Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

48. Используя график функции $y = f(x)$, найдите, при каких значениях переменной функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения;

в) наибольшее или наименьшее значение (рис. 1—4):

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 1

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси абсцисс (оси $x$). Из графика видно, что это происходит при значениях $x$ левее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x < 2$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси абсцисс. Это происходит при значениях $x$ правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 2$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

в) График функции — прямая линия, которая неограниченно продолжается вверх (при $x \to -\infty$) и вниз (при $x \to +\infty$). Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Рис. 2

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график (парабола) находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x$, то есть между $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-1; 3)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит левее точки $x = -1$ и правее точки $x = 3$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

в) График функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Она имеет наибольшее значение в своей вершине. Из графика видно, что вершина находится в точке $(1; 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4. Наименьшего значения у функции нет, так как ветви уходят в $-\infty$.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения нет.

Рис. 3

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси $x$. Левая ветвь графика (при $x < -2$) целиком расположена выше оси $x$ (и даже выше прямой $y=1$). Правая ветвь (при $x > -2$) пересекает ось $x$ в точке, которая по графику определяется как $x=-1$. Правее этой точки ($x > -1$) график также находится выше оси $x$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит на правой ветви графика, на интервале между вертикальной асимптотой $x=-2$ и точкой пересечения с осью $x$ ($x=-1$).
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-2; -1)$.

в) У функции есть вертикальная асимптота $x=-2$. При приближении к этой асимптоте слева ($x \to -2^-$) значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при приближении справа ($x \to -2^+$) — неограниченно убывают ($y \to -\infty$). Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Рис. 4

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси $x$. Из графика видно, что он пересекает ось $x$ в точке $x=2$ и правее этой точки расположен выше оси.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит на участке от начальной точки области определения $x=-2$ до точки пересечения с осью $x$ ($x=2$). В точке $x=-2$ значение функции равно -2 (отрицательное), а в точке $x=2$ значение равно 0.
Ответ: $y < 0$ при $x \in [-2; 2)$.

в) График функции начинается в точке $(-2; -2)$ и неограниченно возрастает. Следовательно, у функции есть наименьшее значение, но нет наибольшего. Наименьшее значение достигается в начальной точке.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшего значения нет.

49. Постройте график функции $y = f(x)$. Используя этот график, найдите, при каких значениях переменной функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения;

в) наибольшее или наименьшее значение:

1) $f(x) = x^2 + 2$;

2) $f(x) = 2x^2 - 2,5$;

3) $f(x) = -4x^2 + 4$;

4) $f(x) = -1,5x^2 - 3$;

5) $f(x) = 2x - 3x^2$;

6) $f(x) = x - 4x^2$;

7) $f(x) = 4x^2 - 8x$;

8) $f(x) = x^2 - 6x$;

9) $f(x) = 6x^2 - 2x - 3$;

10) $f(x) = 3 - 4x + 2x^2$;

11) $f(x) = x^2 - 3x + 2$;

12) $f(x) = 2 - 2x - x^2$;

1) $f(x) = x^2 + 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=0, c=2$. Графиком является парабола.
1. Коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_v = f(0) = 0^2 + 2 = 2$.
Вершина находится в точке $(0, 2)$.
3. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: $x=0, y=f(0)=2$. Точка $(0, 2)$.
С осью OX: $y=0 \implies x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$. Действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.
4. Построим график функции, используя вершину и несколько дополнительных точек, например, $f(1) = 1^2+2=3$ и $f(2) = 2^2+2=6$.

Используя график, находим:
а) положительные значения: так как вся парабола лежит выше оси OX, функция принимает положительные значения при всех значениях $x$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
б) отрицательные значения: нет таких значений $x$, при которых функция принимала бы отрицательные значения.
в) наибольшее или наименьшее значение: функция имеет наименьшее значение в вершине параболы. Наименьшее значение равно 2. Наибольшего значения не существует.

Ответ: а) $x \in (-\infty; +\infty)$; б) нет таких значений $x$; в) наименьшее значение $y_{min}=2$.

2) $f(x) = 2x^2 - 2,5$

Это квадратичная функция с $a=2, b=0, c=-2,5$.
1. $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = 0$, $y_v = f(0) = -2,5$. Точка $(0, -2,5)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, -2,5)$.
С OX: $2x^2 - 2,5 = 0 \implies 2x^2 = 2,5 \implies x^2 = 1,25 \implies x = \pm\sqrt{1,25} = \pm\sqrt{5/4} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$. Точки $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$. ($\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,12$)
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2})$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=-2,5$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; +\infty)$; б) $x \in (-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2})$; в) наименьшее значение $y_{min}=-2,5$.

3) $f(x) = -4x^2 + 4$

Это квадратичная функция с $a=-4, b=0, c=4$.
1. $a=-4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина: $x_v = 0$, $y_v = f(0) = 4$. Точка $(0, 4)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 4)$.
С OX: $-4x^2 + 4 = 0 \implies 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-1; 1)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наибольшее значение $y_{max}=4$.

Ответ: а) $x \in (-1; 1)$; б) $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; в) наибольшее значение $y_{max}=4$.

4) $f(x) = -1,5x^2 - 3$

Это квадратичная функция с $a=-1,5, b=0, c=-3$.
1. $a=-1,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина: $x_v = 0$, $y_v = f(0) = -3$. Точка $(0, -3)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, -3)$.
С OX: $-1,5x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = -2$. Действительных корней нет.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: нет таких значений $x$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наибольшее значение $y_{max}=-3$.

