Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

38. Приведите пример уравнения вида $x^2 + n = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

1) имеет два целых корня;
Уравнение вида $x^2 + n = 0$ можно переписать как $x^2 = -n$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы уравнение имело два целых корня, необходимо, чтобы выражение $\sqrt{-n}$ было целым числом, отличным от нуля. Пусть $\sqrt{-n} = k$, где $k$ – целое число и $k \neq 0$.
Тогда $-n = k^2$, или $n = -k^2$.
Выберем любое целое число для $k$, например, $k = 3$.
Тогда $n = -3^2 = -9$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - 9 = 0$.
Решим его: $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба корня являются целыми числами.
Ответ: $x^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы корни были рациональными, выражение $\sqrt{-n}$ должно быть рациональным числом, отличным от нуля. Пусть $\sqrt{-n} = q$, где $q$ – рациональное число и $q \neq 0$.
Тогда $n = -q^2$.
Выберем любое рациональное, но не целое число для $q$, например, $q = \frac{2}{5}$.
Тогда $n = -(\frac{2}{5})^2 = -\frac{4}{25}$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - \frac{4}{25} = 0$.
Решим его: $x^2 = \frac{4}{25}$, откуда $x_1 = \frac{2}{5}$ и $x_2 = -\frac{2}{5}$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 - \frac{4}{25} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы корни были иррациональными, выражение $\sqrt{-n}$ должно быть иррациональным числом. Это означает, что число $-n$ должно быть положительным и не являться полным квадратом рационального числа.
Выберем для $-n$ любое положительное число, которое не является полным квадратом, например, $-n = 5$.
Тогда $n = -5$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - 5 = 0$.
Решим его: $x^2 = 5$, откуда $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$. Оба корня являются иррациональными числами.
Ответ: $x^2 - 5 = 0$.

4) не имеет действительных корней.
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Уравнение не имеет действительных корней, если подкоренное выражение отрицательно, то есть $-n < 0$.
Это неравенство эквивалентно $n > 0$.
Выберем любое положительное число для $n$, например, $n = 4$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 + 4 = 0$.
Перепишем его как $x^2 = -4$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

39. Приведите пример уравнения вида $(x - a)^2 + n = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

Рассмотрим общее уравнение вида $(x-a)^2 + n = 0$.

Преобразуем его, перенеся $n$ в правую часть: $(x-a)^2 = -n$.

Уравнение имеет действительные корни только в том случае, если его правая часть $(-n)$ неотрицательна, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. То есть, должно выполняться условие $-n \ge 0$, или $n \le 0$.

Если $n \le 0$, то корни уравнения находятся по формуле: $x - a = \pm\sqrt{-n}$, откуда $x = a \pm\sqrt{-n}$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = a + \sqrt{-n}$ и $x_2 = a - \sqrt{-n}$.

1) имеет два целых корня;

Для того чтобы оба корня $x = a \pm\sqrt{-n}$ были целыми, необходимо, чтобы $a$ было целым числом и $\sqrt{-n}$ также было целым числом. Для этого, в свою очередь, число $-n$ должно быть полным квадратом некоторого целого числа, отличного от нуля (чтобы было два различных корня).

Выберем в качестве $a$ целое число, например, $a = 2$.

Выберем $-n$ так, чтобы оно было полным квадратом, например, $-n = 9$. Отсюда $n = -9$.

Подставим эти значения в исходный вид уравнения: $(x-2)^2 - 9 = 0$.

Проверим корни этого уравнения: $(x-2)^2 = 9$, значит $x-2 = \pm 3$. Корни: $x_1 = 2+3=5$ и $x_2 = 2-3=-1$. Оба корня являются целыми числами.

Ответ: $(x-2)^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;

Для того чтобы оба корня $x = a \pm\sqrt{-n}$ были рациональными, необходимо, чтобы $a$ было рациональным числом и $\sqrt{-n}$ также было рациональным числом. Для этого число $-n$ должно быть квадратом некоторого рационального числа, отличного от нуля.

