Номер 20.13, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.13. Вычислите значение выражения:

1) $ -\sin \frac{\pi}{2} \cdot \left(2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{6}\right) $;

2) $ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{3} - 3 \cos \frac{\pi}{3}\right) $;

3) $ \cos \frac{\pi}{4} \cdot \left(2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - 3 \sin \frac{\pi}{6}\right) $.

1) Вычислим значение выражения $-\sin\frac{\pi}{2} \cdot (2\tg\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{6})$.

Для этого найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

$\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$-\sin\frac{\pi}{2} \cdot (2\tg\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{6}) = -1 \cdot (2 \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-4+\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-4}{2}$

2) Вычислим значение выражения $\ctg\frac{\pi}{6} \cdot (\sin\frac{\pi}{3} - 3\cos\frac{\pi}{3})$.

Найдем значения тригонометрических функций:

$\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в выражение:

$\ctg\frac{\pi}{6} \cdot (\sin\frac{\pi}{3} - 3\cos\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}-3}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3-3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$

3) Вычислим значение выражения $\cos\frac{\pi}{4} \cdot (2\ctg\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{6})$.

Найдем значения тригонометрических функций:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\ctg\frac{\pi}{4} = 1$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в выражение:

$\cos\frac{\pi}{4} \cdot (2\ctg\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2 - \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{4}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$