Номер 20.7, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.7. Найдите несколько значений β, при которых:

1) $\text{tg}\beta = 0$;

2) $\text{tg}\beta = 1$;

3) $\text{tg}\beta = -1$;

4) $\text{ctg}\beta = 1$;

5) $\text{ctg}\beta = -1$;

6) $\text{ctg}\beta = 0$.

1) Решим уравнение $tgβ = 0$. Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю (а косинус не равен нулю). Условие $sinβ = 0$ выполняется для углов, которые являются целыми кратными $π$. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид $β = πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$). Найдём несколько конкретных значений, подставляя различные целые числа вместо $k$: например, при $k = 0$ получаем $β = 0$; при $k = 1$ получаем $β = π$; при $k = 2$ получаем $β = 2π$. Ответ: $0, π, 2π$.

2) Решим уравнение $tgβ = 1$. Тангенс равен единице для углов, у которых синус и косинус равны. На единичной окружности это соответствует точкам в первой и третьей четвертях. Основное значение угла равно $\frac{π}{4}$. Поскольку период тангенса равен $π$, общее решение имеет вид: $β = \frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько значений $β$: при $k=0$ имеем $β = \frac{π}{4}$; при $k=1$ имеем $β = \frac{π}{4} + π = \frac{5π}{4}$; при $k=-1$ имеем $β = \frac{π}{4} - π = -\frac{3π}{4}$. Ответ: $\frac{π}{4}, \frac{5π}{4}, -\frac{3π}{4}$.

3) Решим уравнение $tgβ = -1$. Тангенс равен минус единице для углов, у которых синус и косинус равны по модулю, но противоположны по знаку. На единичной окружности это соответствует точкам во второй и четвертой четвертях. Основное значение угла можно взять как $-\frac{π}{4}$. Общее решение: $β = -\frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Некоторые из значений $β$: при $k=0$ получаем $β = -\frac{π}{4}$; при $k=1$ получаем $β = -\frac{π}{4} + π = \frac{3π}{4}$; при $k=2$ получаем $β = -\frac{π}{4} + 2π = \frac{7π}{4}$. Ответ: $-\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}, \frac{7π}{4}$.

4) Решим уравнение $ctgβ = 1$. Котангенс равен единице, когда косинус и синус угла равны ($cosβ = sinβ$). Это то же самое условие, что и для $tgβ = 1$. Следовательно, решения будут такими же. Общее решение: $β = \frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Примеры значений $β$: для $k=0$, $β = \frac{π}{4}$; для $k=1$, $β = \frac{π}{4} + π = \frac{5π}{4}$; для $k=2$, $β = \frac{π}{4} + 2π = \frac{9π}{4}$. Ответ: $\frac{π}{4}, \frac{5π}{4}, \frac{9π}{4}$.

5) Решим уравнение $ctgβ = -1$. Котангенс равен минус единице, когда косинус и синус угла равны по модулю и противоположны по знаку ($cosβ = -sinβ$). Это то же самое условие, что и для $tgβ = -1$. Общее решение можно записать как $β = \frac{3π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько значений $β$: при $k=0$, $β = \frac{3π}{4}$; при $k=1$, $β = \frac{3π}{4} + π = \frac{7π}{4}$; при $k=-1$, $β = \frac{3π}{4} - π = -\frac{π}{4}$. Ответ: $\frac{3π}{4}, \frac{7π}{4}, -\frac{π}{4}$.

6) Решим уравнение $ctgβ = 0$. Котангенс равен нулю, когда косинус угла равен нулю (а синус не равен нулю). Условие $cosβ = 0$ выполняется для углов вида $β = \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько частных решений: при $k=0$ получим $β = \frac{π}{2}$; при $k=1$ получим $β = \frac{π}{2} + π = \frac{3π}{2}$; при $k=-1$ получим $β = \frac{π}{2} - π = -\frac{π}{2}$. Ответ: $\frac{π}{2}, \frac{3π}{2}, -\frac{π}{2}$.