Номер 20.1, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.1. На единичной окружности отметьте точку, соответствующую углу $a$, равному: $45^\circ$; $-60^\circ$, $90^\circ$ и вычислите при помощи измерений синус и косинус этих углов.

Для решения задачи построим единичную окружность в системе координат. Единичная окружность имеет центр в начале координат (0,0) и радиус, равный 1. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox: против часовой стрелки для положительных углов и по часовой стрелке для отрицательных. Для любой точки $P(x, y)$ на окружности, соответствующей углу $α$, ее координаты по определению равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(α)$ и $y = \sin(α)$.

Чтобы найти синус и косинус при помощи измерений, мы отметим на окружности точки, соответствующие заданным углам, и измерим их координаты (длины проекций на оси Ox и Oy), учитывая знаки в каждой координатной четверти.

45°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 45° против часовой стрелки. Получим точку $P_1$ в первой координатной четверти. Измерив ее проекции на оси, мы получим значения абсциссы и ординаты. Измерения показывают, что $x \approx 0,71$ и $y \approx 0,71$. Таким образом, $\cos(45^\circ) \approx 0,71$ и $\sin(45^\circ) \approx 0,71$. Для сравнения, точные значения: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Ответ: $\cos(45^\circ) \approx 0,71, \sin(45^\circ) \approx 0,71$.

-60°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 60° по часовой стрелке, так как угол отрицательный. Получим точку $P_2$ в четвертой координатной четверти. Измерив ее проекции на оси, мы получим: абсцисса $x \approx 0,5$, ордината $y \approx -0,87$. Таким образом, $\cos(-60^\circ) \approx 0,5$ и $\sin(-60^\circ) \approx -0,87$. Для сравнения, точные значения: $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$ и $\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866$. Ответ: $\cos(-60^\circ) \approx 0,5, \sin(-60^\circ) \approx -0,87$.

90°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 90° против часовой стрелки. Получим точку $P_3$, которая лежит на положительной полуоси Oy. В этом случае измерения не требуют приближений, так как точка точно совпадает с отметкой 1 на оси Oy. Ее координаты: $x=0$ и $y=1$. Таким образом, $\cos(90^\circ) = 0$ и $\sin(90^\circ) = 1$. Ответ: $\cos(90^\circ) = 0, \sin(90^\circ) = 1$.