Номер 20.20, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.20. Проверьте, является ли последовательность $ \frac{1}{\tan\frac{\pi}{6}} $, $ \frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}} $, $ \frac{1}{\cot\frac{\pi}{6}} $ арифметической прогрессией.

Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо вычислить ее члены и проверить, выполняется ли для них характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность $a_1, a_2, a_3$ является арифметической прогрессией, если выполняется равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.

Данная нам последовательность: $a_1 = \frac{1}{\tg{\frac{\pi}{6}}}$, $a_2 = \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{3}}}$, $a_3 = \frac{1}{\ctg{\frac{\pi}{6}}}$.

Вычислим значения каждого члена последовательности, используя табличные значения тригонометрических функций:

• $\tg{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\ctg{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$

Подставим эти значения в выражения для членов последовательности:
$a_1 = \frac{1}{\tg{\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$
$a_2 = \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$a_3 = \frac{1}{\ctg{\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Таким образом, мы получили числовую последовательность: $\sqrt{3}$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь проверим выполнение характеристического свойства $2a_2 = a_1 + a_3$.
Найдем сумму первого и третьего членов:
$a_1 + a_3 = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Найдем удвоенное значение второго члена:
$2a_2 = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку $a_1 + a_3 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ и $2a_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, равенство $2a_2 = a_1 + a_3$ выполняется. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией.