Номер 20.8, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.8. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 3\operatorname{tg}45^\circ - \sin120^\circ;$

2) $\sin 270^\circ + 3\operatorname{tg}180^\circ;$

3) $\cos90^\circ - 3\sin360^\circ + 2\operatorname{tg}180^\circ.$

1) Рассмотрим выражение $2\cos{0^\circ} + 3\text{tg}45^\circ - \sin{120^\circ}$.

Для его решения найдем значения каждой тригонометрической функции по отдельности:

• Значение $\cos{0^\circ}$: это табличное значение, $\cos{0^\circ} = 1$.

• Значение $\text{tg}45^\circ$: это также табличное значение, $\text{tg}45^\circ = 1$.

• Значение $\sin{120^\circ}$: угол $120^\circ$ находится во второй координатной четверти. Для нахождения синуса используем формулу приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 60^\circ$. Синус во второй четверти положителен, поэтому $\sin{120^\circ} = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполняем вычисления:

$2 + 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $5 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Рассмотрим выражение $\sin{270^\circ} + 3\text{tg}180^\circ$.

Найдем значения тригонометрических функций для граничных углов:

• Значение $\sin{270^\circ}$: угол $270^\circ$ соответствует точке $(0, -1)$ на единичной окружности. Синус угла — это ордината (y-координата) этой точки, следовательно, $\sin{270^\circ} = -1$.

• Значение $\text{tg}180^\circ$: угол $180^\circ$ соответствует точке $(-1, 0)$ на единичной окружности. Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе: $\text{tg}180^\circ = \frac{\sin{180^\circ}}{\cos{180^\circ}} = \frac{0}{-1} = 0$.

Подставим значения в выражение:

$-1 + 3 \cdot 0$

Выполняем вычисления:

$-1 + 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Рассмотрим выражение $\cos{90^\circ} - 3\sin{360^\circ} + 2\text{tg}180^\circ$.

Найдем значения каждой тригонометрической функции:

• Значение $\cos{90^\circ}$: угол $90^\circ$ соответствует точке $(0, 1)$ на единичной окружности. Косинус угла — это абсцисса (x-координата) этой точки, поэтому $\cos{90^\circ} = 0$.

• Значение $\sin{360^\circ}$: угол $360^\circ$ является полным оборотом и соответствует той же точке, что и угол $0^\circ$, то есть $(1, 0)$. Синус этого угла равен $0$.

• Значение $\text{tg}180^\circ$: как мы уже определили в предыдущем пункте, $\text{tg}180^\circ = 0$.

Подставим все значения в исходное выражение:

$0 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0$

Выполняем вычисления:

$0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.