Номер 20.24, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.24. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{\frac{3}{4} + 2\cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3\text{tg}^2 30^\circ}$;

2) $\sqrt{\text{tg}^2 \frac{\pi}{3} - 2\frac{3}{4} - 2\sin \frac{3\pi}{4}}$?

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{3}{4} + 2\cos^2{30^\circ}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3\operatorname{tg}^2{30^\circ}} $.

Сначала найдем значения тригонометрических функций и их квадратов:

$ \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно, $ \cos^2{30^\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $.

$ \operatorname{tg}{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} $, следовательно, $ \operatorname{tg}^2{30^\circ} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} $.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{6}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 1} $.

Упростим выражения под знаками корня:

$ \sqrt{\frac{3+6}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{1}{4}} $.

Извлечем квадратные корни:

$ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $2$.

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - 2\frac{3}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4}} $.

Запись $ -2\frac{3}{4} $ в данном выражении является неоднозначной. Если интерпретировать ее как смешанное число $ -(2 + \frac{3}{4}) = -\frac{11}{4} $, то выражение под корнем становится отрицательным: $ \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - \frac{11}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4} = 3 - \frac{11}{4} - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{2} < 0 $, и его значение в действительных числах не определено.Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка, и под $ -2\frac{3}{4} $ подразумевается произведение $ -2 \cdot \frac{3}{4} $. При такой интерпретации задача имеет решение.

Решим выражение $ \sqrt{\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4}} $.

Найдем значения тригонометрических функций:

$ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $, следовательно, $ \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 $.

$ \sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим вычисленные значения в выражение:

$ \sqrt{3 - 2 \cdot \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3 - \frac{3}{2} - \sqrt{2}} $.

Упростим выражение под корнем:

$ \sqrt{\frac{6}{2} - \frac{3}{2} - \sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} $.

Для извлечения корня представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ \frac{3}{2} - \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $.

Теперь можем извлечь корень:

$ \sqrt{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \left|1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| $.

Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $. Значение $ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $, следовательно, знак модуля можно опустить.

$ \left|1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.