Номер 20.12, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.12. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \left(\text{tg} \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $\text{tg} \frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $\cos \frac{\pi}{4} \left(\text{ctg} \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для решения данного выражения необходимо найти значения тригонометрических функций для табличных углов.
$ \sin\frac{\pi}{6} $ (синус 30°) равен $ \frac{1}{2} $.
$ \tg\frac{\pi}{4} $ (тангенс 45°) равен $ 1 $.
$ \cos\frac{\pi}{3} $ (косинус 60°) равен $ \frac{1}{2} $.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \left(\tg\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) $
Сначала выполним действие в скобках:
$ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $
Затем выполним умножение:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

2) Найдем значения тригонометрических функций для углов в выражении.
$ \tg\frac{\pi}{6} $ (тангенс 30°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \sin\frac{\pi}{3} $ (синус 60°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \cos\frac{\pi}{6} $ (косинус 30°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим найденные значения в выражение:
$ \tg\frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
Выполним сложение в скобках:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $
Теперь выполним умножение:
$ \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Определим значения тригонометрических функций для заданных углов.
$ \cos\frac{\pi}{4} $ (косинус 45°) равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \ctg\frac{\pi}{4} $ (котангенс 45°) равен $ 1 $.
$ \sin\frac{\pi}{3} $ (синус 60°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим эти значения в выражение:
$ \cos\frac{\pi}{4} \cdot \left(\ctg\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на каждый член в скобках:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} $
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 4:
$ \frac{2\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $
Ответ: $ \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $