Номер 20.5, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.5. Чему равно значение выражения:

1) $\text{tg}\frac{\pi}{3} + 2\text{ctg}\frac{\pi}{6}$;

2) $\text{tg}\frac{\pi}{4} - 3\text{ctg}\frac{5\pi}{6}$;

3) $3\text{cos}\frac{\pi}{3} + 2\text{sin}\frac{\pi}{4}$;

4) $-\text{sin}\frac{\pi}{2} + 2\text{ctg}\frac{3\pi}{4}$?

1) Для вычисления значения выражения $ \tg\frac{\pi}{3} + 2\ctg\frac{\pi}{6} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение тангенса угла $ \frac{\pi}{3} $ (60°) равно $ \sqrt{3} $: $ \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.
Значение котангенса угла $ \frac{\pi}{6} $ (30°) также равно $ \sqrt{3} $: $ \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \tg\frac{\pi}{3} + 2\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $.
Ответ: $ 3\sqrt{3} $

2) Для вычисления значения выражения $ \tg\frac{\pi}{4} - 3\ctg\frac{5\pi}{6} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение тангенса угла $ \frac{\pi}{4} $ (45°) равно 1: $ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $.
Для нахождения котангенса угла $ \frac{5\pi}{6} $ (150°) воспользуемся формулой приведения: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
$ \ctg\frac{5\pi}{6} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\ctg\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \tg\frac{\pi}{4} - 3\ctg\frac{5\pi}{6} = 1 - 3 \cdot (-\sqrt{3}) = 1 + 3\sqrt{3} $.
Ответ: $ 1 + 3\sqrt{3} $

3) Для вычисления значения выражения $ 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{4} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{3} $ (60°) равно $ \frac{1}{2} $: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.
Значение синуса угла $ \frac{\pi}{4} $ (45°) равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{4} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} + \sqrt{2} $

4) Для вычисления значения выражения $ -\sin\frac{\pi}{2} + 2\ctg\frac{3\pi}{4} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение синуса угла $ \frac{\pi}{2} $ (90°) равно 1: $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.
Для нахождения котангенса угла $ \frac{3\pi}{4} $ (135°) воспользуемся формулой приведения: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
$ \ctg\frac{3\pi}{4} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg\frac{\pi}{4} = -1 $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ -\sin\frac{\pi}{2} + 2\ctg\frac{3\pi}{4} = -1 + 2 \cdot (-1) = -1 - 2 = -3 $.
Ответ: $ -3 $