Номер 19.10, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.10. Представьте в виде $a = a_0 + 2\pi n$ (где $0 \le a_0 < 2\pi$ и $n$ — целое число) угол $\alpha$:

1) $a = 2,5\pi$;
2) $a = 14,3\pi$;
3) $a = -2,2\pi$;
4) $a = -19,7\pi$;
5) $a = -\frac{13}{4}\pi$;
6) $a = -\frac{23}{6}\pi$.

1) Чтобы представить угол $a = 2,5\pi$ в виде $a = a_0 + 2\pi n$ с условием $0 \le a_0 < 2\pi$, мы должны найти целое число $n$ (количество полных оборотов) и основной угол $a_0$. Найдем $n$, решив неравенство $0 \le a_0 < 2\pi$ для $a_0 = a - 2\pi n$: $0 \le 2,5\pi - 2\pi n < 2\pi$. Разделим все части неравенства на $2\pi$: $0 \le 1,25 - n < 1$. Вычтем $1,25$ из всех частей: $-1,25 \le -n < 1 - 1,25$. $-1,25 \le -n < -0,25$. Умножим на $-1$ и сменим знаки неравенства: $1,25 \ge n > 0,25$. Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=1$. Теперь найдем $a_0$: $a_0 = 2,5\pi - 2\pi \cdot 1 = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $2,5\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1$.
Ответ: $2,5\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1$.

2) Для угла $a = 14,3\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le 14,3\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le 7,15 - n < 1$. Вычитаем $7,15$: $-7,15 \le -n < 1 - 7,15$. $-7,15 \le -n < -6,15$. Умножаем на $-1$: $7,15 \ge n > 6,15$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=7$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = 14,3\pi - 2\pi \cdot 7 = 14,3\pi - 14\pi = 0,3\pi$. Таким образом, $14,3\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot 7$.
Ответ: $14,3\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot 7$.

3) Для угла $a = -2,2\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -2,2\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -1,1 - n < 1$. Прибавляем $1,1$: $1,1 \le -n < 1 + 1,1$. $1,1 \le -n < 2,1$. Умножаем на $-1$: $-1,1 \ge n > -2,1$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -2,2\pi - 2\pi \cdot (-2) = -2,2\pi + 4\pi = 1,8\pi$. Таким образом, $-2,2\pi = 1,8\pi + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-2,2\pi = 1,8\pi + 2\pi \cdot (-2)$.

4) Для угла $a = -19,7\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -19,7\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -9,85 - n < 1$. Прибавляем $9,85$: $9,85 \le -n < 1 + 9,85$. $9,85 \le -n < 10,85$. Умножаем на $-1$: $-9,85 \ge n > -10,85$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-10$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -19,7\pi - 2\pi \cdot (-10) = -19,7\pi + 20\pi = 0,3\pi$. Таким образом, $-19,7\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot (-10)$.
Ответ: $-19,7\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot (-10)$.

5) Для угла $a = -\frac{13}{4}\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -\frac{13}{4}\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -\frac{13}{8} - n < 1$. Прибавим $\frac{13}{8}$: $\frac{13}{8} \le -n < 1 + \frac{13}{8}$. $\frac{13}{8} \le -n < \frac{21}{8}$. $1,625 \le -n < 2,625$. Умножаем на $-1$: $-1,625 \ge n > -2,625$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -\frac{13}{4}\pi - 2\pi \cdot (-2) = -\frac{13\pi}{4} + 4\pi = -\frac{13\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Таким образом, $-\frac{13\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-\frac{13\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (-2)$.

6) Для угла $a = -\frac{23}{6}\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -\frac{23}{6}\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -\frac{23}{12} - n < 1$. Прибавим $\frac{23}{12}$: $\frac{23}{12} \le -n < 1 + \frac{23}{12}$. $\frac{23}{12} \le -n < \frac{35}{12}$. Приблизительно $1,917 \le -n < 2,917$. Умножаем на $-1$: $-1,917 \ge n > -2,917$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -\frac{23}{6}\pi - 2\pi \cdot (-2) = -\frac{23\pi}{6} + 4\pi = -\frac{23\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Таким образом, $-\frac{23\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-\frac{23\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-2)$.