Вопросы, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему график числовой последовательности состоит из изолированных точек?

2. Почему последовательности $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \dots ; \frac{1}{n}$ и 1; 1,7; 1,73; 1,7320; 1,73205; $\dots (\sqrt{3} = 1,732050807 \dots)$ являются ограниченными?

1. Числовая последовательность по определению является функцией $y = f(n)$, область определения которой — это множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. График такой функции представляет собой набор точек с координатами $(n, a_n)$, где $n$ — номер члена последовательности, а $a_n$ — его значение. Поскольку аргумент $n$ может быть только натуральным числом, на оси абсцисс мы откладываем только значения $1, 2, 3$ и так далее. Между этими значениями нет других, для которых функция была бы определена (например, не существует члена последовательности с номером $1,5$). Следовательно, точки графика $(1, a_1)$, $(2, a_2)$, $(3, a_3)$, ... оказываются отделены друг от друга и не образуют сплошной линии.
Ответ: График числовой последовательности состоит из изолированных точек потому, что ее область определения — множество натуральных чисел — является дискретным (прерывистым), а не непрерывным.

2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$. То есть все члены последовательности лежат в некотором конечном интервале.
Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \dots$.
С одной стороны, так как $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и, соответственно, $x_n = \frac{1}{n} > 0$. Это значит, что последовательность ограничена снизу числом 0.
С другой стороны, наибольшим членом является первый, $x_1=1$. Для любого $n \ge 1$ выполняется $x_n \le 1$. Это значит, что последовательность ограничена сверху числом 1.
Так как для всех членов выполняется $0 < x_n \le 1$, последовательность является ограниченной.
Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа $\sqrt{3}$: $y_n: 1; 1,7; 1,73; 1,7320; 1,73205, \dots$.
Эта последовательность является неубывающей. Ее первый член равен 1, поэтому все члены не меньше 1: $y_n \ge 1$. Последовательность ограничена снизу.
По своему построению, каждый член этой последовательности является приближением числа $\sqrt{3}$ с недостатком, а значит, не превосходит само число $\sqrt{3}$. То есть, $y_n \le \sqrt{3} \approx 1,732\dots$. Можно также взять любое число, которое заведомо больше $\sqrt{3}$, например, 2. Все члены последовательности меньше 2. Значит, последовательность ограничена сверху.
Так как для всех членов выполняется $1 \le y_n \le \sqrt{3}$, эта последовательность также является ограниченной.
Ответ: Обе последовательности являются ограниченными, потому что для каждой из них можно указать число, которое больше всех ее членов (верхняя граница), и число, которое меньше всех ее членов (нижняя граница).