Номер 16.33, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.33. Найдите значения параметра p, при которых при любых значениях переменной x верно неравенство:

1) $2x^2 - 4x + p > 0;$

2) $px^2 + 5x - 4 < 0.$

1)

Чтобы неравенство $2x^2 - 4x + p > 0$ было верным при любых значениях переменной $x$, необходимо, чтобы график квадратичной функции $y = 2x^2 - 4x + p$ полностью располагался выше оси абсцисс.

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, то есть $a=2 > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями, направленными вверх, будет полностью находиться выше оси $x$, если у соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 4x + p = 0$ нет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант данного квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p = 16 - 8p$.

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $p$:
$16 - 8p < 0$
$16 < 8p$
$p > \frac{16}{8}$
$p > 2$.

Ответ: $p > 2$.

2)

Чтобы неравенство $px^2 + 5x - 4 < 0$ было верным при любых значениях переменной $x$, рассмотрим функцию $y = px^2 + 5x - 4$ и проанализируем ее в зависимости от параметра $p$.

Случай 1: $p = 0$.
При $p = 0$ неравенство становится линейным: $5x - 4 < 0$. Решением этого неравенства является $x < \frac{4}{5}$. Так как это неравенство выполняется не для всех значений $x$, то $p = 0$ не является решением задачи.

Случай 2: $p > 0$.
При $p > 0$ графиком функции $y = px^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Такая парабола всегда принимает положительные значения при достаточно больших по модулю $x$, поэтому она не может быть отрицательной для всех $x$. Следовательно, значения $p > 0$ не являются решением.

Случай 3: $p < 0$.
При $p < 0$ графиком функции $y = px^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы эта парабола полностью находилась ниже оси абсцисс (и, соответственно, функция была отрицательной для всех $x$), необходимо, чтобы она не имела точек пересечения с осью $x$. Это означает, что квадратное уравнение $px^2 + 5x - 4 = 0$ не должно иметь действительных корней. Условием этого является отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot p \cdot (-4) = 25 + 16p$.

Решим неравенство $D < 0$:
$25 + 16p < 0$
$16p < -25$
$p < -\frac{25}{16}$.

Мы рассматриваем случай, когда $p < 0$. Полученное условие $p < -\frac{25}{16}$ удовлетворяет этому требованию, так как $-\frac{25}{16}$ меньше нуля. Таким образом, это и есть искомые значения параметра.

Ответ: $p < -\frac{25}{16}$.