Номер 19.21, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.21. Постройте график функции:

1)

$y = (x - 3)^2 - 2;$

2)

$y = (x + 1)^2 - 3;$

3)

$y = 3 - (x - 2)^2;$

4)

$y = 4 - (x + 2)^2.$

1) $y = (x - 3)^2 - 2$

График функции $y = (x - 3)^2 - 2$ — это парабола. Данная парабола получается из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью двух преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
Вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Поскольку коэффициент при квадрате равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.
Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- Вершина: при $x=3$, $y = (3 - 3)^2 - 2 = -2$. Точка $(3, -2)$.
- При $x=2$, $y = (2 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.
- При $x=4$, $y = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(4, -1)$.
- При $x=1$, $y = (1 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x=5$, $y = (5 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(5, 2)$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = (0-3)^2-2 = 9-2=7$. Точка $(0, 7)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, -2)$, ветви которой направлены вверх.

2) $y = (x + 1)^2 - 3$

График функции $y = (x + 1)^2 - 3$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=-1$, $y = (-1 + 1)^2 - 3 = -3$. Точка $(-1, -3)$.
- При $x=0$, $y = (0 + 1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- При $x=-2$, $y = (-2 + 1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
- При $x=1$, $y = (1 + 1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x=-3$, $y = (-3 + 1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-3, 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -3)$, ветви которой направлены вверх.

3) $y = 3 - (x - 2)^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -(x - 2)^2 + 3$. Это парабола, которая получена из графика $y = -x^2$ (ветви вниз) сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент перед скобкой отрицательный ($a=-1<0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=2$, $y = 3 - (2 - 2)^2 = 3$. Точка $(2, 3)$.
- При $x=1$, $y = 3 - (1 - 2)^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x=3$, $y = 3 - (3 - 2)^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
- При $x=0$, $y = 3 - (0 - 2)^2 = 3 - 4 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- При $x=4$, $y = 3 - (4 - 2)^2 = 3 - 4 = -1$. Точка $(4, -1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 3)$, ветви которой направлены вниз.

4) $y = 4 - (x + 2)^2$

Функция $y = -(x + 2)^2 + 4$ задает параболу. Она получена из графика $y = -x^2$ (ветви вниз) сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=-2$, $y = 4 - (-2 + 2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
- При $x=-1$, $y = 4 - (-1 + 2)^2 = 4 - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
- При $x=-3$, $y = 4 - (-3 + 2)^2 = 4 - 1 = 3$. Точка $(-3, 3)$.
- При $x=0$, $y = 4 - (0 + 2)^2 = 4 - 4 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $x=-4$, $y = 4 - (-4 + 2)^2 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветви которой направлены вниз.