Номер 19.11, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.11. В какой четверти находится угол поворота $a$, если:

1) $a = 3,7\pi;$

2) $a = 4,2\pi;$

3) $a = -3,2\pi;$

4) $a = -9,8\pi;$

5) $a = -\frac{14}{5}\pi;$

6) $a = -\frac{25}{7}\pi?$

Для определения четверти, в которой находится угол поворота, мы приведем каждый угол к эквивалентному углу в диапазоне от $0$ до $2\pi$ (один полный оборот), прибавляя или вычитая целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число). После этого мы сравним полученный угол с границами координатных четвертей, как показано на единичной окружности.

Границы четвертей:
I четверть: $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$ (от $0$ до $0,5\pi$)
II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$ (от $0,5\pi$ до $\pi$)
III четверть: $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$ (от $\pi$ до $1,5\pi$)
IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$ (от $1,5\pi$ до $2\pi$)

1) a = 3,7π;

Чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, вычтем из $3,7\pi$ один полный оборот ($2\pi$):
$\alpha' = 3,7\pi - 2\pi = 1,7\pi$.
Сравним полученный угол с границами четвертей. Мы знаем, что $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $1,5\pi < 1,7\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$, угол находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

2) a = 4,2π;

Вычтем два полных оборота ($2 \cdot 2\pi = 4\pi$):
$\alpha' = 4,2\pi - 4\pi = 0,2\pi$.
Сравним полученный угол с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$.
Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

3) a = -3,2π;

Угол отрицательный, поэтому для приведения к стандартному диапазону $[0, 2\pi)$ прибавим кратное $2\pi$. Ближайшее подходящее кратное — $4\pi$.
$\alpha' = -3,2\pi + 4\pi = 0,8\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$ и $\pi = 1\pi$.
Поскольку $0,5\pi < 0,8\pi < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$, угол находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

4) a = -9,8π;

Угол отрицательный. Прибавим кратное $2\pi$. Ближайшее подходящее кратное, большее $9,8\pi$, — это $10\pi$ ($5 \cdot 2\pi$).
$\alpha' = -9,8\pi + 10\pi = 0,2\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$.
Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

5) a = $-\frac{14}{5}\pi$;

Представим угол в виде десятичной дроби: $a = -2,8\pi$. Угол отрицательный, прибавим $4\pi$.
$\alpha' = -\frac{14}{5}\pi + 4\pi = -\frac{14}{5}\pi + \frac{20}{5}\pi = \frac{6}{5}\pi = 1,2\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\pi = 1\pi$ и $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $\pi < 1,2\pi < 1,5\pi$, то есть $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
Ответ: III четверть.

6) a = $-\frac{25}{7}\pi$?

Представим коэффициент при $\pi$ в виде смешанной дроби: $a = -3\frac{4}{7}\pi$. Угол отрицательный, прибавим $4\pi$.
$\alpha' = -\frac{25}{7}\pi + 4\pi = -\frac{25}{7}\pi + \frac{28}{7}\pi = \frac{3}{7}\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi = \frac{3,5}{7}\pi$.
Поскольку $0 < \frac{3}{7}\pi < \frac{3,5}{7}\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.