Номер 6, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Упростив выражение $\frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{2 - n}{(n + 1)!}$, получим:

A) $n$;

B) $2n$;

C) $\frac{n - 2}{n!}$;

D) $\frac{n}{(n - 1)!}$.

Для упрощения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{2 - n}{(n + 1)!} $

Общим знаменателем для дробей является $(n + 2)!$, так как по определению факториала $(n + 2)! = (n + 2) \cdot (n + 1)!$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(n + 2)$:

$ \frac{2 - n}{(n + 1)!} = \frac{(2 - n)(n + 2)}{(n + 1)!(n + 2)} = \frac{4 - n^2}{(n + 2)!} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{4 - n^2}{(n + 2)!} = \frac{(n^3 - 4n) - (4 - n^2)}{(n + 2)!} = \frac{n^3 - 4n - 4 + n^2}{(n + 2)!} = \frac{n^3 + n^2 - 4n - 4}{(n + 2)!} $

Разложим числитель полученной дроби на множители, используя метод группировки:

$ n^3 + n^2 - 4n - 4 = n^2(n + 1) - 4(n + 1) = (n^2 - 4)(n + 1) $

Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:

$ (n - 2)(n + 2)(n + 1) $

Подставим разложенный числитель обратно в выражение и распишем знаменатель $(n + 2)!$ как $(n + 2)(n + 1)n!$:

$ \frac{(n - 2)(n + 2)(n + 1)}{(n + 2)(n + 1)n!} $

Сократим общие множители $(n + 2)$ и $(n + 1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(n - 2)\cancel{(n + 2)}\cancel{(n + 1)}}{\cancel{(n + 2)}\cancel{(n + 1)}n!} = \frac{n - 2}{n!} $

Полученный результат соответствует варианту C).

Ответ: C) $\frac{n - 2}{n!}$