Номер 19.13, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.13. 1) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренного треугольника, у которого внешний угол при основании треугольника равен $130^\circ$.

2) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренного треугольника, у которого внешний угол при вершине треугольника равен $140^\circ$.

1)

Пусть $\alpha$ — внутренний угол при основании равнобедренного треугольника. Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). По условию, внешний угол при основании равен $130^\circ$. Следовательно, внутренний угол при основании равен:

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике есть два угла по $50^\circ$.

Пусть $\beta$ — угол при вершине треугольника. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда:

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь переведем найденные углы из градусов в радианы, используя формулу: $угол_{рад} = угол_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

Углы при основании:

$50^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{18}$ радиан.

Угол при вершине:

$80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{5\pi}{18}$ радиан и один угол $\frac{4\pi}{9}$ радиан.

2)

Пусть $\beta$ — внутренний угол при вершине равнобедренного треугольника. По условию, смежный с ним внешний угол равен $140^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\beta = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Пусть $\alpha$ — каждый из двух равных углов при основании треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно:

$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 40^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$\alpha = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

Итак, внутренние углы треугольника равны $70^\circ$, $70^\circ$ и $40^\circ$.

Переведем эти углы в радианы:

Углы при основании:

$70^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7\pi}{18}$ радиан.

Угол при вершине:

$40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{7\pi}{18}$ радиан и один угол $\frac{2\pi}{9}$ радиан.