Номер 12.4, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.4. Найдите формулу n-го (общего) члена последовательности $(a_n)$, если известны следующие ее первые члены:

1) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;

2) 9; 11; 13; 15; 17; 19;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{10}$;

4) 1; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{11}$;

5) 1; 2; 4; 8; 16; 32;

6) -1; 2; -4; 8; -16; 32;

7) 1; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{64}$; $\frac{1}{125}$; $\frac{1}{216}$;

8) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{7}$;

9) $\frac{3}{2}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{7}{6}$; $\frac{9}{8}$; $\frac{11}{10}$; $\frac{13}{12}$;

10) 2; 5; 8; 11; 14; 17.

1) Дана последовательность: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ...
Члены этой последовательности — четные натуральные числа, идущие по порядку. Каждый член последовательности можно получить, умножив его порядковый номер $n$ на 2.
$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$
...
Данная последовательность является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1=2$, а разность $d = 4 - 2 = 2$.
Применим формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.
Ответ: $a_n = 2n$

2) Дана последовательность: 9; 11; 13; 15; 17; 19; ...
Это арифметическая прогрессия, так как разность между соседними членами постоянна.
Первый член $a_1 = 9$.
Разность прогрессии $d = 11 - 9 = 2$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 9 + (n-1) \cdot 2 = 9 + 2n - 2 = 2n + 7$.
Проверим:
$a_1 = 2(1) + 7 = 9$
$a_2 = 2(2) + 7 = 11$
$a_3 = 2(3) + 7 = 13$
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2n + 7$

3) Дана последовательность: $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8}; \frac{1}{10}; ...$
Числитель каждого члена последовательности равен 1.
Знаменатели образуют последовательность: 2; 4; 6; 8; 10; ... — это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой, как мы нашли в пункте 1, равна $2n$.
Следовательно, формула для данной последовательности будет иметь вид:
$a_n = \frac{1}{2n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n}$

4) Дана последовательность: $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; \frac{1}{9}; \frac{1}{11}; ...$
Представим первый член как $\frac{1}{1}$.
Числитель каждого члена последовательности равен 1.
Знаменатели образуют последовательность: 1; 3; 5; 7; 9; 11; ... — это последовательность нечетных чисел.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 1$ и разностью $d = 2$.
Формула для $n$-го члена последовательности знаменателей: $d_n = d_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.
Таким образом, формула для исходной последовательности:
$a_n = \frac{1}{2n-1}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n-1}$

5) Дана последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; ...
Это геометрическая прогрессия, так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно.
Первый член $a_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{1} = 2$.
Применим формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:
$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$.
Также можно заметить, что члены последовательности — это степени двойки: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, ...$
Показатель степени на единицу меньше номера члена, т.е. $n-1$.
Ответ: $a_n = 2^{n-1}$

6) Дана последовательность: -1; 2; -4; 8; -16; 32; ...
Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Модули членов образуют последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; ..., формула которой $2^{n-1}$ (из пункта 5).
Чередование знаков, начинающееся с минуса, можно задать множителем $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен -1, при $n=2$ он равен 1, и так далее.
Объединяя, получаем формулу: $a_n = (-1)^n \cdot 2^{n-1}$.
Также можно рассматривать эту последовательность как геометрическую прогрессию с первым членом $a_1 = -1$ и знаменателем $q = \frac{2}{-1} = -2$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = (-1) \cdot (-2)^{n-1} = (-1)^1 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-1} = (-1)^{n} \cdot 2^{n-1}$.
Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot 2^{n-1}$

7) Дана последовательность: $1; \frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \frac{1}{216}; ...$
Представим первый член как $\frac{1}{1}$.
Числители всех членов равны 1.
Знаменатели образуют последовательность: 1; 8; 27; 64; 125; 216; ...
Заметим, что знаменатели являются кубами натуральных чисел:
$d_1 = 1 = 1^3$
$d_2 = 8 = 2^3$
$d_3 = 27 = 3^3$
$d_4 = 64 = 4^3$
...
Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности знаменателей — $n^3$.
Тогда формула для исходной последовательности:
$a_n = \frac{1}{n^3}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

8) Дана последовательность: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; \frac{6}{7}; ...$
Рассмотрим числители и знаменатели отдельно.
Последовательность числителей: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ... Формула $n$-го члена этой последовательности — $n$.
Последовательность знаменателей: 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... Каждый член этой последовательности на 1 больше соответствующего номера $n$. Формула $n$-го члена — $n+1$.
Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем:
$a_n = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$

9) Дана последовательность: $\frac{3}{2}; \frac{5}{4}; \frac{7}{6}; \frac{9}{8}; \frac{11}{10}; \frac{13}{12}; ...$
Рассмотрим числители и знаменатели отдельно.
Последовательность числителей: 3; 5; 7; 9; 11; 13; ... Это арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и $d=2$. Формула $n$-го члена: $3 + (n-1)2 = 3+2n-2=2n+1$.
Последовательность знаменателей: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ... Это последовательность четных чисел. Формула $n$-го члена: $2n$.
Совмещая обе формулы, получаем общую формулу для последовательности:
$a_n = \frac{2n+1}{2n}$.
Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n}$

10) Дана последовательность: 2; 5; 8; 11; 14; 17.
Это арифметическая прогрессия, так как разность между соседними членами постоянна.
Первый член $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 5 - 2 = 3$.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.
Проверим:
$a_1 = 3(1) - 1 = 2$
$a_2 = 3(2) - 1 = 5$
$a_3 = 3(3) - 1 = 8$
Формула верна.
Ответ: $a_n = 3n - 1$