 156 = -21$.
Формула n-го члена: $a_n = 156 + (n-1)(-21) = 156 - 21n + 21 = 177 - 21n$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 177 - 21n \le 99$
Вычтем 177 из всех частей неравенства:
$10 - 177 \le -21n \le 99 - 177$
$-167 \le -21n \le -78$
Разделим все части на -21, изменив знаки неравенства на противоположные:
$78/21 \le n \le 167/21$
$3.71... \le n \le 7.95...$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$: 4, 5, 6, 7.
Ответ: 4, 5, 6, 7.

4) Первый член этой прогрессии $a_1 = 251$, второй $a_2 = 229$. Разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 229 - 251 = -22$.
Формула n-го члена: $a_n = 251 + (n-1)(-22) = 251 - 22n + 22 = 273 - 22n$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 273 - 22n \le 99$
Вычтем 273 из всех частей неравенства:
$10 - 273 \le -22n \le 99 - 273$
$-263 \le -22n \le -174$
Разделим все части на -22, изменив знаки неравенства на противоположные:
$174/22 \le n \le 263/22$
$7.90... \le n \le 11.95...$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$: 8, 9, 10, 11.
Ответ: 8, 9, 10, 11.

1. События, которые в результате испытания могут наступить одновременно, называются:

A) достоверными;
B) невозможными;
C) случайными;
D) противоположными;
E) равновозможными.

1. Проанализируем предложенные термины из теории вероятностей, чтобы определить, какой из них описывает события, способные наступать одновременно в рамках одного испытания.

В теории вероятностей события, которые могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания, называются совместными. События, которые не могут произойти одновременно, называются несовместными. Поскольку термина "совместные" нет среди вариантов, рассмотрим предложенные определения:

А) Достоверные события: Это события, которые гарантированно произойдут в результате испытания. Два достоверных события действительно наступят одновременно, но этот термин не является общим, так как и не-достоверные (случайные) события могут наступать одновременно.

B) Невозможные события: Это события, которые не могут произойти ни при каких обстоятельствах. Следовательно, они не могут наступить одновременно.

C) Случайные события: Это события, которые могут произойти, а могут и не произойти в результате испытания. Совместные события (те, что могут наступить одновременно) являются видом случайных событий. Например, при броске игрального кубика события "выпадение четного числа" и "выпадение числа, большего 4" являются случайными и совместными (наступают одновременно при выпадении 6). Так как другие варианты не подходят, этот вариант является наиболее вероятным ответом, хотя и не абсолютно точным терминологически.

D) Противоположные события: Событие, противоположное событию $A$, обозначается $\overline{A}$ и означает, что событие $A$ не произошло. По определению, событие $A$ и его противоположность $\overline{A}$ являются несовместными, то есть не могут наступить одновременно.

E) Равновозможные события: Это события, имеющие равные вероятности наступления. Это свойство не определяет, могут ли они произойти вместе. Например, при броске монеты "орел" и "решка" равновозможны, но несовместны. А при броске кубика события "выпало четное число" и "выпало число меньше 4" не являются равновозможными, но могут быть совместными (при выпадении 2).

Таким образом, единственная категория, к которой можно отнести события, способные происходить одновременно (если они не являются достоверными), — это случайные события. Другие варианты либо описывают события, которые не могут происходить одновременно (невозможные, противоположные), либо описывают другое свойство (равновозможные).

Ответ: C) случайными;

2. В корзине лежат 9 красных, 5 синих и 6 желтых шариков. Из корзины вынимается один шарик. Вероятность того, что шарик окажется синим, равна:

A) $\frac{2}{5}$;

B) $0,25$;

C) $\frac{5}{16}$;

D) $\frac{3}{8}$;

E) $0,4$.

Для определения вероятности того, что из корзины будет вынут синий шарик, воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

1. Сначала найдем общее число шариков в корзине. Это будет общее число возможных исходов ($n$).
В корзине находятся 9 красных, 5 синих и 6 желтых шариков.
Сложим их количество:
$n = 9 + 5 + 6 = 20$
Таким образом, в корзине всего 20 шариков.

2. Теперь определим число благоприятствующих исходов ($m$). Благоприятствующий исход — это вынимание синего шарика.
Согласно условию, в корзине 5 синих шариков, следовательно:
$m = 5$

3. Рассчитаем вероятность $P$ того, что вынутый шарик окажется синим, по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{5}{20}$

4. Упростим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$P = \frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4}$
Для сравнения с вариантами ответов, переведем дробь в десятичный вид:
$P = \frac{1}{4} = 0,25$

Полученное значение 0,25 соответствует варианту B).

Ответ: B) 0,25.