Выберем $a$ как рациональное число, например, $a = \frac{1}{3}$.

Выберем $-n$ как квадрат рационального числа, например, $-n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $n = -\frac{1}{4}$.

Подставим значения в уравнение: $(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{4} = 0$.

Проверим корни: $(x-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{4}$, значит $x-\frac{1}{3} = \pm\frac{1}{2}$. Корни: $x = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{2}$. Получаем $x_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$ и $x_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$. Оба корня являются рациональными.

Ответ: $(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{4} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;

Корни $x = a \pm\sqrt{-n}$ будут иррациональными, если $a$ — рациональное число, а $\sqrt{-n}$ — иррациональное. Число $\sqrt{-n}$ будет иррациональным, если $-n$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа.

Выберем $a$ как рациональное число, например, $a = 5$.

Выберем $-n$ как положительное число, не являющееся полным квадратом, например, $-n=3$. Отсюда $n = -3$.

Подставим значения в уравнение: $(x-5)^2 - 3 = 0$.

Проверим корни: $(x-5)^2 = 3$, значит $x-5 = \pm\sqrt{3}$. Корни: $x = 5 \pm\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то оба корня, $5 + \sqrt{3}$ и $5 - \sqrt{3}$, являются иррациональными.

Ответ: $(x-5)^2 - 3 = 0$.

4) не имеет действительных корней.

Как было показано ранее, уравнение $(x-a)^2 = -n$ не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна. Это происходит, когда $-n < 0$, то есть $n > 0$.

Выберем любое действительное число для $a$, например, $a = 1$.

Выберем любое положительное число для $n$, например, $n = 4$.

Подставим значения в уравнение: $(x-1)^2 + 4 = 0$.

В этом уравнении $(x-1)^2 = -4$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, у этого уравнения нет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: $(x-1)^2 + 4 = 0$.

40. Решите квадратное уравнение, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $x^2 - 8 |x| + 15 = 0;$

2) $x^2 - |x| + 2 = 0;$

3) $4 |x| - x^2 - 2x + 8 = 0;$

4) $x^2 - 2 |x - 1| - 15 = 0;$

5) $x^2 - 5 |x| + 4 = 0;$

6) $x^2 + 18 |x| + 80 = 0;$

7) $x |x| - 9x + 18 = 0;$

8) $x |x| - 15x - 54 = 0;$

9) $x^2 - \frac{12x}{|x|} + 15 = 0;$

10) $x |x| + \frac{x}{|x|} = 0.$

1) $x^2 - 8 |x| + 15 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 8 |x| + 15 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $|x|$.

Сделаем замену: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Получаем уравнение: $t^2 - 8t + 15 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

2) $|x| = 5$, откуда $x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $\{-5, -3, 3, 5\}$.

2) $x^2 - |x| + 2 = 0$

Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение: $|x|^2 - |x| + 2 = 0$.

Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t^2 - t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, уравнение относительно $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

3) $4 |x| - x^2 - 2x + 8 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$4x - x^2 - 2x + 8 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 4$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$4(-x) - x^2 - 2x + 8 = 0$

$-x^2 - 6x + 8 = 0$

$x^2 + 6x - 8 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.

Корень $x_3 = -3 + \sqrt{17}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Значит, $-3 + \sqrt{17} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < 0$.

Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17}$ очевидно отрицателен и удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем два корня.

Ответ: $\{4, -3 - \sqrt{17}\}$.

4) $x^2 - 2 |x - 1| - 15 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x - 1| = x - 1$.

$x^2 - 2(x - 1) - 15 = 0$

$x^2 - 2x + 2 - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 13 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$.

Корень $x_1 = 1 + \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14} > 0$, то $1 + \sqrt{14} > 1$, корень подходит.

Корень $x_2 = 1 - \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14} > 1$, то $1 - \sqrt{14} < 0$, что не удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.

