Страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \ge 4;$

2) $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} < 4x;$

3) $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} \ge 3;$

4) $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} \ge x.$

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \ge 4$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем: $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} - 4 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{x^2 - 2x - 4(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{x^2 - 2x - 4x - 8}{x + 2} \ge 0$
$\frac{x^2 - 6x - 8}{x + 2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.
Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. В этой точке выражение не определено.
Корни числителя: $x^2 - 6x - 8 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

Отметим точки $-2$, $3 - \sqrt{17}$ и $3 + \sqrt{17}$ на числовой прямой. Точка $x=-2$ будет выколотой (пустой кружок), так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки $x = 3 - \sqrt{17}$ и $x = 3 + \sqrt{17}$ будут закрашенными (сплошные кружки), так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 6x - 8}{x + 2}$ на полученных интервалах.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-2, 3 - \sqrt{17}] \cup [3 + \sqrt{17}, +\infty)$.

2) $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} < 4x$

Перенесем $4x$ в левую часть: $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} - 4x < 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{3x^2 - 8x - 4x(x - 2)}{x - 2} < 0$

Упростим числитель: $\frac{3x^2 - 8x - 4x^2 + 8x}{x - 2} < 0$
$\frac{-x^2}{x - 2} < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2}{x - 2} > 0$

Решим методом интервалов.
Корень числителя: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (корень кратности 2).
Корень знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки $0$ и $2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. При переходе через точку $x=0$ знак выражения меняться не будет.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это интервал со знаком "+".
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

3) $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} \ge 3$

Перенесем 3 в левую часть: $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} - 3 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 - 3x - 3(5 - x)}{5 - x} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{2x^2 - 3x - 15 + 3x}{5 - x} \ge 0$
$\frac{2x^2 - 15}{5 - x} \ge 0$

Решим методом интервалов.
Корни числителя: $2x^2 - 15 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{15}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{15}{2}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{2}$.
Корень знаменателя: $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x = \pm\frac{\sqrt{30}}{2}$ закрашенные, точка $x=5$ выколотая.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{30}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{30}}{2}, 5)$.

4) $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} \ge x$

Перенесем $x$ в левую часть: $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + 7x - x(7 - 2x)}{7 - 2x} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{2x^2 + 7x - 7x + 2x^2}{7 - 2x} \ge 0$
$\frac{4x^2}{7 - 2x} \ge 0$

Решим методом интервалов.
Корень числителя: $4x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (корень кратности 2).
Корень знаменателя: $7 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3.5$.

Отметим точки на прямой. Точка $x=0$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=3.5$ выколотая. При переходе через $x=0$ знак не меняется.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", а также точка $x=0$, где выражение равно нулю. Объединяя $(-\infty, 0) \cup \{0\} \cup (0, 3.5)$, получаем единый промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, 3.5)$.

2.13. Является ли пара чисел (2; -1) решением системы уравнений:

1)$\begin{cases} x^2 + y = 3, \\ 2x - y^2 = 3; \end{cases}$

2)$\begin{cases} xy = -2, \\ 2x^2 - y = 9; \end{cases}$

3)$\begin{cases} 3xy = 1, \\ 3x - y^2 = 5; \end{cases}$

4)$\begin{cases} 3x^2 + y^2 = 9, \\ 3xy = 1? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(2; -1)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=-1$ в каждое уравнение каждой системы. Если оба уравнения в системе обращаются в верные числовые равенства, то пара является решением.

1) Для системы уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 3, \\ 2x - y^2 = 3 \end{cases}$ выполним проверку.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ в первое уравнение:

$2^2 + (-1) = 4 - 1 = 3$.

Получили верное равенство $3 = 3$.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ во второе уравнение:

$2(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$.

Получили верное равенство $3 = 3$.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; -1)$ является решением данной системы.

Ответ: да.

2) Для системы уравнений $\begin{cases} xy = -2, \\ 2x^2 - y = 9 \end{cases}$ выполним проверку.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ в первое уравнение:

$2 \cdot (-1) = -2$.

Получили верное равенство $-2 = -2$.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ во второе уравнение:

$2(2)^2 - (-1) = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.

Получили верное равенство $9 = 9$.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; -1)$ является решением данной системы.

Ответ: да.

3) Для системы уравнений $\begin{cases} 3xy = 1, \\ 3x - y^2 = 5 \end{cases}$ выполним проверку.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ в первое уравнение:

$3 \cdot 2 \cdot (-1) = -6$.

