Номер 7, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Корнем уравнения $C_{x}^{x-2} = x^2 - x - 10$ является число:

A) 5;

B) 6;

C) 7;

D) 4.

Дано:

Уравнение $C_x^{x-2} = x^2 - x - 10$.

Найти:

Корень уравнения $x$.

Решение:

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение $C_n^k$ (число сочетаний из $n$ по $k$) определено, если $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $n \ge k$.

В нашем случае $n = x$ и $k = x-2$. Следовательно, должны выполняться следующие условия:
1. $x$ — целое число.
2. $x \ge 0$.
3. $x-2$ — целое число (это следует из п.1).
4. $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
5. $x \ge x-2$, что упрощается до $0 \ge -2$. Это неравенство верно всегда.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом и $x \ge 2$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_x^{x-2} = \frac{x!}{(x-2)!(x - (x-2))!} = \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)! \cdot 2} = \frac{x(x-1)}{2}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = x^2 - x - 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$x(x-1) = 2(x^2 - x - 10)$

Раскроем скобки:

$x^2 - x = 2x^2 - 2x - 20$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 - 2x + x - 20 = 0$

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x$ — целое число и $x \ge 2$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как 5 — целое число и $5 \ge 2$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < 2$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственным корнем уравнения является число 5.

Ответ: 5.