$x^2 - 2(1 - x) - 15 = 0$

$x^2 - 2 + 2x - 15 = 0$

$x^2 + 2x - 17 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 3\sqrt{2}$.

Корень $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$. Так как $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а $\sqrt{18} > \sqrt{4} = 2$, то $-1 + 3\sqrt{2} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < 1$.

Корень $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$ очевидно меньше 1, корень подходит.

Ответ: $\{1 + \sqrt{14}, -1 - 3\sqrt{2}\}$.

5) $x^2 - 5 |x| + 4 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 5 |x| + 4 = 0$.

Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

2) $|x| = 4$, откуда $x = 4$ или $x = -4$.

Ответ: $\{-4, -1, 1, 4\}$.

6) $x^2 + 18 |x| + 80 = 0$

В левой части уравнения все слагаемые неотрицательны, так как $x^2 \ge 0$ и $18|x| \ge 0$. Более того, слагаемое 80 строго положительно.

Сумма неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна и не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

7) $x |x| - 9x + 18 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x - 9x + 18 = 0$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) - 9x + 18 = 0$

$-x^2 - 9x + 18 = 0$

$x^2 + 9x - 18 = 0$

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 81 + 72 = 153$.

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{153}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9 \cdot 17}}{2} = \frac{-9 \pm 3\sqrt{17}}{2}$.

Корень $x_3 = \frac{-9 + 3\sqrt{17}}{2}$. Так как $3\sqrt{17} = \sqrt{153}$, а $\sqrt{153} > \sqrt{81} = 9$, то $-9 + 3\sqrt{17} > 0$, что не удовлетворяет условию $x < 0$.

Корень $x_4 = \frac{-9 - 3\sqrt{17}}{2}$ очевидно отрицателен, корень подходит.

Ответ: $\{3, 6, \frac{-9 - 3\sqrt{17}}{2}\}$.

8) $x |x| - 15x - 54 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x - 15x - 54 = 0$

$x^2 - 15x - 54 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 18$ и $x_2 = -3$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 18$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) - 15x - 54 = 0$

$-x^2 - 15x - 54 = 0$

$x^2 + 15x + 54 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = -6$ и $x_4 = -9$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$.

Ответ: $\{-9, -6, 18\}$.

9) $x^2 - \frac{12x}{|x|} + 15 = 0$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.

$x^2 - \frac{12x}{x} + 15 = 0$

$x^2 - 12 + 15 = 0$

$x^2 + 3 = 0$

$x^2 = -3$. Действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x^2 - \frac{12x}{-x} + 15 = 0$

$x^2 - (-12) + 15 = 0$

$x^2 + 12 + 15 = 0$

$x^2 + 27 = 0$

$x^2 = -27$. Действительных корней нет.

Так как ни в одном из случаев нет решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

10) $x |x| + \frac{x}{|x|} = 0$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x + \frac{x}{x} = 0$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$. Действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) + \frac{x}{-x} = 0$

$-x^2 - 1 = 0$

$x^2 = -1$. Действительных корней нет.

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

41. Найдите значение суммы корней уравнения:

1) $x^2 + 2 |x| - 48 = 0;$

2) $x^2 - 2 |x| + 5x - 8 = 0;$

3) $x^2 - 2 |x - 2| - 6 = 0;$

4) $-2x^2 - 2 |x + 2| + 4 = 0.$

1) $x^2 + 2|x| - 48 = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, данное уравнение является квадратным относительно $|x|$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t^2 + 2t - 48 = 0$.
По теореме Виета, произведение корней равно $-48$, а сумма равна $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -8$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 6$.
Возвращаемся к замене: $|x| = 6$.
Отсюда получаем два корня исходного уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Сумма корней равна $6 + (-6) = 0$.
Ответ: 0.

2) $x^2 - 2|x| + 5x - 8 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2x + 5x - 8 = 0$, то есть $x^2 + 3x - 8 = 0$.
Найдем корни: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2}$, так как $\sqrt{41} > \sqrt{9} = 3$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2(-x) + 5x - 8 = 0$, то есть $x^2 + 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x = 1$ и $x = -8$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x_2 = -8$.
Сумма всех найденных корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} + (-8) = \frac{-3 + \sqrt{41} - 16}{2} = \frac{\sqrt{41} - 19}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{41} - 19}{2}$.

