Номер 27.16, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.16. Вычислите:

1) $tg9^\circ - tg27^\circ - tg63^\circ + tg81^\circ;$

2) $ctg7.5^\circ - tg7.5^\circ + tg67.5^\circ - ctg 67.5^\circ;$

3) $4 \cdot (\cos24^\circ - \cos12^\circ + \cos48^\circ - \cos 84^\circ);$

4) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ.$

1) $\text{tg}9^\circ - \text{tg}27^\circ - \text{tg}63^\circ + \text{tg}81^\circ$

Сгруппируем слагаемые и используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$.

$\text{tg}81^\circ = \text{tg}(90^\circ - 9^\circ) = \text{ctg}9^\circ$

$\text{tg}63^\circ = \text{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \text{ctg}27^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\text{tg}9^\circ + \text{tg}81^\circ) - (\text{tg}27^\circ + \text{tg}63^\circ) = (\text{tg}9^\circ + \text{ctg}9^\circ) - (\text{tg}27^\circ + \text{ctg}27^\circ)$

Используем тождество $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Применим это тождество к нашему выражению:

$\frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} - \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin18^\circ} - \frac{2}{\sin54^\circ} = 2 \cdot \frac{\sin54^\circ - \sin18^\circ}{\sin18^\circ\sin54^\circ}$

Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$\sin54^\circ - \sin18^\circ = 2\sin\frac{54^\circ-18^\circ}{2}\cos\frac{54^\circ+18^\circ}{2} = 2\sin18^\circ\cos36^\circ$

Подставляем обратно в выражение:

$2 \cdot \frac{2\sin18^\circ\cos36^\circ}{\sin18^\circ\sin54^\circ} = \frac{4\cos36^\circ}{\sin54^\circ}$

Так как $\sin54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos36^\circ$, получаем:

$\frac{4\cos36^\circ}{\cos36^\circ} = 4$

Ответ: 4

2) $\text{ctg}7,5^\circ - \text{tg}7,5^\circ + \text{tg}67,5^\circ - \text{ctg}67,5^\circ$

Сгруппируем слагаемые:

$(\text{ctg}7,5^\circ - \text{tg}7,5^\circ) - (\text{ctg}67,5^\circ - \text{tg}67,5^\circ)$

Используем тождество $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$.

Применим это тождество к нашему выражению:

$2\text{ctg}(2 \cdot 7,5^\circ) - 2\text{ctg}(2 \cdot 67,5^\circ) = 2\text{ctg}15^\circ - 2\text{ctg}135^\circ$

Найдем значения котангенсов:

$\text{ctg}135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg}45^\circ = -1$

$\text{ctg}15^\circ = \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{ctg}45^\circ\text{ctg}30^\circ + 1}{\text{ctg}30^\circ - \text{ctg}45^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$2(2+\sqrt{3}) - 2(-1) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$

3) $4 \cdot (\cos24^\circ - \cos12^\circ + \cos48^\circ - \cos84^\circ)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$4 \cdot [(\cos24^\circ + \cos48^\circ) - (\cos12^\circ + \cos84^\circ)]$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos24^\circ + \cos48^\circ = 2\cos\frac{24^\circ+48^\circ}{2}\cos\frac{48^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos36^\circ\cos12^\circ$

$\cos12^\circ + \cos84^\circ = 2\cos\frac{12^\circ+84^\circ}{2}\cos\frac{84^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos48^\circ\cos36^\circ$

Подставим в выражение:

$4 \cdot [2\cos36^\circ\cos12^\circ - 2\cos48^\circ\cos36^\circ] = 8\cos36^\circ(\cos12^\circ - \cos48^\circ)$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos12^\circ - \cos48^\circ = -2\sin\frac{12^\circ+48^\circ}{2}\sin\frac{12^\circ-48^\circ}{2} = -2\sin30^\circ\sin(-18^\circ) = 2\sin30^\circ\sin18^\circ$

Так как $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем $\cos12^\circ - \cos48^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2}\sin18^\circ = \sin18^\circ$.

Выражение принимает вид:

$8\cos36^\circ\sin18^\circ$

Домножим и разделим на $\cos18^\circ$ и используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$8\cos36^\circ\sin18^\circ = \frac{8\cos36^\circ\sin18^\circ\cos18^\circ}{\cos18^\circ} = \frac{4\cos36^\circ(2\sin18^\circ\cos18^\circ)}{\cos18^\circ} = \frac{4\cos36^\circ\sin36^\circ}{\cos18^\circ}$

Еще раз применим формулу синуса двойного угла:

$\frac{2(2\sin36^\circ\cos36^\circ)}{\cos18^\circ} = \frac{2\sin72^\circ}{\cos18^\circ}$

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, откуда $\sin72^\circ = \sin(90^\circ-18^\circ) = \cos18^\circ$.

$\frac{2\cos18^\circ}{\cos18^\circ} = 2$

Ответ: 2

4) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ$

Представим углы $117^\circ$ и $123^\circ$ через $120^\circ$ и $3^\circ$:

$117^\circ = 120^\circ - 3^\circ$

$123^\circ = 120^\circ + 3^\circ$

Используем формулы косинуса разности и суммы:

$\cos117^\circ = \cos(120^\circ - 3^\circ) = \cos120^\circ\cos3^\circ + \sin120^\circ\sin3^\circ = -\frac{1}{2}\cos3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ$

$\cos123^\circ = \cos(120^\circ + 3^\circ) = \cos120^\circ\cos3^\circ - \sin120^\circ\sin3^\circ = -\frac{1}{2}\cos3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ$

Теперь найдем сумму квадратов этих косинусов:

$\cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ = \left(-\frac{1}{2}\cos3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\cos3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ\right)^2$

Раскроем квадраты. Смешанные произведения $(2ab)$ сократятся:

$\left(\frac{1}{4}\cos^2 3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos3^\circ\sin3^\circ + \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ\right) + \left(\frac{1}{4}\cos^2 3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos3^\circ\sin3^\circ + \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ\right)$

$= 2 \cdot \frac{1}{4}\cos^2 3^\circ + 2 \cdot \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ = \frac{1}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ$

Теперь добавим первый член исходного выражения $\cos^2 3^\circ$:

$\cos^2 3^\circ + \left(\frac{1}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ\right) = \left(1+\frac{1}{2}\right)\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ = \frac{3}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ$

Вынесем общий множитель и используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:

$\frac{3}{2}(\cos^2 3^\circ + \sin^2 3^\circ) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$