Вопросы, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие функции называются тригонометрическими функциями?

2. Что такое числовая окружность?

3. Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла?

1. Какие функции называются тригонометрическими функциями?

Тригонометрическими функциями называют элементарные функции, которые устанавливают зависимость между величиной угла и отношениями длин сторон прямоугольного треугольника. Изначально они были определены для острых углов, но их определения были расширены на произвольные углы с помощью числовой окружности. Основными тригонометрическими функциями являются синус ($y = \sin x$), косинус ($y = \cos x$), тангенс ($y = \tan x$ или $y = \text{tg } x$) и котангенс ($y = \cot x$ или $y = \text{ctg } x$). К ним также относят секанс ($y = \sec x$) и косеканс ($y = \csc x$). Эти функции являются периодическими и находят широкое применение в математике, физике, инженерии и других науках для описания колебательных и волновых процессов.

Ответ: Тригонометрическими функциями называют функции угла, такие как синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, которые связывают углы треугольника с длинами его сторон, а в общем случае — это функции, определённые через координаты точки на единичной окружности.

2. Что такое числовая окружность?

Числовая окружность (также известная как единичная или тригонометрическая окружность) — это окружность в декартовой системе координат с центром в начале координат (0, 0) и радиусом, равным единице. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Каждому действительному числу $t$ ставится в соответствие точка $P(t)$ на этой окружности. Для этого от начальной точки $A(1, 0)$ откладывается дуга длиной $|t|$. Если $t > 0$, движение происходит против часовой стрелки, а если $t < 0$ — по часовой стрелке. Таким образом, числовая окружность позволяет установить соответствие между действительными числами (которые можно интерпретировать как углы в радианах) и точками на окружности. Длина всей окружности равна $2\pi$, поэтому точкам $t$ и $t + 2\pi k$ (где $k$ — целое число) соответствует одна и та же точка на окружности. Это является основой для определения тригонометрических функций для любого угла.

Ответ: Числовая окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат, используемая для сопоставления каждому действительному числу $t$ точки на окружности, что позволяет определить тригонометрические функции для произвольного угла.

3. Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла?

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла $\alpha$ даются с помощью числовой окружности. Пусть при повороте начальной точки $A(1, 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем точку $P$ с координатами $(x, y)$. Тогда синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P$, то есть $\sin \alpha = y$. Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$, то есть $\cos \alpha = x$. Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определён, когда $\cos \alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение косинуса этого угла к его синусу: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определён, когда $\sin \alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Эти определения позволяют находить значения тригонометрических функций для углов любой величины.

Ответ: Синус и косинус произвольного угла $\alpha$ — это соответственно ордината ($y$) и абсцисса ($x$) точки на числовой окружности, соответствующей этому углу. Тангенс — это отношение $\frac{y}{x}$, а котангенс — отношение $\frac{x}{y}$.