Номер 20.36, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.36. Найдите все целые положительные значения переменной x,

удовлетворяющие двойному неравенству:

1) $1 < \frac{x+2}{5-x} < 6;$

2) $-1 < \frac{x-8}{x+1} < 3.$

1)

Дано двойное неравенство $1 < \frac{x+2}{5-x} < 6$.

Для решения данного двойного неравенства, представим его в виде системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

1. $\frac{x+2}{5-x} > 1$

2. $\frac{x+2}{5-x} < 6$

Решим первое неравенство:

$\frac{x+2}{5-x} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+2 - (5-x)}{5-x} > 0$

$\frac{x+2 - 5 + x}{5-x} > 0$

$\frac{2x-3}{5-x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$ и $5-x=0 \implies x = 5$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определив знаки выражения на каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $x \in (1.5, 5)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x+2}{5-x} - 6 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+2 - 6(5-x)}{5-x} < 0$

$\frac{x+2 - 30 + 6x}{5-x} < 0$

$\frac{7x-28}{5-x} < 0$

Снова используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $7x-28=0 \implies x = 4$ и $5-x=0 \implies x = 5$. Определив знаки, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.

Общее решение системы является пересечением решений обоих неравенств:

$x \in (1.5, 5) \cap ((-\infty, 4) \cup (5, \infty))$

Пересечением является интервал $(1.5, 4)$.

По условию задачи требуется найти все целые положительные значения $x$. В интервале $(1.5, 4)$ находятся целые числа 2 и 3. Оба они положительные.

Ответ: 2, 3.

2)

Дано двойное неравенство $-1 < \frac{x-8}{x+1} < 3$.

По условию задачи, $x$ является целым положительным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Это означает, что знаменатель дроби $x+1$ всегда положителен (так как $x \ge 1 \implies x+1 \ge 2$).

Так как знаменатель $x+1$ строго положителен, мы можем умножить все части двойного неравенства на него, сохранив знаки неравенств:

$-1 \cdot (x+1) < x-8 < 3 \cdot (x+1)$

Это двойное неравенство равносильно системе двух линейных неравенств:

1. $-1(x+1) < x-8$

2. $x-8 < 3(x+1)$

Решим первое неравенство:

$-x-1 < x-8$

$8-1 < x+x$

$7 < 2x$

$x > 3.5$

Решим второе неравенство:

$x-8 < 3x+3$

$-8-3 < 3x-x$

$-11 < 2x$

$x > -5.5$

Решением системы является пересечение условий $x > 3.5$ и $x > -5.5$. Так как любое число, большее 3.5, автоматически больше и -5.5, общим решением является $x > 3.5$.

Мы ищем все целые положительные значения $x$, удовлетворяющие этому условию. Это все целые числа, которые строго больше 3.5.

Следовательно, искомые значения $x$ — это все целые числа, начиная с 4.

Ответ: все целые числа $x \ge 4$.