Номер 20.22, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.22. Найдите четыре значения $ \alpha $, при которых:

1) $ \cos\alpha = -0,5; $

2) $ \text{tg}\alpha = \sqrt{3}; $

3) $ \text{ctg}\alpha = -\sqrt{3}. $

1) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\cos\alpha = -0,5$.
Общая формула для решения уравнения $\cos\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).
В данном случае $a = -0,5$.
Найдем главное значение угла, $\arccos(-0,5)$. Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(-0,5) = \pi - \arccos(0,5) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Это дает нам две серии решений:

• $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
• $\alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

2) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$.
Общая формула для решения уравнения $\operatorname{tg}\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $a = \sqrt{3}$.
Найдем главное значение угла: $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим разные целые значения $k$.
При $k = 0$: $\alpha_1 = \frac{\pi}{3}$.
При $k = 1$: $\alpha_2 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $k = 2$: $\alpha_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
При $k = -1$: $\alpha_4 = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
Итак, мы нашли четыре значения $\alpha$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}$.

3) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\operatorname{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$.
Общая формула для решения уравнения $\operatorname{ctg}\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $a = -\sqrt{3}$.
Найдем главное значение угла, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$. Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим разные целые значения $k$.
При $k = 0$: $\alpha_1 = \frac{5\pi}{6}$.
При $k = 1$: $\alpha_2 = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$.
При $k = 2$: $\alpha_3 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$.
При $k = -1$: $\alpha_4 = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$.
Итак, мы нашли четыре значения $\alpha$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}$.