Номер 19.22, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.22. Найдите значения $x$, при которых функция $y = \frac{2x^2 - 1}{3x + 1}$ принимает значения, равные 2; 3; 4,5.

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = \frac{2x^2 - 1}{3x + 1}$ принимает заданные значения, необходимо поочередно приравнять функцию к этим значениям и решить полученные уравнения. Область допустимых значений для $x$ определяется условием $3x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{3}$.

y = 2

Приравниваем функцию к 2:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(3x + 1)$, учитывая, что $x \neq -\frac{1}{3}$:$2x^2 - 1 = 2(3x + 1)$$2x^2 - 1 = 6x + 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$2x^2 - 6x - 1 - 2 = 0$$2x^2 - 6x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Оба корня, $x_1 = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$, не равны $-\frac{1}{3}$ и являются решениями.

Ответ: при $y=2$, $x = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ или $x = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$.

y = 3

Приравниваем функцию к 3:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = 3$

Умножим обе части уравнения на $(3x + 1)$:$2x^2 - 1 = 3(3x + 1)$$2x^2 - 1 = 9x + 3$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:$2x^2 - 9x - 1 - 3 = 0$$2x^2 - 9x - 4 = 0$

Вычисляем дискриминант:$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 81 + 32 = 113$

Находим корни:$x = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{4}$

Оба корня, $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{4}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{4}$, удовлетворяют условию $x \neq -\frac{1}{3}$.

Ответ: при $y=3$, $x = \frac{9 + \sqrt{113}}{4}$ или $x = \frac{9 - \sqrt{113}}{4}$.

y = 4,5

Приравниваем функцию к 4,5. Удобнее представить 4,5 в виде дроби $\frac{9}{2}$:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = \frac{9}{2}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение):$2(2x^2 - 1) = 9(3x + 1)$$4x^2 - 2 = 27x + 9$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:$4x^2 - 27x - 2 - 9 = 0$$4x^2 - 27x - 11 = 0$

Вычисляем дискриминант:$D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 729 + 176 = 905$

Находим корни:$x = \frac{27 \pm \sqrt{905}}{2 \cdot 4} = \frac{27 \pm \sqrt{905}}{8}$

Оба корня, $x_1 = \frac{27 + \sqrt{905}}{8}$ и $x_2 = \frac{27 - \sqrt{905}}{8}$, удовлетворяют условию $x \neq -\frac{1}{3}$.

Ответ: при $y=4,5$, $x = \frac{27 + \sqrt{905}}{8}$ или $x = \frac{27 - \sqrt{905}}{8}$.