Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

55. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x - 2)^2(x - 7) \le 0;$

2) $(x + 4)(x - 5)^2 < 0;$

3) $(x^2 + 14x + 13)(x - 10) \le 0;$

4) $(-7x^2 - 6x + 1)(x - 5) \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x - 2)^2(x - 7) \le 0$ методом интервалов. Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю. Корнями являются $x = 2$ и $x = 7$. Корень $x = 2$ имеет кратность 2 (четную), так как множитель $(x - 2)$ возведен в квадрат. При переходе через этот корень знак выражения на числовой оси меняться не будет. Корень $x = 7$ имеет кратность 1 (нечетную). При переходе через этот корень знак выражения изменится. Нанесем корни на числовую ось и определим знаки на получившихся интервалах. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 10$. $(10 - 2)^2(10 - 7) = 8^2 \cdot 3 = 192 > 0$. Значит, на интервале $(7; +\infty)$ выражение положительно. Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому искомые значения $x$ находятся в промежутках со знаком "минус", а также включают сами корни. Решением является объединение $(-\infty, 2] \cup [2, 7]$, что равносильно $x \in (-\infty, 7]$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 7.
Ответ: 7

2) Решим неравенство $(x + 4)(x - 5)^2 < 0$ методом интервалов. Найдем корни левой части: $x = -4$ (кратность 1, нечетная) и $x = 5$ (кратность 2, четная). При переходе через $x = -4$ знак будет меняться, а при переходе через $x = 5$ — нет. Нанесем корни на числовую ось. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки будут выколотыми. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=10$: $(10+4)(10-5)^2 = 14 \cdot 25 > 0$. Нам нужен промежуток, где выражение строго меньше нуля. Это интервал $(-\infty, -4)$. Наибольшим целым числом в этом интервале является -5.
Ответ: -5

3) Решим неравенство $(x^2 + 14x + 13)(x - 10) \le 0$. Сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 14x + 13$. Найдем его корни через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144 = 12^2$. $x_1 = \frac{-14 - 12}{2} = -13$, $x_2 = \frac{-14 + 12}{2} = -1$. Таким образом, $x^2 + 14x + 13 = (x + 13)(x + 1)$. Неравенство принимает вид: $(x + 13)(x + 1)(x - 10) \le 0$. Корни левой части: $x = -13, x = -1, x = 10$. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знак будет меняться при переходе через каждый корень. Нанесем корни на числовую ось. Возьмем пробную точку $x = 20$: $(20+13)(20+1)(20-10) > 0$. Выбираем промежутки со знаком "минус", включая концы: $x \in (-\infty, -13] \cup [-1, 10]$. Из двух полученных промежутков, наибольшее целое число находится во втором. Это число 10.
Ответ: 10

4) Решим неравенство $(-7x^2 - 6x + 1)(x - 5) \ge 0$. Разложим на множители трехчлен $-7x^2 - 6x + 1$. Для этого решим уравнение $-7x^2 - 6x + 1 = 0$, или, что то же самое, $7x^2 + 6x - 1 = 0$. $D = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{-6 - 8}{14} = -1$, $x_2 = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$. Значит, $-7x^2 - 6x + 1 = -7(x - (-1))(x - \frac{1}{7}) = -7(x+1)(x - \frac{1}{7})$. Подставим в исходное неравенство: $-7(x+1)(x - \frac{1}{7})(x - 5) \ge 0$. Разделим обе части на -7, изменив знак неравенства на противоположный: $(x+1)(x - \frac{1}{7})(x - 5) \le 0$. Корни: $x = -1$, $x = \frac{1}{7}$, $x = 5$. Все корни имеют нечетную кратность. Нанесем точки на ось. Пробная точка $x=10$: $(10+1)(10-1/7)(10-5) > 0$. Выбираем промежутки со знаком "минус", включая концы: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, 5]$. Наибольшее целое число находится в промежутке $[\frac{1}{7}, 5]$. Целые числа в этом промежутке: 1, 2, 3, 4, 5. Наибольшее из них - 5.
Ответ: 5

56. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $x + \sqrt{x^2 - 3x - 10};$

2) $2x - \sqrt{x^2 - 4x - 12};$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x - 8} + \frac{1}{x - 2};$

4) $\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \frac{1}{x - 8};$

5) $\sqrt{x^2 - 4x - 1} + \frac{1}{x^2 - 1};$

6) $\sqrt{-x^2 + 4x + 32} + \frac{1}{x^2 - 9};$

7) $\sqrt{2x^2 - 6x - 9} + \sqrt{x + 2};$

8) $\sqrt{-2x^2 - 4x + 10} - \sqrt{3 - x}?$

1) Выражение $x + \sqrt{x^2 - 3x - 10}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 3x - 10 \ge 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$; $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$.

2) Выражение $2x - \sqrt{x^2 - 4x - 12}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$x^2 - 4x - 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$; $x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 6$.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

3) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{3x^2 - 5x - 8} + \frac{1}{x-2}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $3x^2 - 5x - 8 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x - 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 8 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x - 8$ направлены вверх, значит $3x^2 - 5x - 8 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Из второго условия получаем $x \neq 2$.

Объединим условия. Число 2 не входит в полученные промежутки, так как $2 < \frac{8}{3}$ (примерно 2.67). Следовательно, второе условие уже выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

4) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \frac{1}{x-8}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $5x^2 + 4x - 1 \ge 0$.

2. $x - 8 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни $5x^2 + 4x - 1 = 0$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

$x_1 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$; $x_2 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ветви параболы $y = 5x^2 + 4x - 1$ направлены вверх, значит $5x^2 + 4x - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

Из второго условия $x \neq 8$.

Объединим условия. Так как $8$ входит в промежуток $[\frac{1}{5}, +\infty)$, его необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{5}, 8) \cup (8, +\infty)$.

5) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{x^2 - 4x - 1} + \frac{1}{x^2 - 1}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $x^2 - 4x - 1 \ge 0$.

2. $x^2 - 1 \neq 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни $x^2 - 4x - 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. $\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}$; $x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ветви параболы направлены вверх, значит $x^2 - 4x - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}] \cup [2 + \sqrt{5}, +\infty)$.

Решим второе условие: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Объединим условия. $\sqrt{5} \approx 2.24$, значит $2 - \sqrt{5} \approx -0.24$. Так как $-1 < -0.24$, точка $x=-1$ попадает в область $(-\infty, 2 - \sqrt{5}]$ и должна быть исключена. Точка $x=1$ не попадает в найденные промежутки, так как $-0.24 < 1 < 2+\sqrt{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2-\sqrt{5}] \cup [2+\sqrt{5}, +\infty)$.

6) Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{-x^2 + 4x + 32} + \frac{1}{x^2 - 9}$, оно имеет смысл при выполнении двух условий:

1. $-x^2 + 4x + 32 \ge 0$.

2. $x^2 - 9 \neq 0$.

Решим первое неравенство, умножив его на -1 и изменив знак: $x^2 - 4x - 32 \le 0$.

Найдем корни $x^2 - 4x - 32 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

$x_1 = \frac{4 - 12}{2} = -4$; $x_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 32$ направлены вверх, значит она принимает неположительные значения между корнями: $x \in [-4, 8]$.

Решим второе условие: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Обе точки $x=3$ и $x=-3$ входят в отрезок $[-4, 8]$, поэтому их необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, 8]$.

7) Выражение $\sqrt{2x^2 - 6x - 9} + \sqrt{x+2}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 6x - 9 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 6x - 9 \ge 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 36 + 72 = 108$. $\sqrt{D} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{4} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$; $x_2 = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$, то есть $x \in [-2, +\infty)$.

Найдем пересечение этих множеств. Сравним $-2$ и $\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$. Так как $27 < 49 \Rightarrow 3\sqrt{3} < 7 \Rightarrow -3\sqrt{3} > -7 \Rightarrow 3 - 3\sqrt{3} > -4 \Rightarrow \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} > -2$.

Пересечение $[-2, +\infty)$ с $(-\infty, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}]$ дает отрезок $[-2, \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}]$.

Пересечение $[-2, +\infty)$ с $[\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$ дает промежуток $[\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in [-2, \frac{3-3\sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{3+3\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

8) Предположим, что в условии опечатка и выражение имеет вид $\sqrt{-2x^2 - 4x + 10} - \sqrt[3]{3-x}$.

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение квадратного корня неотрицательно. Выражение под знаком кубического корня может быть любым действительным числом.

Решим неравенство: $-2x^2 - 4x + 10 \ge 0$.

Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $x^2 + 2x - 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 5 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. $\sqrt{D} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{2} = -1 - \sqrt{6}$; $x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{2} = -1 + \sqrt{6}$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 5$ направлены вверх, значит она принимает неположительные значения между корнями.

Решение неравенства: $x \in [-1 - \sqrt{6}, -1 + \sqrt{6}]$.

Ответ: $x \in [-1 - \sqrt{6}, -1 + \sqrt{6}]$.

57. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} \frac{x+7}{x-1} > 0, \\ \frac{x-9,3}{x+3} < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+4}{x-25} \le 0, \\ \frac{22-x}{4+x} < 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 25 \le 0, \\ x^2 + 2x - 8 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0, \\ x^2 - 3x - 18 < 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ x^2 - 2x - 15 < 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x+7}{x-1} > 0 \\ \frac{x-9,3}{x+3} < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+7}{x-1} > 0 $.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Отметим точки -7 и 1 на числовой оси. Они разделяют ось на три интервала: $(-\infty, -7)$, $(-7, 1)$ и $(1, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x>1$ (например, $x=2$): $\frac{2+7}{2-1} = 9 > 0$. Знак "+".
- при $-7- при $x<-7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-1} = \frac{-1}{-9} > 0$. Знак "+".
Так как неравенство строгое ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x-9,3}{x+3} < 0 $.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x-9,3=0 \Rightarrow x=9,3$. Нули знаменателя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Отметим точки -3 и 9,3 на числовой оси. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 9,3)$ и $(9,3, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x>9,3$ (например, $x=10$): $\frac{10-9,3}{10+3} > 0$. Знак "+".
- при $-3- при $x<-3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-9,3}{-4+3} > 0$. Знак "+".
Так как неравенство строгое ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Решение второго неравенства: $x \in (-3, 9,3)$.

3. Найдем пересечение решений.
Решение системы - это пересечение множеств $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-3, 9,3)$.
Пересечением является интервал $(1, 9,3)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (1, 9,3)$.

2) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x+4}{x-25} \le 0 \\ \frac{22-x}{4+x} < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+4}{x-25} \le 0 $.
Методом интервалов. Нули числителя: $x=-4$ (точка включается). Нули знаменателя: $x=25$ (точка исключается).
Интервалы: $(-\infty, -4]$, $[-4, 25)$, $(25, \infty)$.
- при $x>25$: знак "+".
- при $-4 \le x < 25$: знак "-".
- при $x<-4$: знак "+".
Решение: $x \in [-4, 25)$.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{22-x}{4+x} < 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{x-22}{x+4} > 0 $.
Методом интервалов. Нули числителя: $x=22$. Нули знаменателя: $x=-4$. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 22)$, $(22, \infty)$.
- при $x>22$: знак "+".
- при $-4 < x < 22$: знак "-".
- при $x<-4$: знак "+".
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (22, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in [-4, 25)$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (22, \infty)$.
Пересечение множеств: $([-4, 25) \cap (-\infty, -4)) \cup ([-4, 25) \cap (22, \infty))$.
Первое пересечение пустое. Второе пересечение дает $(22, 25)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (22, 25)$.

3) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 25 \le 0 \\ x^2 + 2x - 8 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 25 \le 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) \le 0$.
Корни уравнения $x^2-25=0$ равны $x_1=-5$, $x_2=5$. Ветви параболы $y=x^2-25$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 8 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-8$. Корни $x_1=-4$, $x_2=2$.
Неравенство можно записать как $(x+4)(x-2) > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.
Пересечение $[-5, 5]$ с $(-\infty, -4)$ дает $[-5, -4)$.
Пересечение $[-5, 5]$ с $(2, \infty)$ дает $(2, 5]$.
Объединяя эти два интервала, получаем решение системы.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in [-5, -4) \cup (2, 5]$.

4) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 18 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - x - 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2-x-2=0$: $x_1=-1$, $x_2=2$. Неравенство $(x+1)(x-2) \ge 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 18 < 0$.
Корни уравнения $x^2-3x-18=0$: $x_1=-3$, $x_2=6$. Неравенство $(x+3)(x-6) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-3, 6)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-3, 6)$.
Пересечение $(-3, 6)$ с $(-\infty, -1]$ дает $(-3, -1]$.
Пересечение $(-3, 6)$ с $[2, \infty)$ дает $[2, 6)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-3, -1] \cup [2, 6)$.

5) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 15 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ge 0$.
Корни $x_1=-2, x_2=2$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 15 < 0$.
Корни уравнения $x^2-2x-15=0$: $x_1=-3$, $x_2=5$. Неравенство $(x+3)(x-5) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-3, 5)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-3, 5)$.
Пересечение $(-3, 5)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-3, -2]$.
Пересечение $(-3, 5)$ с $[2, \infty)$ дает $[2, 5)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, 5)$.

6) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1=-2$, $x_2=1$. Неравенство $(x+2)(x-1) \ge 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.
Корни уравнения $x^2+3x-10=0$: $x_1=-5$, $x_2=2$. Неравенство $(x+5)(x-2) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-5, 2)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ и $x \in (-5, 2)$.
Пересечение $(-5, 2)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-5, -2]$.
Пересечение $(-5, 2)$ с $[1, \infty)$ дает $[1, 2)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-5, -2] \cup [1, 2)$.

58. 1) Из пункта А в пункт В выехал автобус. Спустя 0,5 ч вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 ч после своего выхода он обогнал автобус и между ними было 2 км пути. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

2) Из пункта А в пункт В выехала грузовая автомашина. Спустя 1,2 ч вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выхода автобус отставал от машины на 24 км пути. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой автомашины на 30 км/ч.

3) Автомобиль проехал 360 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 90 км/ч. Вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля.

1)Пусть $v_б$ км/ч — скорость автобуса, тогда скорость автомобиля, которая на 20 км/ч больше, равна $(v_б + 20)$ км/ч.
Автобус выехал из пункта А. Спустя 0,5 часа за ним выехал автомобиль. Через 1,1 часа после своего выезда автомобиль обогнал автобус.
Это означает, что к моменту обгона автомобиль был в пути $t_а = 1,1$ ч.
Автобус к этому моменту был в пути на 0,5 часа дольше: $t_б = 1,1 + 0,5 = 1,6$ ч.
Расстояние, которое проехал автомобиль за свое время: $S_а = t_а \cdot (v_б + 20) = 1,1 \cdot (v_б + 20)$ км.
Расстояние, которое проехал автобус за свое время: $S_б = t_б \cdot v_б = 1,6 \cdot v_б$ км.
По условию, в момент обгона автомобиль был впереди автобуса на 2 км. Это значит, что $S_а = S_б + 2$.
Составим и решим уравнение:
$1,1 \cdot (v_б + 20) = 1,6 \cdot v_б + 2$
$1,1 v_б + 22 = 1,6 v_б + 2$
$22 - 2 = 1,6 v_б - 1,1 v_б$
$20 = 0,5 v_б$
$v_б = 20 / 0,5$
$v_б = 40$ км/ч.
Скорость автомобиля равна $40 + 20 = 60$ км/ч.
Проверим: $S_а = 60 \cdot 1,1 = 66$ км. $S_б = 40 \cdot 1,6 = 64$ км. $66 - 64 = 2$ км. Условие выполняется.
Ответ: 40 км/ч.

2)Пусть $v_г$ км/ч — скорость грузовой автомашины, тогда скорость автобуса, которая на 30 км/ч больше, равна $(v_г + 30)$ км/ч.
Грузовая машина выехала из пункта А. Спустя 1,2 часа за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда автобус отставал от машины на 24 км.
К моменту замера расстояния автобус был в пути $t_б = 0,8$ ч.
Грузовая машина к этому моменту была в пути на 1,2 часа дольше: $t_г = 0,8 + 1,2 = 2$ ч.
Расстояние, которое проехала грузовая машина: $S_г = t_г \cdot v_г = 2 \cdot v_г$ км.
Расстояние, которое проехал автобус: $S_б = t_б \cdot (v_г + 30) = 0,8 \cdot (v_г + 30)$ км.
По условию, автобус отставал от машины на 24 км. Это значит, что $S_г = S_б + 24$.
Составим и решим уравнение:
$2 \cdot v_г = 0,8 \cdot (v_г + 30) + 24$
$2 v_г = 0,8 v_г + 24 + 24$
$2 v_г - 0,8 v_г = 48$
$1,2 v_г = 48$
$v_г = 48 / 1,2$
$v_г = 40$ км/ч.
Скорость автобуса равна $v_б = v_г + 30 = 40 + 30 = 70$ км/ч.
Проверим: $S_г = 40 \cdot 2 = 80$ км. $S_б = 70 \cdot 0,8 = 56$ км. $80 - 56 = 24$ км. Условие выполняется.
Ответ: 70 км/ч.

3)Средняя скорость движения вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.
Общий путь $S_{общ} = 360$ км.
Первая половина пути: $S_1 = 360 / 2 = 180$ км. Скорость на этом участке $v_1 = 90$ км/ч.
Вторая половина пути: $S_2 = 360 / 2 = 180$ км. Скорость на этом участке $v_2 = 60$ км/ч.
Найдем время, затраченное на каждый участок:
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{180}{90} = 2$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{180}{60} = 3$ ч.
Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 2 + 3 = 5$ ч.
Теперь можем рассчитать среднюю скорость на всем пути:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{360}{5} = 72$ км/ч.
Ответ: 72 км/ч.

59. 1) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 24 ч. Если первый рабочий, работая один, может выполнить половину задания, а затем его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 49 ч. За какое время каждый из них выполнит задание, работая по одному?

2) Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. Если сначала будет работать только одна из них и выполнит половину всего задания, а затем ее сменит другая бригада, то все задание будет выполнено за 25 дней. За какое время каждая бригада может выполнить это задание?

59. 1)

Пусть $x$ — время в часах, за которое первый рабочий выполнит все задание, работая один, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий выполнит все задание, работая один.

Тогда производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ задания в час, а второго — $\frac{1}{y}$ задания в час.

Когда они работают вместе, их общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. По условию, вместе они выполняют задание за 24 часа. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 24 = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}$

По второму условию, первый рабочий выполняет половину задания, а затем второй рабочий выполняет вторую половину. Время, затраченное первым рабочим на половину задания, равно $\frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов. Время, затраченное вторым рабочим, равно $\frac{0.5}{1/y} = 0.5y$ часов. Общее время составляет 49 часов. Составим второе уравнение:

$0.5x + 0.5y = 49$

$x + y = 98$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \\ x + y = 98 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 98 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{98 - x} = \frac{1}{24}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{98 - x + x}{x(98 - x)} = \frac{1}{24}$

$\frac{98}{98x - x^2} = \frac{1}{24}$

$98 \cdot 24 = 98x - x^2$

$2352 = 98x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 98x + 2352 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2352 = 9604 - 9408 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{98 + 14}{2} = \frac{112}{2} = 56$

$x_2 = \frac{98 - 14}{2} = \frac{84}{2} = 42$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 56$, то $y_1 = 98 - 56 = 42$.

Если $x_2 = 42$, то $y_2 = 98 - 42 = 56$.

Таким образом, один рабочий может выполнить задание за 42 часа, а другой — за 56 часов.

Ответ: первый рабочий выполнит задание за 42 часа, а второй — за 56 часов (или наоборот).

59. 2)

Эта задача по своей структуре аналогична предыдущей.

Пусть $x$ — время в днях, за которое первая бригада выполнит всю работу, а $y$ — время, за которое вторая бригада выполнит всю работу.

Производительность первой бригады — $\frac{1}{x}$ работы в день, второй — $\frac{1}{y}$ работы в день.

Работая вместе, они выполняют работу за 12 дней. Их общая производительность — $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 12 = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

По второму условию, одна из бригад выполняет половину работы, а затем другая — вторую половину. Время выполнения половины работы первой бригадой — $0.5x$ дней, второй — $0.5y$ дней. Общее время — 25 дней. Составим второе уравнение:

$0.5x + 0.5y = 25$

$x + y = 50$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 50 - x$. Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

$50 \cdot 12 = 50x - x^2$

$600 = 50x - x^2$

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 50, а их произведение — 600. Легко подобрать числа 20 и 30. $20+30=50$, $20 \cdot 30 = 600$.

Либо решим через дискриминант:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 30$, то $y_1 = 50 - 30 = 20$.

Если $x_2 = 20$, то $y_2 = 50 - 20 = 30$.

Следовательно, одна бригада может выполнить работу за 20 дней, а другая — за 30 дней.

Ответ: первая бригада выполнит задание за 20 дней, а вторая — за 30 дней (или наоборот).