Номер 5, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. На плоскости отметили точку. Из нее провели 5 лучей. Тогда число различных углов равно:

A) $C_5^2$;

B) $C_5^3$;

C) $3!$;

D) $5!$.

Для того чтобы образовался угол, необходимо два луча, выходящих из одной и той же точки (вершины). В условии задачи говорится, что из одной точки проведено 5 лучей. Следовательно, чтобы найти количество различных углов, нам нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 луча из 5 имеющихся.

Поскольку порядок выбора лучей не имеет значения (угол, образованный лучом 1 и лучом 2, это тот же самый угол, что и образованный лучом 2 и лучом 1), мы имеем дело с задачей на нахождение числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее число элементов (лучей) $n = 5$, а количество элементов, которые мы выбираем для создания одного угла, $k = 2$.

Подставив эти значения в формулу, мы получим количество различных углов:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Таким образом, можно составить 10 различных углов. Теперь проанализируем предложенные варианты ответа.

A) $C_5^2$

Этот вариант представляет собой математическую запись для числа сочетаний из 5 по 2, что в точности соответствует логике решения задачи.

B) $C_5^3$

Этот вариант представляет число сочетаний из 5 по 3. Хотя $C_5^3 = C_5^2 = 10$, с точки зрения постановки задачи этот вариант неверен, так как для образования угла требуется выбрать 2 луча, а не 3.

C) $3!$

Это факториал числа 3, который равен $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Факториалы используются для подсчета числа перестановок, что не относится к данной задаче.

D) $5!$

Это факториал числа 5, который равен $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. Это число способов упорядочить все 5 лучей, что также не является решением задачи.

Правильным ответом является тот, который корректно формулирует способ решения, а именно — нахождение числа сочетаний из 5 элементов по 2.

Ответ: A) $C_5^2$