Номер 20.6, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.6. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых:

1) $\sin \alpha = 0$;

2) $\sin \alpha = 0.5$;

3) $\cos \alpha = -1$;

4) $\cos \alpha = 1$;

5) $\cos \alpha = 0$;

6) $\sin \alpha = -1$.

1) Чтобы найти значения $a$, при которых $\sin a = 0$, нужно вспомнить, что синус угла равен нулю, когда угол является целым кратным $\pi$. Общая формула для решений: $a = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $k=0$ получаем $a=0$; при $k=1$ получаем $a=\pi$; при $k=-1$ получаем $a=-\pi$; при $k=2$ получаем $a=2\pi$.
Ответ: $0; \pi; -\pi; 2\pi$.

2) Для уравнения $\sin a = 0,5$ (или $\sin a = \frac{1}{2}$), решениями являются углы, синус которых равен $\frac{1}{2}$. На единичной окружности это углы $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде двух серий: $a = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $a = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько значений: $\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$), $\frac{5\pi}{6}$ (при $k=0$), $\frac{13\pi}{6}$ (при $k=1$ в первой серии).
Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}$.

3) Уравнение $\cos a = -1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой левой точке на единичной окружности. Это происходит при угле $\pi$ радиан и повторяется через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула для решений: $a = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $\pi$ (при $k=0$), $3\pi$ (при $k=1$), $-\pi$ (при $k=-1$).
Ответ: $\pi; 3\pi; -\pi$.

4) Уравнение $\cos a = 1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой правой точке на единичной окружности. Это происходит при угле $0$ радиан и повторяется через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула: $a = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $0$ (при $k=0$), $2\pi$ (при $k=1$), $-2\pi$ (при $k=-1$).
Ответ: $0; 2\pi; -2\pi$.

5) Уравнение $\cos a = 0$ выполняется, когда угол $a$ соответствует верхней или нижней точке на единичной окружности. Это углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$. Эти решения повторяются через каждые пол-оборота ($\pi$). Общая формула: $a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько значений: $\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $\frac{3\pi}{2}$ (при $k=1$), $-\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$).
Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}$.

6) Уравнение $\sin a = -1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой нижней точке на единичной окружности. Это происходит при угле $\frac{3\pi}{2}$ (или, что эквивалентно, $-\frac{\pi}{2}$). Решения повторяются через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула: $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $-\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $\frac{3\pi}{2}$ (при $k=1$), $-\frac{5\pi}{2}$ (при $k=-1$).
Ответ: $-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}$.