Номер 20.4, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.4. Найдите значение выражения:

1) $2\sin30^\circ + 2\cos45^\circ$;

2) $3\sin60^\circ - 2\cos60^\circ$;

3) $\sin30^\circ - 3\operatorname{tg}45^\circ$;

4) $\sin45^\circ + 2\operatorname{ctg}60^\circ$.

1) Чтобы найти значение выражения $2\sin30^\circ + 2\cos45^\circ$, нужно подставить табличные значения тригонометрических функций для заданных углов.

Мы знаем, что $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$2 \cdot \sin30^\circ + 2 \cdot \cos45^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполняем вычисления:

$1 + \sqrt{2}$

Ответ: $1 + \sqrt{2}$.

2) Найдем значение выражения $3\sin60^\circ - 2\cos60^\circ$.

Используем табличные значения: $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в исходное выражение:

$3 \cdot \sin60^\circ - 2 \cdot \cos60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}$

Упрощаем полученное выражение:

$\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1$

Можно представить ответ в виде одной дроби: $\frac{3\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}-2}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\sin30^\circ - 3\text{tg}45^\circ$.

Табличные значения для данных функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\text{tg}45^\circ = 1$.

Подставим их в выражение:

$\sin30^\circ - 3\text{tg}45^\circ = \frac{1}{2} - 3 \cdot 1$

Выполняем вычитание:

$\frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5$.

4) Найдем значение последнего выражения $\sin45^\circ + 2\text{ctg}60^\circ$.

Воспользуемся табличными значениями: $\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\text{ctg}60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставляем эти значения:

$\sin45^\circ + 2\text{ctg}60^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{6} + \frac{4\sqrt{3}}{6}$

Теперь сложим числители:

$\frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{6}$.