Номер 20.11, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.11. Существует ли угол $\alpha$, при котором выполняется равенство:

1) $\sin\alpha = 1 - \sqrt{3};$

2) $\sin\alpha = \sqrt{5} - 1;$

3) $\cos\alpha = \sqrt{3} - 1;$

4) $\cos\alpha = \sqrt{7} - 1?$

Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, значение его синуса или косинуса должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, для каждого случая необходимо проверить, принадлежит ли данное значение отрезку $[-1; 1]$.

1) $\sin\alpha = 1 - \sqrt{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 1 - \sqrt{3} \le 1$.
Известно, что $1 < 3 < 4$, следовательно, $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{3} < 2$.
Вычтем $\sqrt{3}$ из 1: $1 - 2 < 1 - \sqrt{3} < 1 - 1$, что дает $-1 < 1 - \sqrt{3} < 0$.
Поскольку значение $1 - \sqrt{3}$ находится в интервале $(-1, 0)$, оно принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: да.

2) $\sin\alpha = \sqrt{5} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{5} - 1 \le 1$.
Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{5} < 3$.
Вычтем 1: $2 - 1 < \sqrt{5} - 1 < 3 - 1$, что дает $1 < \sqrt{5} - 1 < 2$.
Поскольку значение $\sqrt{5} - 1$ больше 1, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ не существует.
Ответ: нет.

3) $\cos\alpha = \sqrt{3} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{3} - 1 \le 1$.
Как и в первом пункте, $1 < \sqrt{3} < 2$.
Вычтем 1: $1 - 1 < \sqrt{3} - 1 < 2 - 1$, что дает $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{3} - 1$ находится в интервале $(0, 1)$, оно принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: да.

4) $\cos\alpha = \sqrt{7} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{7} - 1 \le 1$.
Известно, что $4 < 7 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{7} < 3$.
Вычтем 1: $2 - 1 < \sqrt{7} - 1 < 3 - 1$, что дает $1 < \sqrt{7} - 1 < 2$.
Поскольку значение $\sqrt{7} - 1$ больше 1, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ не существует.
Ответ: нет.