Номер 16.31, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.31. Решите уравнение $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{109} = 0$.

Данное уравнение представляет собой сумму 110 членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = x$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В нашем случае количество членов $n = 109 + 1 = 110$. Применим формулу суммы, чтобы преобразовать левую часть уравнения. Это возможно, если знаменатель прогрессии $x \neq 1$. Проверим, является ли $x=1$ корнем исходного уравнения. Подставив $x=1$, получим: $1 + 1 + 1^2 + \dots + 1^{109} = 110 \neq 0$. Следовательно, $x=1$ не является решением, и мы можем использовать формулу суммы.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1 \cdot (x^{110} - 1)}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x - 1 \neq 0$ мы уже учли. Таким образом, задача сводится к решению уравнения:

$x^{110} - 1 = 0$

$x^{110} = 1$

Решениями этого уравнения в поле комплексных чисел являются корни 110-й степени из единицы. Они находятся по формуле Муавра:

$x_k = e^{i \frac{2\pi k}{110}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{110}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{110}\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, 109$.

Упростим выражение в аргументе: $\frac{2\pi k}{110} = \frac{\pi k}{55}$.

Так как $x=1$ не является решением исходного уравнения, мы должны исключить корень, соответствующий $k=0$:

$x_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все корни 110-й степени из единицы, кроме 1. Это соответствует значениям $k$ от 1 до 109.

Ответ: Решениями уравнения являются комплексные числа $x_k = e^{i \frac{\pi k}{55}} = \cos\left(\frac{\pi k}{55}\right) + i \sin\left(\frac{\pi k}{55}\right)$ для всех целых $k$ от $1$ до $109$.