Номер 28.1, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.1. Запишите в виде суммы тригонометрических функций выражение:

1) $sin(5a) \cdot cos(2a);$

2) $sin(8a) \cdot cos(12a);$

3) $cos(5a) \cdot cos(7a);$

4) $cos(6a) \cdot cos(-15a);$

5) $sin(6a) \cdot sin(14a);$

6) $sin(3a) \cdot sin(-21a);$

7) $sin\left(\frac{\pi}{2} - 5a\right) cos(3a);$

8) $sin(\pi+5a) cos(3\pi-3a);$

9) $cos(7a) \cdot cos(2\pi + 9a).$

1) Для преобразования произведения $\sin 5a \cdot \cos 2a$ в сумму используется формула преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = 5a$ и $\beta = 2a$.
Подставляем значения в формулу:
$\sin 5a \cos 2a = \frac{1}{2}(\sin(5a+2a) + \sin(5a-2a)) = \frac{1}{2}(\sin 7a + \sin 3a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 7a + \sin 3a)$.

2) Для выражения $\sin 8a \cdot \cos 12a$ применяем ту же формулу: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
Здесь $\alpha = 8a$ и $\beta = 12a$.
$\sin 8a \cos 12a = \frac{1}{2}(\sin(8a+12a) + \sin(8a-12a)) = \frac{1}{2}(\sin 20a + \sin(-4a))$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-4a) = -\sin 4a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\sin 20a - \sin 4a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 20a - \sin 4a)$.

3) Для преобразования произведения $\cos 5a \cdot \cos 7a$ используем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = 5a$ и $\beta = 7a$.
$\cos 5a \cos 7a = \frac{1}{2}(\cos(5a+7a) + \cos(5a-7a)) = \frac{1}{2}(\cos 12a + \cos(-2a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-2a) = \cos 2a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 12a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 12a + \cos 2a)$.

4) В выражении $\cos 6a \cdot \cos(-15a)$ сначала упростим $\cos(-15a)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-15a) = \cos 15a$.
Выражение принимает вид: $\cos 6a \cdot \cos 15a$.
Применяем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha=6a, \beta=15a$.
$\cos 6a \cos 15a = \frac{1}{2}(\cos(6a+15a) + \cos(6a-15a)) = \frac{1}{2}(\cos 21a + \cos(-9a))$.
Используя четность косинуса, $\cos(-9a) = \cos 9a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 21a + \cos 9a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 21a + \cos 9a)$.

5) Для преобразования произведения $\sin 6a \cdot \sin 14a$ используем формулу: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Здесь $\alpha = 6a$ и $\beta = 14a$.
$\sin 6a \sin 14a = \frac{1}{2}(\cos(6a-14a) - \cos(6a+14a)) = \frac{1}{2}(\cos(-8a) - \cos(20a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-8a) = \cos 8a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 8a - \cos 20a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 8a - \cos 20a)$.

6) В выражении $\sin 3a \cdot \sin(-21a)$ сначала упростим $\sin(-21a)$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-21a) = -\sin 21a$.
Выражение становится: $\sin 3a \cdot (-\sin 21a) = -\sin 3a \sin 21a$.
Применяем формулу $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$, где $\alpha=3a, \beta=21a$.
$-\sin 3a \sin 21a = -\frac{1}{2}(\cos(3a-21a) - \cos(3a+21a)) = -\frac{1}{2}(\cos(-18a) - \cos(24a))$.
Используя четность косинуса, $\cos(-18a) = \cos 18a$.
$-\frac{1}{2}(\cos 18a - \cos 24a) = \frac{1}{2}(\cos 24a - \cos 18a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 24a - \cos 18a)$.

7) В выражении $\sin(\frac{\pi}{2} - 5a)\cos 3a$ сначала применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.
Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} - 5a) = \cos 5a$.
Выражение принимает вид: $\cos 5a \cos 3a$.
Используем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 5a, \beta = 3a$.
$\cos 5a \cos 3a = \frac{1}{2}(\cos(5a+3a) + \cos(5a-3a)) = \frac{1}{2}(\cos 8a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 8a + \cos 2a)$.

8) В выражении $\sin(\pi+5a) \cos(3\pi-3a)$ применим формулы приведения.
$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$, поэтому $\sin(\pi+5a) = -\sin 5a$.
$\cos(3\pi-\alpha) = \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$, поэтому $\cos(3\pi-3a) = -\cos 3a$.
Выражение становится: $(-\sin 5a) \cdot (-\cos 3a) = \sin 5a \cos 3a$.
Используем формулу $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 5a, \beta = 3a$.
$\sin 5a \cos 3a = \frac{1}{2}(\sin(5a+3a) + \sin(5a-3a)) = \frac{1}{2}(\sin 8a + \sin 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 8a + \sin 2a)$.

9) В выражении $\cos 7a \cdot \cos(2\pi + 9a)$ используем периодичность косинуса: $\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha$.
Таким образом, $\cos(2\pi + 9a) = \cos 9a$.
Выражение принимает вид: $\cos 7a \cos 9a$.
Применяем формулу $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 7a, \beta = 9a$.
$\cos 7a \cos 9a = \frac{1}{2}(\cos(7a+9a) + \cos(7a-9a)) = \frac{1}{2}(\cos 16a + \cos(-2a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-2a) = \cos 2a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 16a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 16a + \cos 2a)$.