Номер 20.2, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.2. Постройте угол а, если:

1) $ \sin a = \frac{1}{4} $;

2) $ \sin a = \frac{2}{3} $;

3) $ \cos a = \frac{3}{4} $;

4) $ \cos a = \frac{3}{5} $;

5) $ \operatorname{tg} a = 2 $;

6) $ \operatorname{tg} a = 3 $.

1) $sin\ a = \frac{1}{4}$;
Для построения угла $a$, синус которого равен $\frac{1}{4}$, мы воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике: $sin\ a = \frac{противолежащий\ катет}{гипотенуза}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{1}{4}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$. Для этого проведем две перпендикулярные прямые.
2. На одной из сторон угла от точки $B$ отложим отрезок $BA$ произвольной длины $k$. Этот отрезок будет катетом, противолежащим искомому углу $a$.
3. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $4k$.
4. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла будет вершиной $C$ нашего треугольника.
5. Соединим точки $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором катет $AB = k$, а гипотенуза $AC = 4k$.
6. Угол $\angle ACB$ в этом треугольнике и есть искомый угол $a$, так как $sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Угол $a = \angle ACB$ построен.

2) $sin\ a = \frac{2}{3}$;
Построение аналогично предыдущему пункту. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{3}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одном из лучей отложим отрезок $BA$ длиной $2k$, где $k$ — произвольный единичный отрезок.
3. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $3k$.
4. Точка пересечения дуги с другим лучом прямого угла будет вершиной $C$.
5. Соединив точки $A$ и $C$, получим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетом $AB = 2k$ и гипотенузой $AC = 3k$.
6. Угол $\angle ACB$ является искомым углом $a$, так как $sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Угол $a = \angle ACB$ построен.

3) $cos\ a = \frac{3}{4}$;
Воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: $cos\ a = \frac{прилежащий\ катет}{гипотенуза}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{3}{4}$.

Порядок построения:
1. Построим луч с началом в точке $C$. Это будет одна из сторон искомого угла.
2. На этом луче отложим отрезок $CB$ длиной $3k$, где $k$ — произвольный единичный отрезок. Это будет прилежащий катет.
3. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $CB$.
4. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $4k$.
5. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет вершиной $A$ нашего треугольника.
6. Соединим точки $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетом $CB = 3k$ и гипотенузой $AC = 4k$.
7. Угол $\angle BCA$ в этом треугольнике и есть искомый угол $a$, так как $cos(\angle BCA) = \frac{CB}{AC} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

4) $cos\ a = \frac{3}{5}$;
Построение аналогично предыдущему пункту. Требуется построить прямоугольный треугольник с отношением прилежащего катета к гипотенузе $\frac{3}{5}$.

Порядок построения:
1. Построим луч с началом в точке $C$.
2. На луче отложим прилежащий катет $CB$ длиной $3k$.
3. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к $CB$.
4. Из центра $C$ проведем дугу радиусом $5k$ до пересечения с перпендикуляром в точке $A$.
5. Соединим $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$ (египетский треугольник со сторонами $3k, 4k, 5k$).
6. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $cos(\angle BCA) = \frac{CB}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

5) $tg\ a = 2$;
Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике: $tg\ a = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет}$. Представим $2$ как дробь $\frac{2}{1}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\frac{2}{1}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $BC$ (прилежащий катет) длиной $k$.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $BA$ (противолежащий катет) длиной $2k$.
4. Соединим точки $A$ и $C$, получив прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $tg(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{2k}{k} = 2$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

6) $tg\ a = 3$.
Построение аналогично предыдущему пункту. Представим $3$ как дробь $\frac{3}{1}$. Требуется построить прямоугольный треугольник с отношением противолежащего катета к прилежащему $\frac{3}{1}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одной стороне угла отложим прилежащий катет $BC$ длиной $k$.
3. На другой стороне угла отложим противолежащий катет $BA$ длиной $3k$.
4. Соединим точки $A$ и $C$, получив прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $tg(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{3k}{k} = 3$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.