3. Натуральные числа от 1 до 32 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. Из урны извлекается одна карточка. Найдите вероятность того, что число на этой карточке кратно числу 4:

A) $\frac{8}{25}$;B) $0,5$;C) $\frac{7}{32}$;D) $0,25$;E) $0,3$.

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.
Формула для расчета вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где:
$n$ — общее число всех равновозможных исходов;
$m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов $n$.
В урне находятся карточки с натуральными числами от 1 до 32. Таким образом, всего в урне 32 карточки. Извлечение любой из этих карточек является равновозможным исходом. Следовательно, общее число исходов $n = 32$.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$.
Благоприятным исходом является извлечение карточки с числом, которое кратно 4. Найдем все такие числа в диапазоне от 1 до 32.
Кратными 4 являются числа: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.
Подсчитаем их количество: всего 8 таких чисел. Значит, число благоприятных исходов $m = 8$.

3. Вычислим вероятность.
Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{8}{32}$
Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$P(A) = \frac{8 \div 8}{32 \div 8} = \frac{1}{4}$
Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами, переведем дробь в десятичный формат:
$\frac{1}{4} = 0,25$

Полученное значение 0,25 соответствует варианту D.

Ответ: 0,25.

4. Найдите вероятность того, что в выбранном наудачу двузначном числе все цифры разные:

A) $0,5$;

B) $\frac{8}{9}$;

C) $0,6$;

D) $0,75$;

E) $0,85$.

Для решения задачи используется классическая формула вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Нахождение общего числа исходов (N)

Общее число исходов — это количество всех двузначных чисел. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99. Их общее количество можно вычислить как $99 - 10 + 1 = 90$.
Итак, $N = 90$.

2. Нахождение числа благоприятных исходов (M)

Благоприятный исход — это двузначное число, у которого все цифры разные.
Первая цифра (разряд десятков) может быть любой от 1 до 9 (всего 9 вариантов). Она не может быть нулем, иначе число не будет двузначным.
Вторая цифра (разряд единиц) может быть любой от 0 до 9, но она не должна быть равна первой цифре. Таким образом, для каждого из 9 вариантов первой цифры существует $10 - 1 = 9$ вариантов для второй цифры.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число чисел с разными цифрами составляет:
$M = 9 \times 9 = 81$.

3. Вычисление вероятности (P)

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность:
$P = \frac{M}{N} = \frac{81}{90}$.
Сократим дробь на 9:
$P = \frac{9}{10} = 0,9$.

Полученный результат $0,9$ не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа (A: 0,5; B: $\frac{8}{9} \approx 0,889$; C: 0,6; D: 0,75; E: 0,85). Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответа допущена опечатка. Правильный ответ, основанный на математических вычислениях, — $0,9$.

Ответ: $0,9$.

7. В мешочке находится 10 альчиков красного цвета, 10 — синего, 6 — желтого и 6 белого цвета. Найдите вероятность того, что наудачу вынутый альчик будет красным или белым:

A) 0,2;

B) 0,3;

C) 0,4;

D) 0,5;

E) 0,35.

Для нахождения вероятности события необходимо определить общее число возможных исходов и число благоприятствующих этому событию исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов ($N$). Это общее количество альчиков в мешочке:
$N = 10 \text{ (красных)} + 10 \text{ (синих)} + 6 \text{ (желтых)} + 6 \text{ (белых)} = 32$
Таким образом, всего в мешочке 32 альчика.

2. Найдем число исходов, благоприятствующих событию "вынутый альчик будет красным или белым" ($m$). Это сумма количества красных и белых альчиков:
$m = 10 \text{ (красных)} + 6 \text{ (белых)} = 16$
Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 16.

3. Рассчитаем вероятность $P$ по классической формуле вероятности, которая представляет собой отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{16}{32}$

4. Упростим полученное значение:
$P = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0,5$

Следовательно, вероятность того, что наудачу вынутый альчик будет красным или белым, составляет 0,5. Это соответствует варианту D).

Ответ: D) 0,5.

6. В магазине имеются 40 смартфонов, причем 20 из них импортного производства. Найдите вероятность того, что среди 6 проданных в течение дня смартфонов окажется 3 импортных, предполагая, что вероятности покупки смартфонов разных марок одинаковы:

A) $\frac{C_{20}^{3}}{C_{40}^{3}}$;

B) $\frac{2C_{20}^{3}}{C_{40}^{6}}$;

C) $\frac{C_{20}^{3}}{C_{40}^{6}}$;

D) $\frac{C_{20}^{2} \cdot C_{20}^{3}}{C_{40}^{6}}$;

E) $\frac{C_{20}^{2} + C_{20}^{3}}{C_{40}^{6}}$.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $n$.
Общее число исходов — это количество способов выбрать 6 любых смартфонов из 40 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае $n=40$ (всего смартфонов), а $k=6$ (количество проданных смартфонов).
Таким образом, общее число способов выбрать 6 смартфонов из 40 равно:
$n = C_{40}^6$