3) $x^2 - 2|x - 2| - 6 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2(x - 2) - 6 = 0$, что упрощается до $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Найдем корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Проверим условие $x \ge 2$: корень $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ удовлетворяет условию, так как $\sqrt{3} > 1 \implies 1+\sqrt{3}>2$. Корень $1-\sqrt{3}$ не удовлетворяет, так как он отрицателен.
Случай 2: $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2)$. Уравнение принимает вид $x^2 + 2(x - 2) - 6 = 0$, что упрощается до $x^2 + 2x - 10 = 0$.
Найдем корни: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 44$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
Проверим условие $x < 2$: корень $x_2 = -1 - \sqrt{11}$ очевидно удовлетворяет условию. Корень $-1 + \sqrt{11}$ не удовлетворяет, так как $\sqrt{11} > 3 \implies -1+\sqrt{11}>2$.
Сумма всех найденных корней: $S = x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{11}) = \sqrt{3} - \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{11}$.

4) $-2x^2 - 2|x + 2| + 4 = 0$.
Разделим все уравнение на $-2$: $x^2 + |x + 2| - 2 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge -2$. Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид $x^2 + (x + 2) - 2 = 0$, то есть $x^2 + x = 0$.
Отсюда $x(x+1)=0$, корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -2$.
Случай 2: $x < -2$. Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид $x^2 - (x + 2) - 2 = 0$, то есть $x^2 - x - 4 = 0$.
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 17$. Корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли они условию $x < -2$. Корень $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ положителен и не подходит. Проверим корень $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$: неравенство $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < -2$ эквивалентно $1 - \sqrt{17} < -4$, что равносильно $5 < \sqrt{17}$ или $25 < 17$, что неверно. Значит, этот корень также не удовлетворяет условию. В этом случае решений нет.
Следовательно, единственные корни уравнения это $0$ и $-1$. Сумма корней равна $0 + (-1) = -1$.
Ответ: -1.

42. Найдите значения параметра a, при которых равен нулю один из корней уравнения:

1) $2x^2 - 5x + 2a - 8 = 0;$

2) $x^2 - 4x + a^2 - 25 = 0;$

3) $3x^2 - (a - 2)x + 2a^2 - 8 = 0;$

4) $3x^2 - (a + 1)x + 4a^2 - 4 = 0.$

Для того чтобы один из корней квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член $C$ (член, не содержащий переменную $x$) был равен нулю. Это следует из того, что при подстановке корня $x=0$ в уравнение мы получаем $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что упрощается до $C=0$. Кроме того, для существования действительных корней дискриминант $D=B^2 - 4AC$ должен быть неотрицательным. При $C=0$ дискриминант становится $D=B^2$, что всегда неотрицательно, поэтому условие существования корней выполняется автоматически для действительных коэффициентов.

1) $2x^2 - 5x + 2a - 8 = 0$

В этом уравнении свободный член равен $2a - 8$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение параметра $a$, при котором один из корней равен нулю.

$2a - 8 = 0$

$2a = 8$

$a = 4$

При $a = 4$ уравнение принимает вид $2x^2 - 5x = 0$, или $x(2x-5)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=2.5$. Условие выполнено.

Ответ: $a = 4$.

2) $x^2 - 4x + a^2 - 25 = 0$

Свободный член этого уравнения равен $a^2 - 25$. Приравняем его к нулю.

$a^2 - 25 = 0$

Это разность квадратов: $(a - 5)(a + 5) = 0$.

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 5$ и $a_2 = -5$.

При любом из этих значений $a$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=4$. Условие выполнено.

Ответ: $a = -5; 5$.

3) $3x^2 - (a - 2)x + 2a^2 - 8 = 0$

Свободный член данного уравнения равен $2a^2 - 8$. Приравняем его к нулю.