Ответ: а) нет таких значений $x$; б) $x \in (-\infty; +\infty)$; в) наибольшее значение $y_{max}=-3$.

5) $f(x) = 2x - 3x^2 = -3x^2 + 2x$

Это квадратичная функция с $a=-3, b=2, c=0$.
1. $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина: $x_v = -\frac{2}{2(-3)} = \frac{1}{3}$. $y_v = f(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $x=0, y=0$. Точка $(0, 0)$.
С OX: $x(2 - 3x) = 0 \implies x_1=0, x_2=\frac{2}{3}$. Точки $(0, 0)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (0; \frac{2}{3})$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{3}$.

Ответ: а) $x \in (0; \frac{2}{3})$; б) $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$; в) наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{3}$.

6) $f(x) = x - 4x^2 = -4x^2 + x$

Это квадратичная функция с $a=-4, b=1, c=0$.
1. $a=-4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина: $x_v = -\frac{1}{2(-4)} = \frac{1}{8}$. $y_v = f(\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} - 4(\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{8} - \frac{4}{64} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$. Точка $(\frac{1}{8}, \frac{1}{16})$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 0)$.
С OX: $x(1 - 4x) = 0 \implies x_1=0, x_2=\frac{1}{4}$. Точки $(0, 0)$ и $(\frac{1}{4}, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (0; \frac{1}{4})$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{16}$.

Ответ: а) $x \in (0; \frac{1}{4})$; б) $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$; в) наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{16}$.

7) $f(x) = 4x^2 - 8x$

Это квадратичная функция с $a=4, b=-8, c=0$.
1. $a=4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-8}{2(4)} = 1$. $y_v = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) = -4$. Точка $(1, -4)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 0)$.
С OX: $4x(x - 2) = 0 \implies x_1=0, x_2=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (0; 2)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=-4$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$; б) $x \in (0; 2)$; в) наименьшее значение $y_{min}=-4$.

8) $f(x) = x^2 - 6x$

Это квадратичная функция с $a=1, b=-6, c=0$.
1. $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-6}{2(1)} = 3$. $y_v = f(3) = 3^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$. Точка $(3, -9)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 0)$.
С OX: $x(x - 6) = 0 \implies x_1=0, x_2=6$. Точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (0; 6)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=-9$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$; б) $x \in (0; 6)$; в) наименьшее значение $y_{min}=-9$.

9) $f(x) = 6x^2 - 2x - 3$

Это квадратичная функция с $a=6, b=-2, c=-3$.
1. $a=6 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-2}{2(6)} = \frac{1}{6}$. $y_v = 6(\frac{1}{6})^2 - 2(\frac{1}{6}) - 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} - 3 = -\frac{19}{6} \approx -3.17$. Точка $(\frac{1}{6}, -\frac{19}{6})$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, -3)$.
С OX: $6x^2 - 2x - 3 = 0$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(6)(-3)}}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{19}}{6} \approx -0.56$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{19}}{6} \approx 0.89$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1 - \sqrt{19}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{19}}{6}; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (\frac{1 - \sqrt{19}}{6}; \frac{1 + \sqrt{19}}{6})$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=-\frac{19}{6}$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; \frac{1 - \sqrt{19}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{19}}{6}; +\infty)$; б) $x \in (\frac{1 - \sqrt{19}}{6}; \frac{1 + \sqrt{19}}{6})$; в) наименьшее значение $y_{min}=-\frac{19}{6}$.

10) $f(x) = 3 - 4x + 2x^2 = 2x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция с $a=2, b=-4, c=3$.
1. $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2(2)} = 1$. $y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 3)$.
С OX: $2x^2 - 4x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$. Действительных корней нет.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
б) отрицательные значения: нет таких значений $x$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=1$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; +\infty)$; б) нет таких значений $x$; в) наименьшее значение $y_{min}=1$.

11) $f(x) = x^2 - 3x + 2$

Это квадратичная функция с $a=1, b=-3, c=2$.
1. $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-3}{2(1)} = 1,5$. $y_v = (1,5)^2 - 3(1,5) + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = -0,25$. Точка $(1,5, -0,25)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 2)$.
С OX: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2)=0 \implies x_1=1, x_2=2$. Точки $(1, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (1; 2)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наименьшее значение $y_{min}=-0,25$.

Ответ: а) $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$; б) $x \in (1; 2)$; в) наименьшее значение $y_{min}=-0,25$.

12) $f(x) = 2 - 2x - x^2 = -x^2 - 2x + 2$

Это квадратичная функция с $a=-1, b=-2, c=2$.
1. $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина: $x_v = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$. $y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
3. Пересечения с осями:
С OY: $(0, 2)$.
С OX: $-x^2 - 2x + 2 = 0 \implies x^2 + 2x - 2 = 0$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = -1 - \sqrt{3} \approx -2.73$, $x_2 = -1 + \sqrt{3} \approx 0.73$.
4. Построим график.

Используя график, находим:
а) положительные значения: $y > 0$ при $x \in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$.
б) отрицательные значения: $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.
в) наибольшее или наименьшее значение: наибольшее значение $y_{max}=3$.

Ответ: а) $x \in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$; б) $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$; в) наибольшее значение $y_{max}=3$.