Номер 24.26, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.26. Докажите тождество:

1) $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $;

2) $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta \cdot \cos \alpha} $.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя определения тангенса и котангенса, а также основное тригонометрическое тождество.

Запишем левую часть равенства:
$tgα + ctgα$

Используем определения $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ и $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$:
$tgα + ctgα = \frac{sinα}{cosα} + \frac{cosα}{sinα}$

Приведем дроби к общему знаменателю $sinα \cdot cosα$:
$\frac{sinα \cdot sinα}{cosα \cdot sinα} + \frac{cosα \cdot cosα}{sinα \cdot cosα} = \frac{sin^2α + cos^2α}{sinα \cdot cosα}$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$:
$\frac{1}{sinα \cdot cosα}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:
$tgα + ctgβ = \frac{sinα}{cosα} + \frac{cosβ}{sinβ}$

Приведем к общему знаменателю $sinβ \cdot cosα$:
$\frac{sinα \cdot sinβ}{cosα \cdot sinβ} + \frac{cosα \cdot cosβ}{cosα \cdot sinβ} = \frac{sinα sinβ + cosα cosβ}{sinβ cosα}$

Используя формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ$, получаем:
$tgα + ctgβ = \frac{cos(α - β)}{sinβ \cdot cosα}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства, используя формулу синуса суммы $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$:
$\frac{sin(α + β)}{sinβ \cdot cosα} = \frac{sinα cosβ + cosα sinβ}{sinβ \cdot cosα}$

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они не равны, так как в общем случае $cos(α - β) \neq sinα cosβ + cosα sinβ$.
Следовательно, данное в задании равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в числителе правой части. Правильное тождество должно выглядеть так:
$tgα + ctgβ = \frac{cos(α-β)}{sinβ \cdot cosα}$

Доказательство этого (исправленного) тождества было приведено выше при преобразовании левой части.
Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как при преобразовании левая часть равна $\frac{cos(α-β)}{sinβ \cdot cosα}$, а правая $\frac{sin(α+β)}{sinβ \cdot cosα}$. Вероятно, в условии допущена опечатка.