$2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.

Проверка:
При $a = 2$ уравнение становится $3x^2 - (2-2)x + 2(2^2) - 8 = 0 \implies 3x^2 = 0$, корень $x=0$.
При $a = -2$ уравнение становится $3x^2 - (-2-2)x + 2((-2)^2) - 8 = 0 \implies 3x^2 + 4x = 0$, или $x(3x+4)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=-4/3$.
Условие выполнено для обоих значений $a$.

Ответ: $a = -2; 2$.

4) $3x^2 - (a + 1)x + 4a^2 - 4 = 0$

Свободный член уравнения равен $4a^2 - 4$. Приравняем его к нулю.

$4a^2 - 4 = 0$

$4(a^2 - 1) = 0$

$a^2 = 1$

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -1$.

Проверка:
При $a = 1$ уравнение становится $3x^2 - (1+1)x + 4(1^2) - 4 = 0 \implies 3x^2 - 2x = 0$, или $x(3x-2)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2/3$.
При $a = -1$ уравнение становится $3x^2 - (-1+1)x + 4((-1)^2) - 4 = 0 \implies 3x^2 = 0$, корень $x=0$.
Условие выполнено для обоих значений $a$.

Ответ: $a = -1; 1$.

*43. При каких значениях параметра $a$ равны по модулю, но противоположны по знаку корни уравнения:

1) $x^2 - (a - 6)x - 16 = 0$;

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$;

3) $4x^2 - (2a^2 - 8)x - 144 = 0$;

4) $0,5x^2 - (a^2 - 25)x - 5 - a = 0$?

Для того чтобы корни квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ были равны по модулю, но противоположны по знаку (то есть, если $x_1$ и $x_2$ — корни, то $x_1 = -x_2$ и $x_1 \neq 0$), необходимо и достаточно выполнение двух условий, которые следуют из теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.

1. Сумма корней должна быть равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -B/A$. Следовательно, должно выполняться равенство $-B/A = 0$, что эквивалентно $B = 0$ (так как $A \neq 0$).

2. Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$. Это следует из того, что $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$, а так как корень $x_1$ должен быть ненулевым, то $-x_1^2 < 0$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = C/A$, следовательно, должно выполняться неравенство $C/A < 0$. Это условие также обеспечивает наличие двух различных действительных корней, так как дискриминант $D = B^2 - 4AC$ при $B=0$ равен $-4AC$, и если $C/A < 0$, то $AC < 0$, а значит $D = -4AC > 0$.

Применим эти два условия к каждому из предложенных уравнений.

1) $x^2 - (a - 6)x - 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = -(a - 6)$, $C = -16$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(a - 6) = 0$

$a - 6 = 0$

$a = 6$

Проверим условие $C/A < 0$:

$-16/1 = -16 < 0$.

Условие выполняется. Следовательно, искомое значение параметра $a$ равно 6.

Ответ: $a = 6$.

2) $3x^2 - (3a + 12)x - 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 3$, $B = -(3a + 12)$, $C = -24$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(3a + 12) = 0$

$3a + 12 = 0$

$3a = -12$

$a = -4$

Проверим условие $C/A < 0$:

$-24/3 = -8 < 0$.

Условие выполняется. Следовательно, искомое значение параметра $a$ равно -4.

Ответ: $a = -4$.

3) $4x^2 - (2a^2 - 8)x - 144 = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 4$, $B = -(2a^2 - 8)$, $C = -144$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(2a^2 - 8) = 0$

$2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

$a = 2$ или $a = -2$.

Проверим условие $C/A < 0$:

$-144/4 = -36 < 0$.

Условие выполняется для обоих найденных значений $a$.

Ответ: $a = 2, a = -2$.

4) $0,5x^2 - (a^2 - 25)x - 5 - a = 0$

Коэффициенты уравнения: $A = 0,5$, $B = -(a^2 - 25)$, $C = -5 - a$.