Получили неверное равенство $-6 = 1$.

Поскольку первое уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(2; -1)$ не является решением данной системы.

Ответ: нет.

4) Для системы уравнений $\begin{cases} 3x^2 + y^2 = 9, \\ 3xy = 1 \end{cases}$ выполним проверку.

Подставляем $x=2$ и $y=-1$ в первое уравнение:

$3(2)^2 + (-1)^2 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

Получили неверное равенство $13 = 9$.

Поскольку первое уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(2; -1)$ не является решением данной системы.

Ответ: нет.

2.14. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите координаты точек их пересечения:

1) $y=-x$ и $x^2 + y^2 = 8;$

2) $y=2x$ и $x^2 + y^2 = 20;$

3) $y=\frac{1}{x}$ и $x^2 + y^2 = 2.$

1) График функции $y = -x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. График уравнения $x^2 + y^2 = 8$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = -x \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (-x)^2 = 8$$x^2 + x^2 = 8$$2x^2 = 8$$x^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 2$, $y_1 = -2$.При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2) = 2$.Таким образом, точки пересечения: $(2, -2)$ и $(-2, 2)$.Ответ: $(-2, 2), (2, -2)$.

2) График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График уравнения $x^2 + y^2 = 20$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = 2x \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (2x)^2 = 20$$x^2 + 4x^2 = 20$$5x^2 = 20$$x^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 2$, $y_1 = 2(2) = 4$.При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2) = -4$.Таким образом, точки пересечения: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.Ответ: $(-2, -4), (2, 4)$.

3) График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График уравнения $x^2 + y^2 = 2$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (\frac{1}{x})^2 = 2$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$Умножим обе части на $x^2$ (при $x \ne 0$):$x^4 + 1 = 2x^2$$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$Это уравнение является полным квадратом:$(x^2 - 1)^2 = 0$$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{1}{1} = 1$.При $x_2 = -1$, $y_2 = \frac{1}{-1} = -1$.Таким образом, точки пересечения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.Ответ: $(-1, -1), (1, 1)$.

21.13. Найдите знак выражения:

1) $1 - \sin 215^\circ \cos 135^\circ \operatorname{tg} 229^\circ$;

2) $\sin 320^\circ \cos 285^\circ \operatorname{tg} 30^\circ - 2.$

1) Рассмотрим выражение $1 - \sin(215^\circ)\cos(135^\circ)\tan(229^\circ)$.

Для определения знака выражения, сначала найдем знаки тригонометрических функций, входящих в него. Для этого определим, в каких координатных четвертях находятся углы. Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям:

1. Угол $215^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 215^\circ < 270^\circ$). В этой четверти синус отрицателен, значит $\sin(215^\circ) < 0$.

2. Угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$). В этой четверти косинус отрицателен, значит $\cos(135^\circ) < 0$.

3. Угол $229^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 229^\circ < 270^\circ$). В этой четверти тангенс положителен, значит $\tan(229^\circ) > 0$.

Теперь определим знак произведения $P = \sin(215^\circ)\cos(135^\circ)\tan(229^\circ)$:

$P = (\text{минус}) \cdot (\text{минус}) \cdot (\text{плюс}) = (\text{плюс})$.

Таким образом, произведение $P$ является положительным числом ($P > 0$).

Выражение имеет вид $1 - P$. Чтобы определить его знак, нужно сравнить $P$ с единицей. Оценим величину $P$:

$P = |\sin(215^\circ)| \cdot |\cos(135^\circ)| \cdot |\tan(229^\circ)|$.

Используем формулы приведения:

$|\sin(215^\circ)| = |\sin(180^\circ + 35^\circ)| = |-\sin(35^\circ)| = \sin(35^\circ)$.

$|\cos(135^\circ)| = |\cos(180^\circ - 45^\circ)| = |-\cos(45^\circ)| = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$|\tan(229^\circ)| = |\tan(180^\circ + 49^\circ)| = \tan(49^\circ)$.

Поскольку $35^\circ < 45^\circ$, то $\sin(35^\circ) < \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $49^\circ < 60^\circ$, то $\tan(49^\circ) < \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Перемножим модули:

$P = \sin(35^\circ) \cdot \cos(45^\circ) \cdot \tan(49^\circ) < \sin(45^\circ) \cdot \cos(45^\circ) \cdot \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $P < \frac{1.732}{2} = 0.866$.

Мы получили, что $0 < P < 1$. Значит, разность $1 - P$ будет положительной.

