Номер 19.18, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.18. Постройте на единичной окружности точку:

1) $P_{\frac{\pi}{6}}$;

2) $P_{\frac{5\pi}{6}}$;

3) $P_{\frac{7\pi}{6}};

4) $P_{\frac{4\pi}{3}};

5) $P_{\frac{5\pi}{3}};

6) $P_{\frac{5\pi}{4}}$.

Для построения точек вида $P_t$ на единичной окружности мы начинаем с точки $P_0(1, 0)$ на пересечении окружности с положительной частью оси Ox. Затем мы движемся по окружности против часовой стрелки (для $t > 0$) на расстояние, равное $t$. Это расстояние равно углу в радианах, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox. Полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан или $360^\circ$.

1) $P_{\frac{\pi}{6}}$

Чтобы построить точку $P_{\frac{\pi}{6}}$, необходимо от начальной точки $P_0(1, 0)$ отложить дугу, длина которой равна $\frac{\pi}{6}$, двигаясь против часовой стрелки. Угол, соответствующий этой дуге, равен $\frac{\pi}{6}$ радиан, что составляет $30^\circ$. Точка $P_{\frac{\pi}{6}}$ будет расположена в первой координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{\pi}{6}}$ построена в первой четверти, образуя угол $30^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

2) $P_{\frac{5\pi}{6}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{6}}$ откладываем от точки $P_0(1, 0)$ дугу длиной $\frac{5\pi}{6}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{6}$ радиан ($150^\circ$) можно представить как $\pi - \frac{\pi}{6}$. Это означает, что точка $P_{\frac{5\pi}{6}}$ симметрична точке $P_{\frac{\pi}{6}}$ относительно оси Oy. Точка расположена во второй координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{6}}$ построена во второй четверти, образуя угол $150^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

3) $P_{\frac{7\pi}{6}}$

Для построения точки $P_{\frac{7\pi}{6}}$ откладываем дугу длиной $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{7\pi}{6}$ радиан ($210^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Это означает, что точка $P_{\frac{7\pi}{6}}$ симметрична точке $P_{\frac{\pi}{6}}$ относительно начала координат. Точка расположена в третьей координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{7\pi}{6}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $210^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

4) $P_{\frac{4\pi}{3}}$

Для построения точки $P_{\frac{4\pi}{3}}$ откладываем дугу длиной $\frac{4\pi}{3}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{4\pi}{3}$ радиан ($240^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{3}$. Точка расположена в третьей координатной четверти. Угол, который образует радиус-вектор точки с отрицательной частью оси Ox, равен $\frac{\pi}{3}$ или $60^\circ$.

Ответ: Точка $P_{\frac{4\pi}{3}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $240^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

5) $P_{\frac{5\pi}{3}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{3}}$ откладываем дугу длиной $\frac{5\pi}{3}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{3}$ радиан ($300^\circ$) можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Это означает, что для построения точки можно отложить от начальной точки $P_0$ угол $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$) по часовой стрелке. Точка расположена в четвертой координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{3}}$ построена в четвертой четверти, образуя угол $300^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

6) $P_{\frac{5\pi}{4}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{4}}$ откладываем дугу длиной $\frac{5\pi}{4}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{4}$ радиан ($225^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Точка расположена в третьей координатной четверти и лежит на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{4}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $225^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

Итоговое построение всех точек на единичной окружности: