Номер 19.20, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x - 6}$;

2) $y = \sqrt{2x^2 - 5x - 3}$;

3) $y = \sqrt{-x^2 - 6x + 8}$;

4) $y = \sqrt{-2x^2 + x + 6}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x - 6}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x - 6 \ge 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$. Получаем корни $x_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, выражение $x^2 - 3x - 6$ принимает неотрицательные значения при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$. Таким образом, область определения функции: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 5x - 3}$ задается неравенством $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Ветви параболы $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх ($a = 2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней. Следовательно, область определения функции: $(-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{-x^2 - 6x + 8}$ определяется условием $-x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Для удобства решения умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 6x - 8 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 8 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$. $x_1 = -3 - \sqrt{17}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{17}$. Графиком $f(x) = x^2 + 6x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 6x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, область определения функции: $[-3 - \sqrt{17}; -3 + \sqrt{17}]$.
Ответ: $[-3 - \sqrt{17}; -3 + \sqrt{17}]$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{-2x^2 + x + 6}$ находится из неравенства $-2x^2 + x + 6 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, поменяв знак: $2x^2 - x - 6 \le 0$. Решим уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$. $x_2 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Графиком $f(x) = 2x^2 - x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $2x^2 - x - 6 \le 0$ истинно для значений $x$ между корнями. Следовательно, область определения функции: $[-1.5; 2]$.
Ответ: $[-1.5; 2]$.