Ответ: знак выражения — плюс.

2) Рассмотрим выражение $\sin(320^\circ)\cos(285^\circ)\tan(30^\circ) - 2$.

Аналогично первому пункту, определим знаки тригонометрических функций, используя схему четвертей.

1. Угол $320^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$). В этой четверти синус отрицателен, значит $\sin(320^\circ) < 0$.

2. Угол $285^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 285^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус положителен, значит $\cos(285^\circ) > 0$.

3. Угол $30^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 30^\circ < 90^\circ$). В этой четверти тангенс положителен, значит $\tan(30^\circ) > 0$.

Теперь определим знак произведения $Q = \sin(320^\circ)\cos(285^\circ)\tan(30^\circ)$:

$Q = (\text{минус}) \cdot (\text{плюс}) \cdot (\text{плюс}) = (\text{минус})$.

Таким образом, произведение $Q$ является отрицательным числом ($Q < 0$).

Выражение имеет вид $Q - 2$. Мы вычитаем положительное число 2 из отрицательного числа $Q$. Результат такой операции всегда будет отрицательным числом.

Для проверки можно оценить величину $Q$. Модули синуса и косинуса любого угла не превосходят 1, то есть $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$.

$|\sin(320^\circ)| < 1$

$|\cos(285^\circ)| < 1$

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$

Следовательно, $|Q| = |\sin(320^\circ)| \cdot |\cos(285^\circ)| \cdot \tan(30^\circ) < 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Так как $Q < 0$ и $|Q| < 1$, то $Q$ — это число из интервала $(-1, 0)$. Тогда выражение $Q - 2$ будет являться числом из интервала $(-1-2, 0-2)$, то есть $(-3, -2)$. Это число, очевидно, отрицательное.

Ответ: знак выражения — минус.

21.14. Известно, что функция $y = f(x)$ имеет период $T = 3$. Найдите период функции:

1) $y = f(x) + 5$;

2) $y = f(x) - 3$;

3) $y = 2f(x)$;

4) $y = -f(x)$.

По определению, функция $y = f(x)$ имеет период $T$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. В условии задачи сказано, что функция $y = f(x)$ имеет наименьший положительный период $T=3$, то есть $f(x+3) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим, как преобразования функции влияют на ее период. Преобразования вида $y = A \cdot f(x) + B$, где $A$ и $B$ — константы и $A \neq 0$, являются вертикальными преобразованиями (растяжение/сжатие и сдвиг) и не изменяют период функции. Проверим это для каждого случая.

1) y = f(x) + 5
Пусть $g(x) = f(x) + 5$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $g(x)$.
$g(x+3) = f(x+3) + 5$.
Поскольку $f(x)$ имеет период 3, $f(x+3) = f(x)$. Подставим это в наше выражение:
$g(x+3) = f(x) + 5$.
Правая часть равна $g(x)$, следовательно, $g(x+3) = g(x)$.
Это преобразование является сдвигом графика функции $f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

2) y = f(x) - 3
Пусть $h(x) = f(x) - 3$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $h(x)$.
$h(x+3) = f(x+3) - 3$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$h(x+3) = f(x) - 3 = h(x)$.
Это преобразование является сдвигом графика функции $f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

3) y = 2f(x)
Пусть $k(x) = 2f(x)$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $k(x)$.
$k(x+3) = 2f(x+3)$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$k(x+3) = 2f(x) = k(x)$.
Это преобразование является растяжением графика функции $f(x)$ в 2 раза вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

4) y = -f(x)
Пусть $m(x) = -f(x)$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $m(x)$.
$m(x+3) = -f(x+3)$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$m(x+3) = -f(x) = m(x)$.
Это преобразование является симметричным отражением графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс, что не влияет на период.
Ответ: 3

21.15. Найдите углы в параллелограмме, если значение косинуса одного из его углов равно:

1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $-0,5$;

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — соседние углы параллелограмма. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Углы параллелограмма — это две пары равных углов: $\alpha, \beta, \alpha, \beta$. Зная косинус одного угла, мы можем найти сам угол, а затем и смежный с ним угол.

