Номер 20.23, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.23. Найдите значение выражения:

1) $2 \cdot \text{tg}30^\circ \text{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin30^\circ + \sqrt{3} \cdot \text{tg} 60^\circ;$

2) $\frac{4 \cdot \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2} + 2\cos \pi} + 2.$

1) Для решения данного выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций и основными тригонометрическими тождествами.

Исходное выражение: $2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ$.

Упростим выражение по частям. Рассмотрим первое слагаемое: $2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$. При $\alpha = 30^\circ$ получаем $\operatorname{tg}30^\circ \cdot \operatorname{ctg}30^\circ = 1$.

Также воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Тогда $2\sin 30^\circ \cos 30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin 60^\circ$.

Перегруппировав множители в первом слагаемом, получим:
$2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ = (\operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ) \cdot (2\sin 30^\circ \cos 30^\circ) = 1 \cdot \sin 60^\circ = \sin 60^\circ$.

Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ$.
Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

Теперь сложим результаты, полученные для обоих слагаемых:
$\sin 60^\circ + 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + 3$

2) Для нахождения значения выражения подставим известные значения тригонометрических функций.

Исходное выражение: $\frac{4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} + 2\cos\pi} + 2$.

Вспомним значения тригонометрических функций для данных углов:
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
$\cos\pi = -1$

Подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим значение числителя дроби:
$4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Далее вычислим значение знаменателя дроби:
$\sin\frac{\pi}{2} + 2\cos\pi = 1 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1$.

Теперь вычислим значение всей дроби:
$\frac{2 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{-1} = -(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, прибавим 2 к полученному результату:
$(-2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$