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$.
Благоприятствующий исход — это ситуация, когда среди 6 проданных смартфонов оказалось ровно 3 импортных. Это означает, что остальные $6 - 3 = 3$ смартфона должны быть неимпортными.
В магазине имеется 20 импортных смартфонов и, следовательно, $40 - 20 = 20$ неимпортных смартфонов.
Число способов выбрать 3 импортных смартфона из 20 имеющихся импортных равно $C_{20}^3$.
Число способов выбрать 3 неимпортных смартфона из 20 неимпортных равно $C_{20}^3$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятствующих исходов $m$ равно произведению этих двух величин:
$m = C_{20}^3 \cdot C_{20}^3$

3. Найдем искомую вероятность.
Теперь мы можем рассчитать вероятность, подставив найденные значения $m$ и $n$ в формулу классической вероятности:
$P = \frac{m}{n} = \frac{C_{20}^3 \cdot C_{20}^3}{C_{40}^6}$

Сравнив полученную формулу с предложенными вариантами ответа, мы видим, что ни один из них в точности не совпадает. Вариант D), записанный как $\frac{C_{20}^{2} \cdot C_{20}^{3}}{C_{40}^{6}}$, наиболее близок по структуре. Вероятнее всего, в варианте D допущена опечатка, и вместо $C_{20}^2$ должно быть $C_{20}^3$, так как для выполнения условия задачи необходимо выбрать именно 3 импортных смартфона, а не 2.

Ответ: Правильная формула для нахождения вероятности: $\frac{C_{20}^3 \cdot C_{20}^3}{C_{40}^6}$. Ни один из предложенных вариантов ответа не является верным в представленном виде.

7. Выбирается натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$:

A) 0,25;

B) 0,5;

C) 0,4;

D) 0,2;

E) 0,1.

Дано

Множество натуральных чисел для выбора: от 1 до 20.
Уравнение: $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$.

Найти:

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное натуральное число от 1 до 20 является корнем данного уравнения.

Решение

Вероятность события находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $N$.
По условию, выбирается натуральное число от 1 до 20. Общее количество таких чисел равно 20. Следовательно, $N = 20$.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$.
Благоприятный исход — это выбор числа, которое является корнем уравнения $(x^2 - 10x + 24) \cdot (x^2 - 8x + 15) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, нам необходимо решить два квадратных уравнения:

а) $x^2 - 10x + 24 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 24. Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Оба корня являются натуральными числами и входят в диапазон от 1 до 20.

б) $x^2 - 8x + 15 = 0$
Решим второе уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Методом подбора находим корни: $x_3 = 3$ и $x_4 = 5$. Оба корня также являются натуральными числами и входят в диапазон от 1 до 20.

Таким образом, все корни исходного уравнения — это числа $\{3, 4, 5, 6\}$. Все они различны и принадлежат множеству натуральных чисел от 1 до 20. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству этих корней, то есть $m = 4$.

3. Вычислим искомую вероятность $P$.
$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: 0,2.

8. Точка отмечается внутри квадрата со стороной 20 см. Найдите вероятность того, что она не выбрана из круга, вписанного в этот квадрат:

A) 0,25;

B) $1 - \frac{\pi}{4}$;

C) 0,4;

D) $\frac{\pi}{4}$;

E) 0,6.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующего исходу множества к мере всего множества возможных исходов.

1. Определим общую площадь, в которой может находиться точка. Это площадь квадрата.Сторона квадрата задана и равна $a = 20$ см.Площадь квадрата ($S_{квадрата}$) вычисляется по формуле:$S_{квадрата} = a^2 = 20^2 = 400$ см².

2. Найдем площадь круга, вписанного в этот квадрат.Если круг вписан в квадрат, его диаметр ($d$) равен стороне квадрата.$d = a = 20$ см.Следовательно, радиус круга ($r$) равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².

3. Найдем вероятность того, что точка не выбрана из круга.Это означает, что точка находится в области, которая принадлежит квадрату, но не принадлежит кругу. Площадь этой области ($S_{благоприятная}$) равна разности площадей квадрата и круга:$S_{благоприятная} = S_{квадрата} - S_{круга} = 400 - 100\pi$ см².

4. Вычислим искомую вероятность ($P$) как отношение благоприятной площади к общей площади:$P = \frac{S_{благоприятная}}{S_{квадрата}} = \frac{400 - 100\pi}{400}$

Упростим полученное выражение, разделив числитель на знаменатель:$P = \frac{400}{400} - \frac{100\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{4}$

Этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B) $1 - \frac{\pi}{4}$