1) Дано, что косинус одного из углов равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, угол $\alpha$ является острым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $30^\circ$. Противоположный ему угол также равен $30^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $150^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$ и $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

2) Дано, что косинус одного из углов равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, угол $\alpha$ является острым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Противоположный ему угол также равен $45^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $135^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $45^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$ и $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

3) Дано, что косинус одного из углов равен $-0,5$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $120^\circ$. Противоположный ему угол также равен $120^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $60^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

4) Дано, что косинус одного из углов равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $150^\circ$. Противоположный ему угол также равен $150^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $30^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$ и $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

21.16. Найдите углы в параллелограмме, если значение тангенса одного из его углов равно:

1) $ \frac{\sqrt{3}}{3} $;

2) $ \sqrt{3} $;

3) $ -1 $;

4) $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма смежных (соседних) углов равна $180^\circ$. Углы параллелограмма находятся в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Если тангенс угла положителен, то угол острый (меньше $90^\circ$). Если тангенс отрицателен, то угол тупой (больше $90^\circ$).

1) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку значение тангенса положительно, угол $\alpha$ является острым. Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, $\alpha = 30^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

2) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. Поскольку значение тангенса положительно, угол $\alpha$ является острым. Известно, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, следовательно, $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

3) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = -1$. Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Используя формулу приведения $\tan(180^\circ - x) = -\tan(x)$ и зная, что $\tan(45^\circ)=1$, находим угол: $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

4) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Используя формулу приведения $\tan(180^\circ - x) = -\tan(x)$ и зная, что $\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, находим угол: $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

21.17. Найдите углы в равнобокой трапеции, если значение косинуса одного из ее углов равно:

1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $-0,5$;

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Это означает, что трапеция имеет две пары равных углов: два острых и два тупых (за исключением случая прямоугольника), причем сумма острого и тупого углов составляет $180^\circ$. Обозначим острый угол как $\alpha$, а тупой как $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Если косинус угла положителен, то это острый угол. Если косинус отрицателен, то это тупой угол.

1) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, этот угол является острым.
Находим величину угла: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Это острые углы трапеции. Другая пара углов (тупые) будет равна: $\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $30^\circ$ и два по $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 150^\circ, 30^\circ$.

2) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, этот угол является острым.
Находим величину угла: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Это острые углы трапеции. Тупые углы равны: $\beta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $45^\circ$ и два по $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

3) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\beta) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, этот угол является тупым.
Находим величину угла: $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.
Это тупые углы трапеции. Острые углы равны: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $60^\circ$ и два по $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

4) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\beta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, этот угол является тупым.
Находим величину угла: $\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.
Это тупые углы трапеции. Острые углы равны: $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $30^\circ$ и два по $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 150^\circ, 30^\circ$.

21.18. Известно, что $0 < \alpha < 90^\circ$. Докажите неравенство:

1) $\sin\alpha > \sin^4\alpha$;

2) $\cos\alpha > \cos^4\alpha$;

3) $\sin\alpha > \sin\alpha \cdot \cos\alpha$;

4) $\operatorname{tg}\alpha > \sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$.

1) Докажем неравенство $\sin\alpha > \sin^4\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, значения синуса находятся в интервале $0 < \sin\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\sin\alpha - \sin^4\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha (1 - \sin^3\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\sin\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, то при возведении в куб это неравенство сохраняется: $0 < \sin^3\alpha < 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \sin^3\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\sin\alpha$ и $1 - \sin^3\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем неравенство $\cos\alpha > \cos^4\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, значения косинуса находятся в интервале $0 < \cos\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\cos\alpha - \cos^4\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки: $\cos\alpha (1 - \cos^3\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\cos\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \cos\alpha < 1$, то при возведении в куб это неравенство сохраняется: $0 < \cos^3\alpha < 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \cos^3\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\cos\alpha$ и $1 - \cos^3\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Докажем неравенство $\sin\alpha > \sin\alpha \cdot \cos\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, $\sin\alpha > 0$ и $0 < \cos\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\sin\alpha - \sin\alpha \cdot \cos\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha (1 - \cos\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\sin\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \cos\alpha < 1$, то разность $1 - \cos\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\sin\alpha$ и $1 - \cos\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Докажем неравенство $\tan\alpha > \sin\alpha \cdot \tan\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, $\tan\alpha > 0$ и $0 < \sin\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\tan\alpha - \sin\alpha \cdot \tan\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\tan\alpha$ за скобки: $\tan\alpha (1 - \sin\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0$, так как и синус, и косинус положительны.

2. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, то разность $1 - \sin\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\tan\alpha$ и $1 - \sin\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

21.19. Докажите, что если $0 < \alpha < 90^\circ$, то $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько подходов.

Способ 1. Алгебраический

Рассмотрим доказываемое неравенство: $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$.

