Номер 25.2, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.2. Найдите значения: $\operatorname{ctg}(\alpha + \beta)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha - \beta)$, если $\operatorname{ctg} \alpha = 2$ и $\operatorname{ctg}\beta = -1.6$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами котангенса суммы и разности двух углов:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\beta + ctg\alpha}$

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$

Даны значения $ctg\alpha = 2$ и $ctg\beta = -1.6$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $ctg\beta = -1.6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$.

ctg(α + β)

Подставим известные значения в формулу для котангенса суммы:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{2 \cdot (-\frac{8}{5}) - 1}{-\frac{8}{5} + 2}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 \cdot (-\frac{8}{5}) - 1 = -\frac{16}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{21}{5}$

Знаменатель: $-\frac{8}{5} + 2 = -\frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь найдем значение дроби:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{21}{5}}{\frac{2}{5}} = -\frac{21}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{21}{2} = -10.5$

Ответ: -10.5

ctg(α - β)

Подставим известные значения в формулу для котангенса разности:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{2 \cdot (-\frac{8}{5}) + 1}{-\frac{8}{5} - 2}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 \cdot (-\frac{8}{5}) + 1 = -\frac{16}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{11}{5}$

Знаменатель: $-\frac{8}{5} - 2 = -\frac{8}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{18}{5}$

Теперь найдем значение дроби:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{11}{5}}{-\frac{18}{5}} = (-\frac{11}{5}) \cdot (-\frac{5}{18}) = \frac{11}{18}$

Ответ: $\frac{11}{18}$