Номер 20.18, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.18. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(-\sin 30^\circ - \cos 30^\circ)^2}{3 \cos 45^\circ \sin 45^\circ - 6 \operatorname{tg} 30^\circ \operatorname{ctg} 60^\circ};$

2) $\frac{2\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} \cos \pi - 1}{\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}};$

3) $\frac{\sqrt{(\cos 60^\circ - \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ \cdot (1 - \operatorname{tg} 60^\circ)};$

4) $\frac{\sqrt{\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right)^2}}{\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}\right)^2}.$

1) Для решения данного выражения подставим табличные значения тригонометрических функций: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\ctg 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Сначала преобразуем и вычислим числитель:
$(-\sin 30^\circ - \cos 30^\circ)^2 = (-(\sin 30^\circ + \cos 30^\circ))^2 = (\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)^2 = \sin^2 30^\circ + 2\sin 30^\circ \cos 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, получаем:
$1 + \sin(2 \cdot 30^\circ) = 1 + \sin 60^\circ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим знаменатель:
$3 \cos 45^\circ \sin 45^\circ - 6 \tg 30^\circ \ctg 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 \cdot \frac{2}{4} - 6 \cdot \frac{3}{9} = 3 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot (-2) = -(2+\sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.

2) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\cos\pi = -1$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Вычислим числитель:
$2\tg^2\frac{\pi}{3} \cos\pi - 1 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (-1) - 1 = 2 \cdot 3 \cdot (-1) - 1 = -6 - 1 = -7$.
Вычислим знаменатель:
$\sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-7}{-\frac{1}{2}} = 14$.
Ответ: $14$.

3) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$.
Вычислим числитель, используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{(\cos 60^\circ - \sin 60^\circ)^2} = |\cos 60^\circ - \sin 60^\circ| = |\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}|$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1 - \sqrt{3} < 0$, следовательно, выражение под модулем отрицательно. Раскрывая модуль, меняем знак:
$|\frac{1 - \sqrt{3}}{2}| = -(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
Вычислим знаменатель:
$\sin 30^\circ \cdot (1 - \tg 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \sqrt{3}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{1-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}} = \frac{- (1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}} = -1$.
Ответ: $-1$.

4) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Вычислим числитель:
$\sqrt{(\tg\frac{\pi}{6} - \tg\frac{\pi}{3})^2} = |\tg\frac{\pi}{6} - \tg\frac{\pi}{3}| = |\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}| = |\frac{1 - (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}| = |\frac{1-3}{\sqrt{3}}| = |\frac{-2}{\sqrt{3}}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Вычислим знаменатель:
$(\ctg\frac{\pi}{6} - \ctg\frac{\pi}{3})^2 = (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{(\sqrt{3})^2 - 1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{3-1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.