Номер 19.19, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.19. Покажите штриховкой в координатной плоскости решение системы:

1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 9, \\ y \ge x^2 - 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ y \le x^2 - 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 25, \\ y \ge x^2 + 2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 4, \\ y \le x^2 + 9. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ y \ge x^2 - 3 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек внутри и на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница (окружность) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $y \ge x^2 - 3$ задает множество точек на и выше параболы $y = x^2 - 3$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница (парабола) также включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно внутри окружности и выше параболы.

Найдем точки пересечения границы областей — окружности $x^2 + y^2 = 9$ и параболы $y = x^2 - 3$. Из уравнения параболы выразим $x^2 = y + 3$ и подставим в уравнение окружности: $(y + 3) + y^2 = 9$ $y^2 + y - 6 = 0$ Решим квадратное уравнение относительно $y$ (например, по теореме Виета): $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$: При $y = 2$: $x^2 = 2 + 3 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$. Точки пересечения: $(\sqrt{5}, 2)$ и $(-\sqrt{5}, 2)$. При $y = -3$: $x^2 = -3 + 3 = 0 \implies x = 0$. Точка пересечения: $(0, -3)$.

Искомая область ограничена снизу дугой параболы, проходящей через точки $(-\sqrt{5}, 2)$, $(0, -3)$ и $(\sqrt{5}, 2)$, а сверху — дугой окружности, соединяющей точки $(-\sqrt{5}, 2)$ и $(\sqrt{5}, 2)$.

Ответ:

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \le x^2 - 4 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 16$ задает круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Граница (окружность) включена в решение.

Второе неравенство $y \le x^2 - 4$ задает область на и ниже параболы $y = x^2 - 4$. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх. Граница (парабола) включена в решение.

Решением системы является пересечение этих двух областей: та часть круга, которая находится ниже или на параболе.

Найдем точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и параболы $y = x^2 - 4$. Выразим $x^2 = y + 4$ из уравнения параболы и подставим в уравнение окружности: $(y + 4) + y^2 = 16$ $y^2 + y - 12 = 0$ Решим квадратное уравнение: $(y+4)(y-3)=0$. Корни: $y_1 = -4$, $y_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $x$: При $y = 3$: $x^2 = 3 + 4 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}$. Точки пересечения: $(\sqrt{7}, 3)$ и $(-\sqrt{7}, 3)$. При $y = -4$: $x^2 = -4 + 4 = 0 \implies x = 0$. Точка пересечения: $(0, -4)$, которая является вершиной параболы и самой нижней точкой окружности.

Решение представляет собой две симметричные относительно оси OY области, каждая из которых ограничена дугой окружности и дугой параболы.

Ответ:

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 25 \\ y \ge x^2 + 2 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Граница (окружность) включена в решение.

Второе неравенство $y \ge x^2 + 2$ задает область на и выше параболы $y = x^2 + 2$. Вершина параболы в точке $(0, 2)$, ветви вверх. Граница (парабола) включена в решение.

Решением является пересечение этих областей: часть круга, расположенная выше или на параболе.

Найдем точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и параболы $y = x^2 + 2$. Из уравнения параболы $x^2 = y - 2$. Подставим в уравнение окружности: $(y - 2) + y^2 = 25$ $y^2 + y - 27 = 0$ Решим квадратное уравнение: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-27)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{109}}{2}$. Так как для параболы $y = x^2+2$ все значения $y \ge 2$, выбираем положительный корень: $y = \frac{-1 + \sqrt{109}}{2} \approx 4.72$.

Найдем $x$: $x^2 = y - 2 = \frac{-1 + \sqrt{109}}{2} - 2 = \frac{-5 + \sqrt{109}}{2} \approx 2.72$. $x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{109}-5}{2}} \approx \pm1.65$. Точки пересечения: $(\approx -1.65, \approx 4.72)$ и $(\approx 1.65, \approx 4.72)$.

Решение — это область, ограниченная снизу параболой и сверху дугой окружности между точками их пересечения.

Ответ:

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 > 4 \\ y \le x^2 + 9 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 > 4$ задает область вне окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое ($>$), граница (окружность) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $y \le x^2 + 9$ задает область на и ниже параболы $y = x^2 + 9$. Вершина параболы в точке $(0, 9)$, ветви вверх. Граница (парабола) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Проверим, пересекаются ли границы. Окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет наивысшую точку $(0, 2)$. Парабола $y = x^2 + 9$ имеет наинизшую точку $(0, 9)$. Поскольку $2 < 9$, окружность полностью лежит ниже параболы, и пересечений нет.

Решением системы является пересечение двух областей: все точки плоскости, которые находятся ниже параболы $y = x^2 + 9$, за исключением точек, лежащих внутри или на окружности $x^2 + y^2 = 4$. Таким образом, решение — это вся область под параболой с "выколотым" кругом радиуса 2.

Ответ: