Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*44. Найдите значения параметра a, при которых имеет действительные корни уравнение:

1) $x^2 - 2(a - 2)x + a = 0;$

2) $x^2 + 2(a - 4)x + 4 - a = 0;$

3) $x^2 - 2(a + 3)x + 4a - 1 = 0;$

4) $x^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 4 = 0.$

1)Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Для уравнения $x^2 - 2(a - 2)x + a = 0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=-2(a-2)$, $C=a$. Поскольку коэффициент $B$ является четным числом, удобнее вычислить четверть дискриминанта $D/4 = (B/2)^2 - AC$.
$D/4 = (-(a-2))^2 - 1 \cdot a = (a-2)^2 - a = a^2 - 4a + 4 - a = a^2 - 5a + 4$.
Условие наличия действительных корней $D/4 \ge 0$ принимает вид:
$a^2 - 5a + 4 \ge 0$.
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $a_1=1$ и $a_2=4$. Парабола $y=a^2 - 5a + 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится за пределами интервала между корнями. Следовательно, $a \le 1$ или $a \ge 4$.
Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

2)Рассмотрим уравнение $x^2 + 2(a - 4)x + 4 - a = 0$. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$). Вычислим четверть дискриминанта $D/4$:
$D/4 = (a-4)^2 - 1 \cdot (4 - a) = (a^2 - 8a + 16) - 4 + a = a^2 - 7a + 12$.
Решим неравенство $D/4 \ge 0$:
$a^2 - 7a + 12 \ge 0$.
Корни уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$ по теореме Виета равны $a_1=3$ и $a_2=4$. Парабола $y = a^2 - 7a + 12$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство справедливо для значений $a$ вне интервала между корнями. Таким образом, $a \le 3$ или $a \ge 4$.
Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$.

3)Рассмотрим уравнение $x^2 - 2(a + 3)x + 4a - 1 = 0$. Найдем четверть дискриминанта $D/4$:
$D/4 = (-(a+3))^2 - 1 \cdot (4a - 1) = (a+3)^2 - 4a + 1 = a^2 + 6a + 9 - 4a + 1 = a^2 + 2a + 10$.
Решим неравенство $D/4 \ge 0$:
$a^2 + 2a + 10 \ge 0$.
Рассмотрим левую часть неравенства как квадратичную функцию от $a$: $y(a) = a^2 + 2a + 10$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D_a = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$. Поскольку дискриминант $D_a$ отрицателен, а старший коэффициент (при $a^2$) положителен, парабола $y(a)$ полностью расположена выше оси абсцисс, и, следовательно, выражение $a^2 + 2a + 10$ всегда положительно. Другой способ это показать — выделить полный квадрат: $a^2 + 2a + 10 = (a^2 + 2a + 1) + 9 = (a + 1)^2 + 9$. Так как $(a + 1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a + 1)^2 + 9 \ge 9$. Таким образом, неравенство $a^2 + 2a + 10 \ge 0$ выполняется при любых действительных значениях $a$.
Ответ: $a \in (-\infty, +\infty)$.

4)Рассмотрим уравнение $x^2 + 4(a - 5)x + 4a^2 - 4 = 0$. Вычислим четверть дискриминанта $D/4$. Здесь коэффициент при $x$ равен $B=4(a-5)$, поэтому $B/2 = 2(a-5)$.
$D/4 = (2(a-5))^2 - 1 \cdot (4a^2 - 4) = 4(a-5)^2 - 4a^2 + 4$.
Раскроем скобки:
$D/4 = 4(a^2 - 10a + 25) - 4a^2 + 4 = 4a^2 - 40a + 100 - 4a^2 + 4 = -40a + 104$.
Условие $D/4 \ge 0$ принимает вид:
$-40a + 104 \ge 0$.
Это линейное неравенство. Решим его относительно $a$:
$104 \ge 40a$
$a \le \frac{104}{40}$.
Сократим дробь: $a \le \frac{26}{10}$, то есть $a \le 2.6$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2.6]$.

45. Способом введения новой переменной решите уравнение:

1) $(x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 30;$

2) $(x + 2)^2 (x^2 + 4x) = 21;$

3) $(x^2 - 4x + 3) (x^2 - 4x - 1) = 5;$

4) $(x^2 + 3x + 3) (x^2 + 3x + 1) = -1;$

5) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0;$

6) $x^4 - x^2 - 56 = 0;$

7) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12;$

8) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16;$

9) $(x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x - 1) = 12;$

10) $(x^2 - 3x + 3) (x^2 - 3x + 1) = -1;$

11) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0;$

12) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0.$

1) $(x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 30$

Раскроем скобки $(x - 1)^2$, получим $x^2 - 2x + 1$. Уравнение примет вид:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 2x) = 30$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение переписывается как:

$(t + 1)t = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Выполним обратную замену:

а) Если $t = 5$, то $x^2 - 2x = 5$, или $x^2 - 2x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24$.

Корни $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

б) Если $t = -6$, то $x^2 - 2x = -6$, или $x^2 - 2x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(6) = 4 - 24 = -20$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $1 \pm \sqrt{6}$.

2) $(x + 2)^2 (x^2 + 4x) = 21$

Раскроем скобки $(x + 2)^2$, получим $x^2 + 4x + 4$. Уравнение примет вид:

$(x^2 + 4x + 4)(x^2 + 4x) = 21$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 4x$. Тогда:

$(t + 4)t = 21$

$t^2 + 4t - 21 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -7$.

Выполним обратную замену:

а) Если $t = 3$, то $x^2 + 4x = 3$, или $x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$.

б) Если $t = -7$, то $x^2 + 4x = -7$, или $x^2 + 4x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(7) = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-2 \pm \sqrt{7}$.

3) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4x - 1) = 5$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 4x$. Тогда:

$(t + 3)(t - 1) = 5$

$t^2 + 2t - 3 = 5$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

а) $x^2 - 4x = 2 \Rightarrow x^2 - 4x - 2 = 0$. $D = (-4)^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24$. $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

б) $x^2 - 4x = -4 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2$.

Ответ: $2; 2 \pm \sqrt{6}$.

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

$t^2 + 4t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

$(t + 2)^2 = 0$

Отсюда $t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 + 3x = -2 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-1; -2$.

5) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$.

6) $x^4 - x^2 - 56 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -7$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 8$.

Выполним обратную замену: $x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

7) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$

Заметим, что $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Уравнение примет вид:

$(x + 1)^4 - (x + 1)^2 - 12 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = (x + 1)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $(x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2$.

а) $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$.

б) $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$.

Ответ: $1; -3$.

8) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$

Преобразуем выражение $x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Уравнение примет вид: $(x - 2)^4 + (x - 2)^2 - 4 = 16$, или $(x - 2)^4 + (x - 2)^2 - 20 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = (x-2)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + t - 20 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $(x - 2)^2 = 4 \Rightarrow x - 2 = \pm 2$.

а) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$.

б) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0$.

Ответ: $0; 4$.

9) $(x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 1) = 12$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда:

$(t + 3)(t - 1) = 12$

$t^2 + 2t - 3 = 12$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

а) $x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3, x_2 = -1$.

б) $x^2 - 2x = -5 \Rightarrow x^2 - 2x + 5 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0$, корней нет.

Ответ: $3; -1$.

10) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x + 1) = -1$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

$t^2 + 4t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

$(t + 2)^2 = 0 \Rightarrow t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 - 3x = -2 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

11) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2 \ne 0$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) + (2x + \frac{4}{x}) - 11 = 0$, или $(x^2 + (\frac{2}{x})^2) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{2}{x}$. Тогда $t^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение: $(t^2 - 4) + 2t - 11 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 15 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

а) $x + \frac{2}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 2$.

б) $x + \frac{2}{x} = -5 \Rightarrow x^2 + 5x + 2 = 0$. $D = 5^2 - 4(2) = 17$. Корни $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

12) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2 \ne 0$:

$x^2 - 2x - 23 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{16}{x^2}) - (2x - \frac{8}{x}) - 23 = 0$, или $(x^2 + (\frac{4}{x})^2) - 2(x - \frac{4}{x}) - 23 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x - \frac{4}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{16}{x^2} = t^2 + 8$.

Подставим в уравнение: $(t^2 + 8) - 2t - 23 = 0 \Rightarrow t^2 - 2t - 15 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

а) $x - \frac{4}{x} = 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 4 = 0$. $D = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 41$. Корни $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

б) $x - \frac{4}{x} = -3 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x_3 = 1, x_4 = -4$.

Ответ: $1; -4; \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

*46. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 12 = 0;$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0;$

3) $x^2 - \sqrt{x^2} - 20 = 0;$

4) $x^2 - 7\sqrt{x^2} - 8 = 0;$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{4 - x} = 0;$

6) $(x^2 - 49)\sqrt{8 - 2x} = 0;$

7) $(81 - x^2)\sqrt{9 - 2x} = 0;$

8) $(144 - x^2)\sqrt{5x - 15} = 0.$

1) $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 12 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Упростим уравнение, учитывая, что $(\sqrt{x})^2 = x$ при $x \ge 0$: $x^2 - 4x - 12 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$. $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому это посторонний корень. Единственным решением является $x = 6$.

Ответ: $6$

2) $x^2 - 2(\sqrt{x - 2})^2 - 7 = 0$

ОДЗ: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Упростим уравнение: $(\sqrt{x - 2})^2 = x - 2$. $x^2 - 2(x - 2) - 7 = 0$ $x^2 - 2x + 4 - 7 = 0$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ $x_1 \cdot x_2 = -3$ Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$). $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$. $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 2$. Решением является $x = 3$.

Ответ: $3$

3) $x^2 - \sqrt{x^2} - 20 = 0$

ОДЗ: $x^2 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$. Упростим уравнение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $x^2 - |x| - 20 = 0$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 - t - 20 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$ $t_1 \cdot t_2 = -20$ Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$. Так как $t = |x| \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Остается $t_1 = 5$. Сделаем обратную замену: $|x| = 5$. Отсюда $x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $-5; 5$

4) $x^2 - 7\sqrt{x^2} - 8 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Упростим, используя $\sqrt{x^2} = |x|$ и $x^2 = |x|^2$: $|x|^2 - 7|x| - 8 = 0$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 - 7t - 8 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ $t_1 \cdot t_2 = -8$ Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t_1 = 8$. Обратная замена: $|x| = 8$. Следовательно, $x = 8$ или $x = -8$.

Ответ: $-8; 8$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{4 - x} = 0$

ОДЗ: $4 - x \ge 0$, то есть $x \le 4$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. 1) $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$. 2) $\sqrt{4 - x} = 0 \Rightarrow 4 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 4$. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$). $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($5 > 4$). $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ ($-5 \le 4$). $x_3 = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \le 4$). Решениями являются $x = -5$ и $x = 4$.

Ответ: $-5; 4$

6) $(x^2 - 49)\sqrt{8 - 2x} = 0$

ОДЗ: $8 - 2x \ge 0 \Rightarrow 8 \ge 2x \Rightarrow x \le 4$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7$. 2) $\sqrt{8 - 2x} = 0 \Rightarrow 8 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_3 = 4$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$). $x_1 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ ($7 > 4$). $x_2 = -7$ удовлетворяет ОДЗ ($-7 \le 4$). $x_3 = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \le 4$). Решения: $x = -7$ и $x = 4$.

Ответ: $-7; 4$

7) $(81 - x^2)\sqrt{9 - 2x} = 0$

ОДЗ: $9 - 2x \ge 0 \Rightarrow 9 \ge 2x \Rightarrow x \le 4.5$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $81 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x_1 = 9, x_2 = -9$. 2) $\sqrt{9 - 2x} = 0 \Rightarrow 9 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x_3 = 4.5$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4.5$). $x_1 = 9$ не удовлетворяет ОДЗ ($9 > 4.5$). $x_2 = -9$ удовлетворяет ОДЗ ($-9 \le 4.5$). $x_3 = 4.5$ удовлетворяет ОДЗ ($4.5 \le 4.5$). Решения: $x = -9$ и $x = 4.5$.

Ответ: $-9; 4.5$

8) $(144 - x^2)\sqrt{5x - 15} = 0$

ОДЗ: $5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3$. Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $144 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x_1 = 12, x_2 = -12$. 2) $\sqrt{5x - 15} = 0 \Rightarrow 5x - 15 = 0 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x_3 = 3$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$). $x_1 = 12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 3$). $x_2 = -12$ не удовлетворяет ОДЗ ($-12 < 3$). $x_3 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 3$). Решения: $x = 3$ и $x = 12$.

Ответ: $3; 12$

47. Постройте график функции $y = f(x)$. Найдите координаты точек пересечения с осью $Ox$ и осью $Oy$ графика функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x - 1,5$;

2) $f(x) = 2x + 0,5$;

3) $f(x) = |x|$;

4) $f(x) = |x| - 1$;

5) $f(x) = x^2 - 2$;

6) $f(x) = x^2 + 1,5$;

7) $f(x) = -x^2 + 4$;

8) $f(x) = -x^2 + 2,5$;

9) $f(x) = x^2 - 2$;

10) $f(x) = 2x + x^2$;

11) $f(x) = -1\frac{1}{3}x + 3x^2$;

12) $f(x) = 1,25x + 5x^2$.

1) $f(x) = x - 1,5$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy (ось ординат): для этого подставляем $x = 0$ в уравнение функции.

$y = f(0) = 0 - 1,5 = -1,5$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1,5)$.

2. С осью Ox (ось абсцисс): для этого решаем уравнение $f(x) = 0$.

$x - 1,5 = 0 \implies x = 1,5$

Точка пересечения с осью Ox: $(1,5; 0)$.

Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже нашли точки пересечения с осями: $(1,5; 0)$ и $(0; -1,5)$. Проведем через них прямую.

Ответ: точка пересечения с осью Ox: $(1,5; 0)$; с осью Oy: $(0; -1,5)$.

2) $f(x) = 2x + 0,5$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 2 \cdot 0 + 0,5 = 0,5$. Точка $(0; 0,5)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 2x + 0,5 = 0 \implies 2x = -0,5 \implies x = -0,25$. Точка $(-0,25; 0)$.

Построение графика:

Проведем прямую через точки $(-0,25; 0)$ и $(0; 0,5)$.

Ответ: точка пересечения с осью Ox: $(-0,25; 0)$; с осью Oy: $(0; 0,5)$.

3) $f(x) = |x|$

Это функция модуля. Ее график имеет V-образную форму.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = |0| = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$. Точка $(0; 0)$.

График пересекает обе оси в начале координат.

Построение графика:

График состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0; 0)$.

Ответ: точка пересечения с осями Ox и Oy: $(0; 0)$.

4) $f(x) = |x| - 1$

Это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу вниз. График также имеет V-образную форму.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = |0| - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies |x| - 1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$. Точки $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Построение графика:

Вершина графика находится в точке $(0; -1)$. График проходит через точки $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$; с осью Oy: $(0; -1)$.

5) $f(x) = x^2 - 2$

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$. Это также вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Точки $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$; с осью Oy: $(0; -2)$.

6) $f(x) = x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 + 1,5 = 1,5$. Точка $(0; 1,5)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 + 1,5 = 0 \implies x^2 = -1,5$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; 1,5)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: точек пересечения с осью Ox нет; с осью Oy: $(0; 1,5)$.

7) $f(x) = -x^2 + 4$

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = -0^2 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies -x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$. Точки $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(2; 0)$ и $(-2; 0)$; с осью Oy: $(0; 4)$.

8) $f(x) = -x^2 + 2,5$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вниз ($a=-1<0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = -0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка $(0; 2,5)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies -x^2 + 2,5 = 0 \implies x^2 = 2,5 \implies x = \sqrt{2,5}$ или $x = -\sqrt{2,5}$. Точки $(\sqrt{2,5}; 0)$ и $(-\sqrt{2,5}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в $(0; 2,5)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2,5}, 0) \approx (1.58, 0)$ и $(-\sqrt{2,5}, 0) \approx (-1.58, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2,5}; 0)$ и $(-\sqrt{2,5}; 0)$; с осью Oy: $(0; 2,5)$.

9) $f(x) = x^2 - 2$

Это задание идентично заданию 5.

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$. Это также вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Точки $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$; с осью Oy: $(0; -2)$.

10) $f(x) = 2x + x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = x^2 + 2x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ или $x = -2$. Точки $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.

$y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Вершина находится в точке $(-1; -1)$. График проходит через точки $(0;0)$ и $(-2;0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.

11) $f(x) = -1\frac{1}{3}x + 3x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 3x^2 - \frac{4}{3}x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=3>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 3x^2 - \frac{4}{3}x = 0 \implies x(3x - \frac{4}{3}) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $3x = \frac{4}{3} \implies x = \frac{4}{9}$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{9}; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-\frac{4}{3})/(2 \cdot 3) = \frac{4}{3} / 6 = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.

$y_v = f(\frac{2}{9}) = 3(\frac{2}{9})^2 - \frac{4}{3}(\frac{2}{9}) = 3 \cdot \frac{4}{81} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27} - \frac{8}{27} = -\frac{4}{27}$.

Вершина находится в точке $(\frac{2}{9}; -\frac{4}{27}) \approx (0.22; -0.15)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{9}; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.

12) $f(x) = 1,25x + 5x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 5x^2 + 1,25x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=5>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 5x^2 + 1,25x = 0 \implies x(5x + 1,25) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $5x = -1,25 \implies x = -0,25$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-0,25; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -1,25/(2 \cdot 5) = -1,25/10 = -0,125$.

$y_v = f(-0,125) = 5(-0,125)^2 + 1,25(-0,125) = 5(0,015625) - 0,15625 = 0,078125 - 0,15625 = -0,078125$.

Вершина находится в точке $(-0,125; -0,078125)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-0,25; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.