По условию угол $\alpha$ находится в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса строго положительны: $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$. Следовательно, их сумма $\sin\alpha + \cos\alpha$ также является положительным числом. Поскольку обе части неравенства (левая и правая) положительны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 > 1^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha > 1$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha > 1$

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha > 1$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$2\sin\alpha\cos\alpha > 0$

Так как для $0 < \alpha < 90^\circ$ мы имеем $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$, то их произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ также будет положительным. Умножение на 2 не меняет знака. Таким образом, мы получили верное неравенство $2\sin\alpha\cos\alpha > 0$.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$ также является верным для заданного диапазона $\alpha$.

Способ 2. Геометрический

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$. Для угла $\alpha$ ($0 < \alpha < 90^\circ$) точка $P$ на окружности имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Построим прямоугольный треугольник $OAP$ с вершинами в точках $O(0,0)$, $A(\cos\alpha, 0)$ и $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

В этом треугольнике катет $OA$ лежит на оси Ox, его длина равна $\cos\alpha$. Катет $AP$ параллелен оси Oy, его длина равна $\sin\alpha$. Гипотенуза $OP$ является радиусом единичной окружности, поэтому её длина равна 1.

Для любого невырожденного треугольника справедливо неравенство треугольника: сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Так как $0 < \alpha < 90^\circ$, наш треугольник не является вырожденным (не схлопывается в линию).

Применим неравенство треугольника к сторонам $OA$, $AP$ и $OP$:

$OA + AP > OP$

Подставим длины сторон в это неравенство:

$\cos\alpha + \sin\alpha > 1$

Геометрически это означает, что путь из точки O в точку P по ломаной линии O-A-P длиннее, чем по прямой O-P. Таким образом, неравенство доказано.

Способ 3. Метод вспомогательного угла

Преобразуем сумму $\sin\alpha + \cos\alpha$. Для этого умножим и разделим выражение на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha\right)$

Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\sin\alpha\cos(45^\circ) + \cos\alpha\sin(45^\circ))$

Выражение в скобках является развернутой формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Применим её:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ)$

Теперь исходное неравенство $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$ можно переписать в виде:

$\sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ) > 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(\alpha + 45^\circ) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь определим, в каком диапазоне находится угол $\alpha + 45^\circ$. Из условия $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ следует:

$0^\circ + 45^\circ < \alpha + 45^\circ < 90^\circ + 45^\circ$

$45^\circ < \alpha + 45^\circ < 135^\circ$

На интервале $(45^\circ, 135^\circ)$ функция синуса принимает значения от $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ до $\sin(90^\circ)=1$ и обратно до $\sin(135^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Во всех точках внутри этого интервала значение синуса строго больше $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поскольку $45^\circ < \alpha + 45^\circ < 135^\circ$, неравенство $\sin(\alpha + 45^\circ) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

21.20. Докажите, что для любого угла справедливо неравенство $|\sin\alpha| + |\cos\alpha| \ge 1$.

Для доказательства неравенства $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ воспользуемся методом возведения в квадрат.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны для любого угла $\alpha$ ($|\sin \alpha| \geq 0$, $|\cos \alpha| \geq 0$, следовательно, их сумма тоже неотрицательна, а $1 > 0$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(|\sin \alpha| + |\cos \alpha|)^2 \geq 1^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(|\sin \alpha|)^2 + 2|\sin \alpha||\cos \alpha| + (|\cos \alpha|)^2 \geq 1$

Так как квадрат модуля числа равен квадрату самого числа (например, $(|x|)^2 = x^2$), а произведение модулей равно модулю произведения ($|a||b| = |ab|$), мы можем переписать неравенство в следующем виде:

$\sin^2 \alpha + 2|\sin \alpha \cos \alpha| + \cos^2 \alpha \geq 1$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 1$

$1 + 2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 1$

Теперь вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 0$

Это неравенство является верным для любого значения угла $\alpha$, так как модуль любого выражения (в данном случае $|\sin \alpha \cos \alpha|$) всегда больше или равен нулю. Умножение на положительное число 2 не изменяет этого факта.

Поскольку мы пришли к очевидно верному неравенству с помощью равносильных преобразований, исходное неравенство $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ также верно для любого угла $\alpha$.

Ответ: Неравенство доказано. Так как все преобразования были равносильными, а конечное неравенство $2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 0$ верно для любого $\alpha$, то и исходное неравенство $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ верно для любого $\alpha$.