Приравняем коэффициент $B$ к нулю:

$-(a^2 - 25) = 0$

$a^2 - 25 = 0$

$a^2 = 25$

$a = 5$ или $a = -5$.

Проверим условие $C/A < 0$ для найденных значений $a$:

$\frac{-5 - a}{0,5} < 0$

$-2(-5 - a) > 0$

$10 + 2a > 0$

$2a > -10$

$a > -5$

Теперь сопоставим полученные значения $a$ с этим условием.

- Для $a = 5$: $5 > -5$. Условие выполняется.

- Для $a = -5$: $-5 > -5$. Условие не выполняется (получается равенство, а не строгое неравенство). Если $a = -5$, то $C = 0$, и уравнение имеет вид $0,5x^2 = 0$, у которого один корень $x=0$.

Следовательно, подходит только значение $a = 5$.

Ответ: $a = 5$.

19.24. Найдите значение выражения:

1) $2\sin60^\circ - 3\text{tg}45^\circ$;

2) $2\cos60^\circ - 3\text{ctg}45^\circ$;

3) $2\sin45^\circ - 3\text{ctg}60^\circ$;

4) $4\sin30^\circ - 3\text{tg}30^\circ$.

1) Для нахождения значения выражения $2\sin{60^\circ} - 3\tg{45^\circ}$ воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для стандартных углов. Мы знаем, что $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tg{45^\circ} = 1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sin{60^\circ} - 3\tg{45^\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot 1$

Упростим полученное выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot 1 = \sqrt{3} - 3$

Ответ: $\sqrt{3} - 3$.

2) Для нахождения значения выражения $2\cos{60^\circ} - 3\ctg{45^\circ}$ используем значения тригонометрических функций: $\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$ и $\ctg{45^\circ} = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$2\cos{60^\circ} - 3\ctg{45^\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot 1$

Выполним вычисления:

$2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Ответ: $-2$.

3) Для нахождения значения выражения $2\sin{45^\circ} - 3\ctg{60^\circ}$ используем значения тригонометрических функций: $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\ctg{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим эти значения в выражение:

$2\sin{45^\circ} - 3\ctg{60^\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Упростим полученное выражение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

4) Для нахождения значения выражения $4\sin{30^\circ} - 3\tg{30^\circ}$ используем значения тригонометрических функций: $\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$ и $\tg{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим эти значения в выражение:

$4\sin{30^\circ} - 3\tg{30^\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Выполним вычисления и упростим:

$4 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

19.25. На координатной плоскости постройте точку $A(2; 6)$. Соедините точку $O(0; 0)$ с этой точкой. Найдите значение тангенса угла, образованного лучом $OA$ с положительным направлением:

Для решения задачи построим на координатной плоскости точку А(2; 6) и соединим ее с началом координат O(0; 0). Также опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ. Пусть точка пересечения перпендикуляра с осью ОХ будет B. Координаты точки B будут (2; 0). В результате мы получаем прямоугольный треугольник OAB с прямым углом в точке B. Длины катетов этого треугольника равны координатам точки А: катет OB, лежащий на оси ОХ, имеет длину 2, а катет AB, параллельный оси ОУ, имеет длину 6.

1) оси OX
Угол, образованный лучом OA с положительным направлением оси OX, — это угол $\alpha$ (угол AOB) в нашем прямоугольном треугольнике OAB. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.Для угла $\alpha$:

• Противолежащий катет — AB, его длина равна ординате точки A, то есть 6.
• Прилежащий катет — OB, его длина равна абсциссе точки A, то есть 2.

2) оси OY
Угол, образованный лучом OA с положительным направлением оси OY, — это угол $\beta$. Этот угол является вторым острым углом в треугольнике OAB (угол OAB), поскольку катет AB перпендикулярен оси OX, а значит, параллелен оси OY.Найдем тангенс угла $\beta$:

• Противолежащий катет — OB, его длина равна 2.
• Прилежащий катет — AB, его длина равна 6.