Номер 20.9, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.9. Укажите несколько значений угла $\beta$, при которых не имеет смысла выражение:

1) $\text{tg}\beta$;

2) $\text{ctg}\beta$;

3) $\text{ctg}2\beta$;

4) $\text{tg}2\beta$.

1) tgβ;
Выражение $ \text{tg}\beta $ (тангенс бета) не имеет смысла, когда его знаменатель в определении $ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ равен нулю.
Условие, при котором выражение не определено: $ \cos\beta = 0 $.
Это уравнение справедливо для углов $ \beta = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $). В градусах это $ \beta = 90^\circ + 180^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ рад);
- при $ n = 1 $, $ \beta = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ $ (или $ \frac{3\pi}{2} $ рад);
- при $ n = -1 $, $ \beta = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ $ (или $ -\frac{\pi}{2} $ рад).
Ответ: например, $ 90^\circ, 270^\circ, -90^\circ $.

2) ctgβ;
Выражение $ \text{ctg}\beta $ (котангенс бета) не имеет смысла, когда его знаменатель в определении $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $ равен нулю.
Условие, при котором выражение не определено: $ \sin\beta = 0 $.
Это уравнение справедливо для углов $ \beta = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В градусах это $ \beta = 180^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 0^\circ $ (или $ 0 $ рад);
- при $ n = 1 $, $ \beta = 180^\circ $ (или $ \pi $ рад);
- при $ n = 2 $, $ \beta = 360^\circ $ (или $ 2\pi $ рад).
Ответ: например, $ 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ $.

3) ctg2β;
Выражение $ \text{ctg}(2\beta) $ (котангенс два бета) не имеет смысла, когда синус его аргумента, то есть $ 2\beta $, равен нулю. Определение: $ \text{ctg}(2\beta) = \frac{\cos(2\beta)}{\sin(2\beta)} $.
Выражение не определено, если $ \sin(2\beta) = 0 $.
Это уравнение справедливо, когда $ 2\beta = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделив обе части на 2, получим $ \beta = \frac{\pi n}{2} $. В градусах это $ \beta = 90^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 0^\circ $;
- при $ n = 1 $, $ \beta = 90^\circ $;
- при $ n = 2 $, $ \beta = 180^\circ $.
Ответ: например, $ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ $.

4) tg2β.
Выражение $ \text{tg}(2\beta) $ (тангенс два бета) не имеет смысла, когда косинус его аргумента, то есть $ 2\beta $, равен нулю. Определение: $ \text{tg}(2\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{\cos(2\beta)} $.
Выражение не определено, если $ \cos(2\beta) = 0 $.
Это уравнение справедливо, когда $ 2\beta = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделив обе части на 2, получим $ \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $. В градусах это $ \beta = 45^\circ + 90^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 45^\circ $;
- при $ n = 1 $, $ \beta = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ $;
- при $ n = 2 $, $ \beta = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ $.
Ответ: например, $ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ $.